数学概念形成的问题情景创设

1、.数学概念形成的问题情景创设数学概念的教学一般都要经历概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的应用包括概念所涉及的数学思想方法的运用等阶段。在数学概念的教学中，很多老师往往不注重概念的形成过程，只重视概念的运用，无视数学知识的产生与形成的重要阶段，强行地将一些新的数学概念灌输给学生，无从表达学生的主体性，将严重影响学生形成正确的数学观，阻碍学生的才能开展。造成这种现象的原因，一方面是由于老师的教学观念比较陈旧，在教学中不重视学生的思维活动,不能使学生的认知过程成为一个再创造的过程,实现发现、理解、创造与应用；另一方面是许多老师不知如何创设数学概念形成的问题情景，循序渐进地引导学生开展探究活动

2、。在数学概念教学中，如何设计有效的问题情景，充分调动学生参与课堂教学活动，使学生经历观察、分析、类比、猜测、归纳、抽象、概括、推广等思维活动，探究规律，得出新的数学概念。从而使学生体验到数学概念的产生过程，进步他们对数学的认识程度，掌握数学思想方法，培养数学才能，这是数学概念教学要研究的首要问题。一、创设数学概念形成的问题情景的途径数学概念有些是由消费、生活实际问题中抽象出来的，有些是由数学自身的开展而产生的，许多数学概念源于生活实际，但又依赖已有的数学概念而产生。根据数学概念产生的方式及数学思维的一般方法，结合学生的认知特点，可以用以下几种方法来创设数学概念形成的问题情景。一回忆已有相似概念

3、，创设类比发现的问题情景中学数学中有许多概念具有相似的属性，对于这些概念的教学，老师可先引导学生研究已学过的概念属性，然后创设类比发现的问题情景，引导学生去发现，尝试给新概念下定义，这样新的概念容易在原有的认知构造中得以同化与构建。例1异面直线的间隔 的教学1展示概念背景：向学生指出：刻划两条异面直线的相对位置的一个几何量异面直线所成的角，这只能反映两异面直线的倾斜程度，假设要刻划其远近程度，需要用另一个量异面直线之间的间隔 。2创设类比发现的问题情景：先引导学生回忆一下过去学过的有关间隔 的概念点与点间的间隔 、点到直线的间隔 、平行线之间的间隔 ，并概括出它们的共同点：各种间隔 概念都归结

4、为点与点间的间隔 ；每种间隔 都是确定的而且是最小的。3启迪发现阶段：指出定义两异面直线的间隔 也必须遵循上述原那么，然后引导学生讨论：异面直线a、b上哪两点之间的间隔 最小？为什么？进一步诱导：如右图，过直线a上一点B作AB直线b，垂足为点A，那么线段AB的长为异面直线a,b间的间隔 ,对吗?因为过A作AC直线a，垂足为C，在RTABC中有ABAC,即AB不具有最小性。再过C作CD直线b，如此下去，线段只垂直于a、b中的一条时,总是某直角三角形的斜边,不可能是a、b上任两点间间隔 的最小者，那么，异面直线a、b上任两点间间隔 的最小者到底应该是哪条线段的长呢？学生会发现：可能是与异面直线a、

5、b都垂直相交的线段。4表述论证阶段：最后引导学生发现：异面直线a、b的公垂线段MN的长度具有最小性,又公垂线是唯一的，所以，可以把线段MN定义为异面直线a,b之间的间隔 。以上通过引导学生研究已有“间隔 概念的本质特点，即产生新的概念的“生长点，以类比方法获得异面直线间隔 的概念，学生觉得这一概念是已有间隔 概念的一种自然开展，不感到别扭。这样的概念还有很多，如复数的模与实数的绝对值类比、二次方程与一次方程的类比、空间的二面角与平面的角类比等等。这类数学概念形成的问题情景创设一定要抓住新旧概念的相似点，为新的数学概念的形成提供必要的“认知根底，通过与熟悉的概念类比类比的形式多样，如平面与空间的

6、类比、高维与低维的类比、有限与无限的类比，还有方法类比、构造类比、形式类比等等，可使学生更好地认识、理解、掌握新的数学概念。当然要注意类比得出的结论不一定正确，应引导学生修正错误的类比设想，直到得出正确结果。二由已有相关概念的比较，创设归纳发现的问题情景有些数学概念是已有概念的扩大，假设能提醒概念的扩大规律，便可以水到渠成地引入新概念。例2复数概念的教学先回忆已经历过的几次数集扩大的事实：正整数自然数非负有理数有理数实数，然后老师提出以下问题:1上述数集扩大的原因及其规律如何？实际问题的需要使得在已有的数集内有些运算无法进展，数集的扩大过程表达了如下规律：每次扩大都增加规定了新元素；在原数集内

7、成立的运算规律，在数集扩大后的更大范围内仍然成立；扩大后的新数集里能解决原数集不能解决的问题。有了上述准备后，老师提出问题：负数不能开平方的事实说明实数集不够完善，因此提出将实数集扩大为一个更为完好的数集的必要性。那么，怎样解决这个问题呢？2借鉴上述规律，为了扩大实数集，引入新元素i，并作出两条规定。略这样学生对i的引入不会感到疑惑，对复数集概念的建立也不会觉得突然，使学生的思维很自然地步入知识发生和形成的轨道中，为概念的理解和进一步研究奠定根底。这类数学概念形成的问题情景创设的关键是提醒出相关概念的扩大开展的背景及其规律，从而引发新的数学概念的产生。三联想相关数学概念，创设引发猜测的问题情景

8、许多数学概念间存在着一定的联络，老师假设能将新旧概念间的联络点设计成问题情景，引导学生建立起新旧概念间的联络，便可以使学生结实地掌握新的概念。例3异面直线所成角的概念教学1展示概念背景：老师与学生一起以熟悉的正方体为例，请学生观察图中有几对异面直线？接着提问：从位置关系看，同为异面直线，但它们的相对位置，是否就没有区别？老师紧接着说：既然有区别，说明仅用“异面来描绘异面直线间的相对位置显然是不够的。在消费实际与数学问题中，有时还需要进一步准确化，这就提出了一个新任务：怎样刻划异面直线间的这种相对位置，或者说，引进一些什么数量来刻划这种相对位置？2情境设计阶段：我们知道平面几何中用“间隔 来刻划

9、两平行直线间的相对位置，用“角来刻划两相交直线间的相对位置，那么用什么来刻划两异面直线的相对位置呢？我们还知道两异面直线不相交，但它们又确实存在倾斜程度不同，这就需要我们找到一个角，用它的大小来度量异面直线的相对倾斜程度。为理解决这个问题，我们研究一道题：一张纸上画有两条能相交的直线、但交点在纸外现给你一副三角板和量角器，限定不许拼接纸片，不许延长纸上的线段，问如何能量出、所成的角的大小？3猜测发现阶段：解决上述问题的方法是过一点分别作a,b的平行线，该方法能否迁移到两异面直线的倾斜程度呢？经学生研讨后能粗略地得出异面直线的倾斜程度可转化为平面内两条相交直线的角即过一点分别作a、b的平行线，这

10、两条平行线所成的角4表述论证阶段：老师提问，这角或平行线一定可以作出来吗？角的大小与作法有什么关系？以上即是存在性和确定性问题通过解决以上两个问题得到：两异面直线所成角的范围规定在0，内，那么它的大小，由异面直线本身决定，而与点O一线的平行线与另一线的平行线的交点的选取无关，点O可任选一般总是将点选在特殊位置至此，两异面直线所成角的概念完全建立了，在这个过程中浸透了把空间问题转化为平面问题这一化归的数学思想方法。这类数学概念形成的问题情景创设一定要抓住新、旧数学概念间的本质属性，为新概念的产生创设适当的固着点，使其孕育新的数学概念的形成。四提供感性材料,创设抽象与概括的问题情景有些数学概念源于

11、现实生活，是从消费、生活实际问题中抽象出来的，对于这些概念的教学要通过一些感性材料，创设抽象与概括的情景，引导学生提炼数学概念的本质属性。例4数轴概念的教学老师先出示以下问题：小张家向东走20米是书店，向西走30米是少年宫。假设规定向东走为正，向西走为负，那么，小张从家出发，走到书店应记作什么？走到少年宫记作什么？温度计显示零上20C，零下3C，你如何用有理数表示。老师接着要求学生将上述两个问题分别用简单形象的图示方法来描绘它们，并进一步引导学生提炼出它们的共同属性：1能用图线表示事物的数量特征可用同一直线上的线段来刻划2度量的起点0C和小张家3度量的单位温度计每格表示1C4有表示相反意义的方

12、向向东为正，向西为负；零上为正，零下为负这样就启发学生用直线上的点表示数，对于“表示相反意义的方向用箭头“表示正方向，从而引进“数轴的概念。这样做符合学生的认识规律，给学生留下深化持久的印象，同时也有助于激发学生的学习兴趣，促使他们积极参与教学活动，有利于学生思维才能的培养和素质的进步。这类数学概念形成的问题情景创设一定要遵循认识规律，从感性到理性，从详细到抽象，通过学生熟悉的实际例子，恰当地设计一些问题，让学生经过比较、分类、抽象等思维活动，从中找出一类事物的本质属性，最后通过概括得出新的数学概念。五通过学生实验，创设观察、发现的问题情景有些数学概念可以通过引导学生从自己的亲自实验或通过现代

13、教育技术手段演示及自己操作如几何画板提供了很好的工具去领悟数学概念的形成，让学生在动手操作、探究反思中掌握数学概念。例5椭圆概念的教学可分以下几个步骤进展：1实验获得感性认识要求学生用事先准备的两个小图钉和一长度为定长的细线，将细线的两端固定，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上渐渐挪动，画得图形为椭圆2提出问题，考虑讨论。椭圆上的点有何特征？当细线的长等于两定点之间的间隔 时，其轨迹是什么？当细线的长小于两定点之间的间隔 时，其轨迹是什么？你能给椭圆下一个定义吗？3提醒本质，给出定义。象这样，学生经历了实验、讨论后，对椭圆的定义的本质会掌握得很好，不会出现忽略椭圆定义中的定长应大于两定点之间的间隔

14、 的错误。这类数学概念的形成一定要学生动手操作实验，仔细观察，并能根据需要适当变换角度来抓住问题的特征以解决问题。培养学生敏锐的观察力是解决这类问题的关键。除了真实的实验外，还可以充分利用现代教育技术设计一些仿真实验，实验的设计不能只是作为老师来演示的一种工具，而是要能由学生可以根据自己的思路进展动手操作的学具，让学生通过实际操作学会观察、学会发现！以上列举的几种方法不是独立的，而是互相联络的，有些数学概念的产生与形成过程需要综合运用多种方法才能创设出利于学生发现的问题情景。二、数学概念形成阶段教学应注意的问题在创设问题情景时，还应创设师生共同研究问题的良好气氛。老师要积极鼓励学生独立提出问题

15、、独立分析、解决问题，还要鼓励学生之间互相研讨问题，大胆向老师提问题或提出创见性的观点，努力营造一种师生之间平等共同研讨、分析解决问题的民主气氛，形成师生间和谐良好的人际关系，使课堂教学充满活力。在教学中要注意以下问题：一注意问题的呈示方式有了适宜的问题情景，还必须注意问题的呈示方式。我们认为：问题的呈示要以学生主体的充分发挥为前提，重视知识的发现和探究过程，重视学生的内心体验。通过问题的呈示能使学生充分地展开思维活动包括动手、动脑，老师应留给学生一定的考虑时间和空间，不要急于将答案告诉学生，应把发现问题的时机，大智假设愚地让给学生，让学生的思维得到充分的暴露，老师根据学生出现的一些问题，有针

16、对性地组织讨论、辨析，并在关键处予以点拨，真正使学生体验到新的数学概念的形成过程。二教学形式要多样化课堂教学从本质上说是一种“沟通与“合作的活动，是老师主导与学生主体互相作用以实现学生有意义学习的过程，要使这个过程顺利进展，必须充分发挥师生双方的积极性和主动性。为了充分调动学生的积极性，教学形式应尽可能多样化。教学不能只是老师的讲授，还应包括学生的独立自主探究，集体研究，小组讨论或先学生独立研究再互相交流，或带着问题自学等多种方式。这样有利于激发学生的学习积极性。至于如何确定教学形式，这要考虑所研究问题的难易程度及学生的知识和思维程度。一般来说，要尽可能让学生参与数学活动，只要学生有才能通过活

17、动解决的问题，就应该让学生独立完成。对有一定难度的问题，可先让学生独立研究，再组织小组交流老师参与小组研究，并在关键处作适当点拨，最后师生一起探究得出结论。三浸透数学思想方法“师之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生而来。其中“师傅更早那么意指春秋时国君的老师。?说文解字?中有注曰：“师教人以道者之称也。“师之含义，如今泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。“老师的原意并非由“老而形容“师。“老在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。“老“师连用最初见于?史记?，有“荀卿最为老师之说法。渐渐“老师之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。只是司马迁笔下的“老师当

18、然不是今日意义上的“老师，其只是“老和“师的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道，但其不一定是知识的传播者。今天看来，“老师的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。单靠“死记还不行,还得“活用,姑且称之为“先死后活吧。让学生把一周看到或听到的新颖事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即稳固了所学的材料,又锻炼了学生的写作才能,同时还培养了学生的观察才能、思维才能等等,到达“一石多鸟的效果。数学概念是思维的细胞，是浓缩的知识点，是感性认识飞跃到理性认识的结果，而飞跃的实现要根据数学思想方法，经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工而成。因此老师应注意将在解决问题的过程中所涉及的数学思想方法显化，对解决问题的思维策略进展提炼，让学生学会思维，进步自我探究、发现创造的才能。如例5中学生根据操作过程类比圆的概念产生这样的定义：平面内到两个定点的间隔 之和等于定长的点的轨迹叫椭圆。怎样使学生意识到这一定义不完备呢？如何让学生完善这一定义呢？可让学生将两个定点由近到远地多画些椭圆，当学生将此操作进展至极限即细线的长等于两定点之间的间隔