向量运算的背景研究剖析

1、向量运算的背景研究*学院 数学与应用数学摘要：向量使得数学问题思路清晰明确,运算简单,降低思维转换过程的难度,对于解决数学问题及日常生活中实际问题具有重要的应用价值。向量的教学价值在于不仅使公式证明过程更容易理解和接受,而且会使学生体会到向量的工具性,也体会到知识之间的联系,培养学生的数学的整体性意识。本文从介绍向量的起源开入手，深度剖析向量运算的应用及其价值。关键词：向量；运算；应用；价值1 引言向量思想的萌芽可以追溯到古希腊时期。从16世纪到19世纪,随着对力学问题、位置几何以及复数的几何表示等问题的深入研究,向量思想得到进一步发展并逐渐走向成熟。从向量理论产生的三条线索入手,通过对这个理

2、论发展过程中众多数学物理学家的工作的考察,揭示了向量理论产生与发展的全过程1。 向量有着丰富的现实背景和物理背景，而且是刻画位置的重要数学工具,所以在生产实践中有着广泛的应用,在可运动机器人设计与操控、在天气预报中测量风向和风速、卫星定位、飞船设计中都有着广泛的应用。贯穿于物理学的矢量，如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等,都是数学中向量的现实原型。例如，力的合成与分解是向量的加减运算,物体受力做功是向量的数乘运算,已知力与力臂求力矩、磁场中通电导体所受的安培力等运算是向量的外积,即叉乘2。本文讨论的是基于向量的发展历史，向量运算在多方面应用的研究和其独特价值性。2 向量的认识 2.1

3、向量的历史发展 向量最初被应用于物理学,物理量中的力、速度、位移等都是向量。古希腊学者亚里士多德(Aristotle,公元前389公元前322)已经知道了力可以表示成向量,英国科学家牛顿(Isaac Newton,16421727)最先使用有向线段表示向量。 向量能够进入数学并得到发展,首先应从复数的几何表示谈起。18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算，把坐标平面上的点用向量表示出来,并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题。人们逐步接受了复数,也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量,向量就这样平静地进入了数学。19

4、世纪中期,英国数学家汉密尔顿发明了四元数(包括数量部分和向量部分),以代表空间的向量。电磁理论的发现者,英国的数学物理学家麦克思韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理,从而创造了大量的向量分析。三维向量分析的开创,以及同四元数的正式分裂,是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的。他们引进了两种类型的乘法,即数量积和向量积。并把向量代数推广到变向量的向量微积分。从此,向量的方法被引进到分析和解析几何中来,并逐步完善,成为了一套优良的数学工具2。在高等数学中空间中的向量比几何中的向量要广泛得多,可以是任意数学对象或物理对象。在这种情况下,要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到

5、的。这样线性代数方法被应用到广阔的自然科学领域中去了。因此,向量空间的概念,已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容,它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用2。 2.2 向量的用途 向量这一概念是从物理学中抽象出来的，作为沟通数和形的重要工具，向量是现代数学中的重要概念之一。向量是既有大小又有方向的量，要用两个实数、三个实数甚至更多的实数才能确切地表达，大小反映了数的特征，方向反映了形的特征，因此它是集数形于一身的概念。它能被广泛应用是因为它良好的分析方法、完整结构和运算性质。图形的直观性与代数推理的严密性的结合使它在解决许多研究和生活中产生的问题时能发挥特殊的作用。除了在数学

6、方面的应用，它也在解决物理、生活和科技等方面问题上也发挥了很大的作用，例如在物理上，安培力、右手定则等需要应用向量的叉乘；科技上，机器人的设计，卫星定位等方面的问题都可以通过向量进行处理；向量还可以用于计算坐船时间等生活问题。本文在接下来的论述中会做详细说明。3 向量运算的应用 3.1 向量运算在物理中的应用向量是源于物理是从物理学中抽象出来的数学概念，同时向量在物理学中也有的广泛应用3。实质上向量概念源于物理中的矢量,物理中的力、位移、速度等都是向量,功是向量的数量积,力矩是向量的向量积,从而使得数学向量与物理学建立了有机的内在联系,物理中具有矢量意义的问题也可以转化为数学向量问题来解决。约

7、公元前350年,古希腊学者就知道了向量可以表示力、两个力的组合可用向量中的平行四边形法则4。例如：刚体以等角速度绕轴旋转，试表示刚上一点的线速度。 解:设点到旋转轴的距离为，再在轴上任取一点作向量，并以表示与 的夹角，那么 。设线速度为 ，那么由物理学可知 ， 垂直于 与 ，且 的指向是 、 、 符合右手定则，如图1所示，因此有 。此道物理题涉及向量的向量积概念和运算，向量的向量积仍然是向量。高中物理中的安培力与洛仑兹力也是向量的向量积,安培力，洛伦兹力，而向量积的模实质表示以与为邻边和平行四边形的面积，如图2所示。 图1 图2 向量应用于物理时，用的是数学模型方法,把物理中的矢量视为数学中的

8、向量,即把物理问题用数学语言加以抽象概括，再从数学角度来反映物理问题，得出关于物理问题的数学关系式，从而建立了相应的数学模型它能清晰地反映相关物理量之间的数量关系3。3.2 在生活方面的应用向量在生活方面的应用本质就是将应用题中的理论问题提取出来，建立数学模型，再应用向量解决问题。大多是和坐标平面的整合，这时关键是确定点的坐标，再确定向量的坐标。从而达到向量关系与坐标关系的互译，架起了生活与向量之间的桥梁。把向量的基本思想应用到实际生活中，可使我们能够更加直观地通过向量视角观察生活，也让向量更好地为我们服务，解决更多的实际生活问题。接下来，本文会在几个方面举例说明向量在生活中的应用。3.2.1

9、 在力的平衡的实际问题上的应用力学是物理学当中重要组成部分，同时力也是矢量，力的合成可以转化成向量的和，因此可以根据向量的运算来求5。下面介绍向量在力的平衡的实际问题上的应用。例1 帆船是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动。1900年第2届奥运会开始列为正式比赛项目, 帆船的最大动力来源是“伯努利效应”。如果一帆船所受“伯努利效应”产生力的效果可使船向北偏东30°以速度20km/h行驶，而此时水的流向是正东，流速为20km/h。若不考虑其它因素，求帆船的速度与方向。分析：帆船水中行驶，受到两个速度影响：“伯努利效应”产生力的效果为使船向北偏东30°，速度是20k

10、m/h，及水的流向是正东，流速为20km/h。这两个速度的和就为帆船行驶的速度。根据题意，建立数学模型，运用向量的坐标运算来解决问题。解：如图建立直角坐标系，“伯努利效应”的速度为km/h，水的流速为km/h，帆船行驶的速度为,则。由题意可得向量的坐标为即，向量的坐标为。则帆船行驶速度的坐标为 ，为锐角帆船向北偏东行驶.答: 帆船向北偏东60°行驶,速度为203 km/h。在利用向量的坐标运算解决生活中有关问题时,先根据情况建立向量模型,利用直角坐标系,得到向量的坐标,再按照向量坐标运算法则,得出答案,解决实际问题。3.2.2 在位移的实际问题中应用 在物理学中我们就学到了位移和速度

11、，位移和速度都是矢量，即有大小也有方向，因此可以将该问题转化为向量问题，然后根据向量的知识求解，下面介绍向量在位移与速度上的应用5。例2 以某城市的人民广场的中心为原点建立直角坐标系，正东方向为x轴，正北方向为y轴，每个单位表示实际路程50米，某人步行从广场入口A出发，始终保持同一方向匀速前进，5分钟时路过火车站C，10分钟后到达博物馆B，求：（1）此人的位移向量（说明此人位移的距离和方向）；（2）此人行走的速度向量；（3）火车站C 点相对于广场中心所处的位移。分析：位移向量等于终点坐标减去起点坐标则可得出；速度等于位移除以时间即可得出；C 处根据向量的坐标运算和三角函数的公式求解。解：（1）

12、，即此人的位移距离为250米。（2） （3） ，即有 ， 即火车站C处在广场中心正北方向。本题通过向量来求解速度与位移，体现出的向量在求解该题较传统方法有很大的优越性。3.2.3 在生活其他方面的应用向量数量积是向量运算的一种，贯穿了整个向量内容，在生活中也有相关应用，下面来介绍一下生活中是如何应用到向量的数量积的5。例3 某同学购买了x支A型笔，y支B型笔，A型笔的价格为m元，B型笔的价格为n元。把购买A、B型笔的数量x、y构成数量向量，把价格m、n构成价格向量。则向量与的数量积表示的意义是_。解：此题根据购卖A、B两种型号的笔的数量与价格构成了一个二元向量a，b。根据向量的数量积的运算公式

13、可得。而xm表示购买A型笔所用的钱数；yn表示购买B型笔所用的钱数。所以向量与的数量积表示的意义是购买两种笔所用的总钱数。本题把生活中的平常事件转化为了向量问题,运用向量的数量积一下子解决了购买所用的总钱数。利用这种方法，我们还可以推广到多种商品，构建多元向量，就可以有序快捷得到购买时所用的总钱数。3.3 在科技方面的应用向量在科技方面的应用十分广泛，利用已知的向量研究的结果将其作为现代技术当中的一种方法，为人类的生活提供便利。 3.3.1 向量场在机器人设计方面的应用 规划出一条理想的路径并为机器人确定一个合理的速度值是微型足球机器人策略算法研究中的两个关键问题。向量场法对无碰路径规划及速度

14、优化问题进行了分析。建立了轮式足球机器人小车的运动学模型，并深入研究了小车的运动性能问题。根据所得运动学迭代方程及向量场的特点，提出了一种速度优化设定方法。此方法采用低速控制方式，可大大降低小车的能耗，并使小车更易控制。仿真计算与实验结果表明此方法简单、有效，实时性很强。 3.3.2 向量夹角余弦在水文预报方面的应用 针对水文预报中单个水文预报模型预报精度不高的问题，提出基于向量夹角余弦的水文组合预报方法。该方法采用组合预测理论建立了实测向量、预报向量和权值向量，形成向量夹角余弦模型；根据不同的历史水文资料状况，给出拟合优度和动态逼近两种可变权值计算方法，完成参数的率定，并将各参数对预报精度的

15、影响加以分析。实验表明：该方法能够有效地克服单个水文预报模型的不足，通过实现多个单项水文预报模型的组合，可将预报合格率提升约20%。 3.3.3 向量技术在计算机方面的应用 向量处理器，也称为阵列处理器，能够同步进行综合数据的运算操作；而大多数的CPU属于纯量处理器，只能一次处理一个要素。向量处理器在科学计算领域应用广泛，它们是80年代乃至90年代大多数超级计算机的基础。当今大多数商业CPU都包括一些向量处理器指令，较为典型的是SIMD。在视频娱乐控件和用户电脑图形硬件中，向量处理器在其构架中也起了至关重要的地位。多线程和向量技术相结合是当前微处理器设计的一个重要趋势。提出一种多线程向量处理器

16、中向量数据存储结构，利用多线程切换来隐藏访存延迟，并让向量数据直接访问二级cache来提高带宽。模拟实验表明在所提出的存储结构下，访存带宽随线程数线性增长，向量数据访问带宽明显高于标量数据访问带宽。4 向量的价值4.1 向量的应用价值向量中的有关知识解决物理中有关力的问题和速度问题,学会将物理量之间的关系抽象为向量模型,并利用向量模型对有关的物理现象做出解释.例如：合力的求解，风向的研究等，再将其研究结果应用到现代技术当中，为人类生活提供便利。 4.1.1 在医学中的应用价值速度向量成像技术应变和应变率成像(strain and strain rate imaging，SRI)是显示局部心肌变

17、形和变形速率的实时超声成像技术，是定量评价局部心肌功能的新方法。目前超声测量心肌应变的方法由组织多普勒技术(TDI)发展而来，通过阈值滤过高频、低振幅的血流信号，检测低频、高振幅的室壁运动信号，这种技术受超声束方向与室壁运动方向间夹角的影响，主要用于检测心肌长轴方向的运动。速度向量成像技术(velocity vector imaging，VVI)克服了这一技术的局限性，它以二维图像为基础，与传统组织多普勒技术比较，不依赖多普勒原理，无分析切面的局部性以及对角度和帧频的依赖性，可测量与计算在任何方向的心肌运动速度向量和形变。4.1.2 在金融中的应用价值VAR向量自回归模型VAR向量自回归模型是

18、基于数据的统计性质建立模型，VAR模型把系统中每一个内生变量作为系统中所有内生变量的滞后值的函数来构造模型，从而将单变量自回归模型推广到由多元时间序列变量组成的“向量”自回归模型。VAR模型是处理多个相关经济指标与预测最容易操作的模型之一，并且在一定的条件下，多元MA和ARMA模型也可转化成VAR模型，因此近年来VAR模型受到越来越多的经济工作者的重视。 4.2 向量的教学价值众所周知，向量是现代数学的基本概念之一。在向量的基础上，之前的线性代数、解析几何和微分几何中己建立了多维空间的各种理论，所以在高中数学教材中引入向量概念也是数学现代化的需要6。向量自身具有着文化价值、教育价值、实用价值等

19、，在生产实践中有着广泛的应用，是数学学科与物理学科间联系的实例，是初等数学与高等数学的衔接点，这就是向量受到众多国家数学课程改革青睐的魅力所在。4.2.1 有助于学生感受数学的应用价值向量具有丰富的现实背景和物理背景。向量是刻画位置的重要数学工具，在生产实践中有着广泛的应用。贯穿于物理学的矢量如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等，都是数学中的向量的现实原型，力的合成与分解是向量的加减运算，物体受力做功是向量的数乘运算，已知力与力臂求力矩、磁场中通电导体所受的安培力等运算就是向量的外积，即叉乘。这为数学中的向量提供了丰富的物理背景。4.2.2 有助于学生进一步理解数学运算，发展运算能力 向

20、量作为代数研究对象，它可以像数、字母、多项式一样进行运算。从数运算，字母、多项式运算到向量运算，是运算的一次飞跃。数运算、多项式运算都是AAA型的代数运算，数与多项式的运算属于A×BB型的代数运算。向量的加减法运算类似于数的加减法，是向量集合自身进行运算，运算的结果仍为向量，属于A×AA型。向量的数乘运算类似于实数与多项式的数乘运算形式，运算结果也为向量，属于A×BB型。向量运算除了前两种类型的运算，还有向量的积运算，高中只介绍了向量的数量积运算，它属于A×AB型。数量积运算具有与代数运算不同的一些运算律，它对于向量集合自身不封闭，不满足结合律，不满足消

21、去律。4.2.3 有助于学生掌握处理几何问题的有效方法向量集数与形于一身，它与生俱来就是数形结合的。一是“数”的形式，即利用一对实数对既可表示向量大小，又可以表示向量的方向；二是“形”的形式，即利用一条有向线段来表示一个向量。作为代数对象，向量可以进行运算。作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象及它们的位置关系；向量有长度，向量的数量积运算可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。向量提供了一种通过代数运算刻画几何对象及其位置关系以及几何度量问题的工具，它可以使图形量化，使图形间关系代数化。例如在引入法向量之后，在处理线面角、二面角等问题时就可以把非常抽象的几何问题变成便于

22、学生操作的代数问题，进一步降低了教学难度，学生接受起来也比较容易，同时也给学生提供了另外一种处理问题的方法一算法化思想。它成为几何学的基本研究对象，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出精确的最终结论。因此，向量的学习，有助于学生掌握处理几何问题的代数方法，培养学生的数形结合的思想。4.2.4 有利于拓宽学生解题思路向量在解决数学问题时显现出强大的工具性。向量方法既是数学思想方法的体现，又是问题解决的一种方法途径。向量知识与其他知识产生联系，为解决很多抽象的数学问题提供简便的方法，具有普遍性、广泛性、有效性。向量法在代数问题和几何问题中均有体现，充分体现了向量解决问题的优越性。例如，和(差)角的二角函数公式、线段的定比分点公式、平面两点间距离公式、平移公式及正弦定理、余弦定理、复数等都可以用向量为工具进行推导。在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的问题增加一种理想的代数工具，大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤，使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密，提高学生的空间想象能力和学习效率7。从高考新课程卷来看，将向量与函数、解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点，