向量空间的定义50分钟

1、“向量空间的定义”教案（50分钟）I 教学目的1、使学生初步掌握向量空间的概念。2、使学生初步了解公理化方法的含义。3、使学生初步尝试现代数学研究问题的特点。II 教学重点向量空间的概念。 教学方式既教知识，又教思想方法。 教学过程第六章 向量空间6.1 定义和例子一、向量空间概念产生的背景1）数 a+b, ab; 2）几何向量 ; 3）多项式 f(x)+g(x),af(x); 4）函数 f(x)+g(x),af(x); 5）矩阵 A+B，aA; 6） 7） 8）二、向量空间的定义定义1 令F是一个数域，F中的元素用小写拉丁字母a,b,c,来表示。令V是一个非空集合，V中元素用小写希腊字母来表

2、示。把V中的元素叫做向量，而把F中的元素叫做数（标）量，如果下列条件被满足，就称V是F上的向量空间：1 在V中定义了一个加法，对于V中任意两个向量，有唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做的和，并且记作。即若则。2 有一个数量与向量的乘法，对于F中每一个数a和v中每一个向量有v中唯一确定的向量与它们对应，这个向量叫做a与的积，并且记作。即。3 向量的加法和数与向量的乘法满足下列算律：1）；2）；3）在V中存在一个零向量，记作0，它具有以下性质：对于V中每一个向量，都有；4）对于V中每一向量，在V中存在一个向量，使得，这样的叫做的负向量。5）；6）；7）；8）。注1：定义1称为公理化定义，以公理

3、化定义为基础进行研究的方法称为公理化方法。公理化方法注2：数域F称为基础域。三、向量空间的例子例1 解析几何里，V2或V3对于向量的加法和实数与向量的乘法来说作成实数域上的向量空间。例2 Mmn（F）对于矩阵的加法和数乘来说作成F上的向量空间。特别，关于矩阵加法和数乘构成的F上的向量空间称为F上的n元列空间。关于矩阵加法和数乘构成的F上的向量空间称为F上的n元列空间。例3 复数域C可以看成实数域R上向量空间例4 任何数域F都可以看成它自身上的向量空间。例5 Fx关于多次式的加法和数与多项式的乘法来说作为F上一个向量空间。例6 Ca,b关于函数的加法和数与函数的乘法来说作成实数域R上的向量空间。

4、例7 R为实数域，V为全体正实数组成的集合，定义V中两个元素的加法运算为：定义V中元素与R中元素的数乘运算“”为下面验证V对于这两种运算满足定义中的八条规则： 1 ；2 ；3 ；4 a的负元素是a-1, ;5 ;6 ;7 =;8 ;所以V是实数域上的向量空间。向量空间的例子是大量的，仅从以上例子也是可以看出，向量空间的涵义是多么广泛！四、向量空间的简单性质1、有意义且可以任意交换被加项次序。证 由于向量空间中的加法适合结合律和交换律。2、在一个向量空间V里，零向量是唯一的；对于V中每一向量,的负向量是由唯一确定的。证 先证零向量的存在性，设0和0都是V的零向量，那么0=0+0=0再证负向量唯一，设都是的负向量，那么，于是.把唯一的负向量记作，则有（1）.即有移项变号法则成立.3、对于任意向量和数域F中的数a，有（2）（3）（4）证： =同理可证 aO=O同理可证 设五、小结向量空间是高等代数中一个极其重要的概念。从本节起高等代数进入研究代数系统的新阶段。在新