自动控制理论第三章

1、整理课件自动控制理论自动控制理论_第三章第三章 第三章第三章 自动控制系统的时域分析自动控制系统的时域分析第一节第一节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标第二节第二节 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析第四节第四节 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析第五节第五节 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析第六节第六节 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算本章本章 小节、重点和练习题小节、重点和练习题下一张最后一张结束授课返回首页第三章第三章 控制系统的时域性能分析控制系统的时域性能分析 第一张上一张下一张最后一张结束授课 一

2、旦建立起系统的数学模型，就可以采用各种方法对系一旦建立起系统的数学模型，就可以采用各种方法对系统进行分析，以确定其性能是否满足预先的设计要求。统进行分析，以确定其性能是否满足预先的设计要求。 在经典控制理论中，常用在经典控制理论中，常用时域分析法时域分析法、根轨迹法根轨迹法和和频率频率法法来分析系统的性能。来分析系统的性能。时域分析法时域分析法就是根据控制系统的就是根据控制系统的时间时间响应响应来分析系统的来分析系统的暂态性能暂态性能、稳定性稳定性和和稳态性能稳态性能。它是一种。它是一种直接分析直接分析方法，具有直观和准确的优点，尤其适用于低阶系方法，具有直观和准确的优点，尤其适用于低阶系统。

3、统。 对控制系统的对控制系统的定性定性要求是要求是稳定、快速稳定、快速、准确准确。本章从系。本章从系统的统的暂态响应、暂态响应、稳定性、稳态误稳定性、稳态误差方面进行差方面进行定量定量分析。分析。第一节第一节 系统时间响应的性能指标系统时间响应的性能指标 通常，给控制系统施加一定的输入信号，通过考察系统的输出响应来通常，给控制系统施加一定的输入信号，通过考察系统的输出响应来分析系统性能。分析系统性能。 系统数学模型由系统本身的结构和参数决定，输出响应除与数学模型有系统数学模型由系统本身的结构和参数决定，输出响应除与数学模型有关外，还与系统的初始状态和关外，还与系统的初始状态和输入信号输入信号的

4、形式有关。可将输入信号规定为的形式有关。可将输入信号规定为统一的典型形式。常用的统一的典型形式。常用的典型输入信号典型输入信号有有阶跃函数阶跃函数、斜坡函数斜坡函数、抛物线函抛物线函数数、脉冲函数脉冲函数和和正弦函数正弦函数。第一张上一张下一张最后一张结束授课1、阶跃函数、阶跃函数 定义：定义： 式中式中A 为常量。为常量。A=1的阶跃函数称为的阶跃函数称为单位阶跃函数单位阶跃函数，记为，记为1（t），），如如下图所示。下图所示。 单位阶跃函数的单位阶跃函数的拉氏变换拉氏变换为为一、典型输入函数一、典型输入函数第一张上一张下一张最后一张结束授课2、斜坡函数、斜坡函数式中式中A为常量。当为常量。

5、当A=1时时,称为称为单单位斜坡函数位斜坡函数,记为记为t1（t），），如图如图所示。所示。 它等于对单位阶跃函数对时间的积分。它等于对单位阶跃函数对时间的积分。单位斜坡函数的拉氏变换为单位斜坡函数的拉氏变换为 R（S）=Lr(t)=1/s23、抛物线函数、抛物线函数 定义：定义：定义：定义：第一张上一张下一张最后一张结束授课式中式中A为常量为常量, 当当A=1时时,称为称为单位抛物线函数单位抛物线函数,记为记为t2/21(t)如下图所示。如下图所示。 等于单位斜坡函数对时间的积分。等于单位斜坡函数对时间的积分。其拉氏变换为其拉氏变换为：4、脉冲函数、脉冲函数 定义为定义为 ：第一张上一张下一

6、张最后一张结束授课 脉冲函数如下图脉冲函数如下图(a)所示所示,令令0,则称为则称为理想单位脉冲函数理想单位脉冲函数,记为记为 （t）,见下图（见下图（b）,有有单位脉冲函数的单位脉冲函数的拉氏变换拉氏变换为：为：单位脉冲函数是单位阶跃函数单位脉冲函数是单位阶跃函数对时间的导数对时间的导数 5、正弦函数、正弦函数 定义为：定义为： r（t） A Sint第一张上一张下一张最后一张结束授课式中式中,A为振幅；为振幅；为角频率。为角频率。 用频率不同的正弦函数作为输入信号，可求得系统此时的稳态响应，用频率不同的正弦函数作为输入信号，可求得系统此时的稳态响应，在频率法中广泛使用。在频率法中广泛使用。

7、22sA) tAsinL（正弦信号的拉氏变换为：正弦信号的拉氏变换为：第一张上一张下一张最后一张结束授课二二 控制系统的时域性能指标控制系统的时域性能指标1、线性定常系统的时域响应、线性定常系统的时域响应 如系统的输入为如系统的输入为r(t),输出为输出为c(t),则用以下常微分方程描述其响应过程则用以下常微分方程描述其响应过程: 由由可得可得式中式中 SiG(s)的极点的极点； SkR(s)的极点的极点。第一张上一张下一张最后一张结束授课如果如果Si和和Sk都是互异极点，则系统的零状态响应为都是互异极点，则系统的零状态响应为式中式中Ak，Bk常数常数。 由于由于 si只是只是 G（s）的极点

8、的极点，所以上式等号右侧第一项与输入无关，即所以上式等号右侧第一项与输入无关，即为系统零状态响应中的为系统零状态响应中的暂态响应分量暂态响应分量。 sk只与外部输入只与外部输入r（t）有关有关，所以上式等号右侧第二项即为系统零状态所以上式等号右侧第二项即为系统零状态响应中的响应中的稳态响应分量稳态响应分量。 因此可从暂态响应分量和稳态响应分量中因此可从暂态响应分量和稳态响应分量中 求取系统的性能指标。求取系统的性能指标。可见在系统响应零状态响应由可见在系统响应零状态响应由稳态响应稳态响应和和暂态响应暂态响应两部分组成。两部分组成。 第一张上一张下一张最后一张结束授课 稳态响应分量稳态响应分量指

9、系统在典型输入信号作用下指系统在典型输入信号作用下,当时间当时间t趋于无穷大时的趋于无穷大时的系统输出量系统输出量,表征系统输出量最终表征系统输出量最终复现输入量的程度复现输入量的程度，可用于描述系统的，可用于描述系统的稳态性能。稳态性能。暂态响应分量随时间的变化过程也称为过渡过程暂态响应分量随时间的变化过程也称为过渡过程,动态过程动态过程或或瞬态过程。瞬态过程。2 2、控制系统的时域性能指标、控制系统的时域性能指标 指系统在典型输入信号作用下指系统在典型输入信号作用下,系统输出量从初始状态变化到最终状态系统输出量从初始状态变化到最终状态的过程的过程, 表征系统输出量在各个瞬时表征系统输出量在

10、各个瞬时偏离输入量的程度偏离输入量的程度以及有关以及有关时间间隔时间间隔的信息的信息，用于描述系统的暂态性能。，用于描述系统的暂态性能。一个实际运行的系统暂态响应有何特点一个实际运行的系统暂态响应有何特点?动态过程是衰减的动态过程是衰减的! 控制系统在典型输入信号作用下的响应性能指标，通常由控制系统在典型输入信号作用下的响应性能指标，通常由暂暂(动动)态性态性能指标能指标和和稳态性能指标稳态性能指标两部分组成。两部分组成。或者说动态过程是收敛的或者说动态过程是收敛的,或者说系统是稳定的或者说系统是稳定的! 稳定是首要条件稳定是首要条件,此时研究其暂态性能和稳态性能才有意义此时研究其暂态性能和稳

11、态性能才有意义!第一张上一张下一张最后一张结束授课 (1)暂暂(动动)态性能指标态性能指标 一般地说，阶跃输入对系统来说是一般地说，阶跃输入对系统来说是常见的常见的也是也是最严峻的输入信号最严峻的输入信号，如如系统在阶跃信号输入下的暂态性能满足了设计要求，则在其他信号输入作系统在阶跃信号输入下的暂态性能满足了设计要求，则在其他信号输入作用下的暂态性能也是满意的。用下的暂态性能也是满意的。 系统在单位阶跃函数系统在单位阶跃函数(或信号或信号)作用下的作用下的输出响应，称为系统的输出响应，称为系统的单位阶跃单位阶跃响应响应,记为记为h(t)。 描述稳定系统单位阶跃响应过程随时间描述稳定系统单位阶跃

12、响应过程随时间t变化情况的指标变化情况的指标,称为该系统的称为该系统的动态性能指标动态性能指标。 假定单位阶跃信号作用前系统处于某个平衡状态假定单位阶跃信号作用前系统处于某个平衡状态,即输出量及其各阶导即输出量及其各阶导数为零数为零!常见指标有常见指标有:延迟时间延迟时间td上升时间上升时间tr峰值时间峰值时间tp调节时间调节时间ts超调量超调量 %振荡次数振荡次数N第一张上一张下一张最后一张结束授课1）td：输出响应第一次达输出响应第一次达到稳态值到稳态值50的时间。的时间。 2）tr：输出响应第一次达到输出响应第一次达到稳态值稳态值h( )的时间。无超调的时间。无超调时指响应从稳态值的时指

13、响应从稳态值的10到到90所经历的时间。所经历的时间。 3）tp：输出响应超过稳态输出响应超过稳态值值h( )达到第一个峰值的时达到第一个峰值的时间。间。4）ts：输出响应与稳态值间输出响应与稳态值间的偏差达到允许范围并维持的偏差达到允许范围并维持在此范围内所需的时间。在此范围内所需的时间。 通常该偏差范围叫作通常该偏差范围叫作允许误差带允许误差带，一般取稳态值，一般取稳态值c（ ）的的 2或或 5，用符号，用符号 表示为：表示为： =2或或 =5A: 下图是一个具有衰减振荡特征的系统单位阶跃响应曲线下图是一个具有衰减振荡特征的系统单位阶跃响应曲线各暂态性能指标定义如下：各暂态性能指标定义如下

14、：注意注意:以上四个指标的量纲为时间以上四个指标的量纲为时间!第一张上一张下一张最后一张结束授课5）最大超调量最大超调量（简称超调量）（简称超调量） ：输出响应的最大值：输出响应的最大值h(tp)超过稳态值超过稳态值6）振荡次数振荡次数N：在调节时间内，在调节时间内，h(t)偏离偏离h( )的次数。的次数。 B: 具有单调变化具有单调变化(非振荡响应非振荡响应过程过程)的单位阶跃响应曲线示于的单位阶跃响应曲线示于右图右图h( )的部分与稳态值的部分与稳态值h( )的百分比，的百分比， 即即 对于这样的动态响应过程对于这样的动态响应过程,一般只需一般只需用用ts即可描述系统的暂态性能即可描述系统

15、的暂态性能常用常用tr或或tp评价系统的快速性评价系统的快速性(响应速度响应速度)常用常用 评价系统的阻尼程度评价系统的阻尼程度(平稳度平稳度)常用常用ts综合反映快速性与平稳性综合反映快速性与平稳性,也作也作为整个动态过程快慢的指标为整个动态过程快慢的指标.第一张上一张下一张最后一张结束授课 C: 具有一次振荡变化的单位阶跃响应曲线示于下图具有一次振荡变化的单位阶跃响应曲线示于下图h(t)tABtrtpts%=BA100%此时用此时用tp, %和和ts即可表示系统暂态性能指标即可表示系统暂态性能指标第一张上一张下一张最后一张结束授课 (2)稳态性能指标稳态性能指标 稳态误差稳态误差ess：对

16、于单位反馈系统，当对于单位反馈系统，当t时，系统响应的实际值时，系统响应的实际值h( )与期望值（即输入量）之差，定义为稳态误差。与期望值（即输入量）之差，定义为稳态误差。 它反映系统复现输入信号的（稳态）精度它反映系统复现输入信号的（稳态）精度,能够度量系统控制精度或能够度量系统控制精度或抗干扰能力抗干扰能力 系统稳态性能常用系统在系统稳态性能常用系统在典型输入信号典型输入信号作用下的作用下的稳态误差稳态误差来表示来表示 当当t趋于无穷大时趋于无穷大时,系统输出量不等于参考输入或参考输入的确定函系统输出量不等于参考输入或参考输入的确定函数数,则存在稳态误差则存在稳态误差 一般以超调量一般以超

17、调量、调节时间调节时间ts和稳态误差和稳态误差ess作为评价系统响应的作为评价系统响应的主要性能指标主要性能指标! 性能指标的动态显示性能指标的动态显示:PLAY第一张上一张下一张最后一张结束授课第二节第二节 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 可用一阶微分方程描述其动态过程的系统称为一阶系统可用一阶微分方程描述其动态过程的系统称为一阶系统式中，式中，T为一阶系统时间常数为一阶系统时间常数一阶系统典型结构一阶系统典型结构如下图所示如下图所示 RC电路如下图所示电路如下图所示,可根据其微分方程绘制其方框图可根据其微分方程绘制其方框图系统的闭环传递函数为：系统的闭环传递函数为：第一张上一张下一张

18、最后一张结束授课一、一阶系统的单位阶跃响应一、一阶系统的单位阶跃响应 对单位阶跃输入，对单位阶跃输入，r(t)=1(t)，R(s)= 1/s则则因此因此,单位阶跃响应为单位阶跃响应为: 从曲线中可见，一阶从曲线中可见，一阶系统的单位阶跃响应曲线系统的单位阶跃响应曲线是一条初始值为零、以指是一条初始值为零、以指数规律上升到稳态值数规律上升到稳态值1的的曲线曲线以以t为自变量为自变量,绘制单位阶跃响应绘制单位阶跃响应h(t)的曲线的曲线,称为系统单位阶跃响应曲线称为系统单位阶跃响应曲线,如如右下图所示右下图所示第一张上一张下一张最后一张结束授课 特点：在特点：在t=0处曲线的斜率处曲线的斜率为最大

19、，其值为为最大，其值为1/T。即即:如系统如系统保持初始响应的变化率不变，则保持初始响应的变化率不变，则当当t=T时输出就能达到稳态值，时输出就能达到稳态值，而实际上只上升到稳态值的而实际上只上升到稳态值的 63.2，经过，经过3T或或4T时间，响应分时间，响应分别达到稳态值的别达到稳态值的95和和98。 可以验算可以验算,一阶系统性能指标为一阶系统性能指标为:ts=3T（ =5）或或ts=4T （ =2）tdtress=0 显然显然,时间常数时间常数T的大小反映了一的大小反映了一阶系统的响应速度。即阶系统的响应速度。即 时间常数越小时间常数越小,系统惯性越小系统惯性越小,响响应越快应越快!反

20、之则惯性越大反之则惯性越大,响应越慢响应越慢!第一张上一张下一张最后一张结束授课二、一阶系统的单位脉冲响应二、一阶系统的单位脉冲响应 单位脉冲输入单位脉冲输入：r(t)= (t),R(s)=1 绘制系统单位响应曲线如右图所示。绘制系统单位响应曲线如右图所示。 特点特点：t=0时时g(t)的变化的变化率为率为(-1/T2),且且 g(0) =1/T; 曲线均在时间轴上方曲线均在时间轴上方; 按指数规律下降至零按指数规律下降至零。单位脉冲响应的拉氏变换单位脉冲响应的拉氏变换:单位脉冲响应函数单位脉冲响应函数:第一张上一张下一张最后一张结束授课三、一阶系统的单位斜坡响应三、一阶系统的单位斜坡响应单位

21、斜坡输入单位斜坡输入： 从从 c(t)的表达式中可见，一阶的表达式中可见，一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是系统单位斜坡响应的稳态分量，是与输入斜坡函数斜率相同但在时间与输入斜坡函数斜率相同但在时间上延迟时间常数上延迟时间常数T的斜坡函数。的斜坡函数。时域响应：时域响应：系统响应的拉氏变换：系统响应的拉氏变换： 该曲线的该曲线的特点特点： 在在t=0处曲线的处曲线的斜率等于零斜率等于零； 稳态输出与单位斜坡输入之间稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上在位置上存在偏差存在偏差T。 响应曲线如右图所示。响应曲线如右图所示。第一张上一张下一张最后一张结束授课请总结一下该表格有何规律请总结一下该表格有何

22、规律?第一张上一张下一张最后一张结束授课四四 、一阶系统的单位抛物线响应、一阶系统的单位抛物线响应(单位加速度响应单位加速度响应) 如系统输入信号为单位抛物线函数如系统输入信号为单位抛物线函数,则可求解出其输出响应为则可求解出其输出响应为: 此时系统给定信号此时系统给定信号r(t)(期望值期望值 参考输入参考输入)与实际输出与实际输出c(t)之间的偏差为之间的偏差为:e(t)随时间的变化规律随时间的变化规律:t- ,e(t) ,输出不能跟踪输入信号的变化输出不能跟踪输入信号的变化五、线性定常系统的基本特性五、线性定常系统的基本特性 例如，有：例如，有：则有：则有： 研究线性定常系统的时域响应时

23、，不必对每一种典型输入信号的相应研究线性定常系统的时域响应时，不必对每一种典型输入信号的相应都进行分析，只需取其中一种典型信号进行研究即可。都进行分析，只需取其中一种典型信号进行研究即可。第一张上一张下一张最后一张结束授课 2、齐次性、齐次性 如果某线性系统在输入信号如果某线性系统在输入信号r(t)作用下的响应为作用下的响应为c(t), 对输入信号对输入信号r(t)进行进行有限次的积分或微分运算有限次的积分或微分运算(及放大与缩小常数及放大与缩小常数A倍倍)后，作为同一系统的输入信后，作为同一系统的输入信号，则相应的输出信号即为号，则相应的输出信号即为c(t)的有限次积分或微分运算的有限次积分

24、或微分运算(及放大与缩小常数及放大与缩小常数A倍倍)的结果。的结果。1、叠加性、叠加性 线性系统在输入信号线性系统在输入信号r1(t)和和r2(t)单独作用下的响应分别为单独作用下的响应分别为c1(t)和和c2(t) 如果输入信号变为如果输入信号变为r(t)= r1(t)+r2(t)时，输出信号必然为：时，输出信号必然为： c (t) =c1(t)+c2(t),该特性称为线性系统的叠加性该特性称为线性系统的叠加性第三节第三节 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 典型二阶系统的特征方程为典型二阶系统的特征方程为： 二阶系统二阶系统不仅在工程实践中比较常见，而且许多不仅在工程实践中比较常见，而且

25、许多高阶系统高阶系统在在一定条件一定条件下下可近似为二阶系统。因此，二阶系统的研究具有非常重要的意义。可近似为二阶系统。因此，二阶系统的研究具有非常重要的意义。 标准形式的二阶系统标准形式的二阶系统的方框图如下图的方框图如下图 所示，所示，第一张上一张下一张最后一张结束授课其闭环传递函数为：其闭环传递函数为： n为无阻尼自然振荡频率；为无阻尼自然振荡频率； 为阻尼比；为阻尼比；两者称为二阶系统的特征参数，它们确定了系统的所有特征！两者称为二阶系统的特征参数，它们确定了系统的所有特征！ 则特征方程的根，即闭环系统的极点为则特征方程的根，即闭环系统的极点为： 式中：式中： 当当 为正常数时，为正常

26、数时，闭环极点的位置将随闭环极点的位置将随 取值范围不同而不同，系统性能取值范围不同而不同，系统性能也有明显的差异。也有明显的差异。 的变化范围的变化范围 (1) -1; (2) =-1;(3) -1 0; (4) =0; (5)0 1 下图为二阶系统闭环极点的分布图下图为二阶系统闭环极点的分布图第一张上一张下一张最后一张结束授课第一张上一张下一张最后一张结束授课 一、二阶系统的单位阶跃响应一、二阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入信号：单位阶跃输入信号： 单位阶跃响应的拉氏变换式为：单位阶跃响应的拉氏变换式为：第一张上一张下一张最后一张结束授课考察考察 n不变时不变时( n 0)， 取不同值时

27、的各种情况。取不同值时的各种情况。 1、 -1时，闭环系统存在两个不等的正实数极点：时，闭环系统存在两个不等的正实数极点： )1(22, 1nnS对对C(s)的表达式进行拉氏反变换，得到系统的单位阶跃响应：的表达式进行拉氏反变换，得到系统的单位阶跃响应：绘制绘制h(t)曲线或从公式中可知其特点：曲线或从公式中可知其特点： 当当t ,h(t) ，曲线是单调发散的，输出曲线是单调发散的，输出h(t)不能跟踪输入不能跟踪输入r(t)=1(t)（一）负阻尼情况（一）负阻尼情况2、 =-1，闭环系统存在两个相等的正实数极点：，闭环系统存在两个相等的正实数极点： 对对C(s)的表达式进行拉氏反变换，得到系

28、统的单位阶跃响应：的表达式进行拉氏反变换，得到系统的单位阶跃响应：nS2, 1绘制绘制h(t)曲线或从公式中可知其特点：曲线或从公式中可知其特点： 当当t 时时,h(t) ，曲线也是单调发散的，曲线也是单调发散的，h(t)不能跟踪不能跟踪r(t)=1(t)3、 -1 T2单位阶跃响应近似为：单位阶跃响应近似为：此时，此时， 对比对比0 1. =1和和 1的的h(t)曲线可知曲线可知 ， =1时时二阶系统二阶系统单位阶跃响单位阶跃响应曲线应曲线处于衰减振荡与单调上升之间的临界处于衰减振荡与单调上升之间的临界,因此将因此将 =1时二阶系统的单位时二阶系统的单位阶跃响应称为临界阻尼响应阶跃响应称为临

29、界阻尼响应临界阻尼响应临界阻尼响应: 取不同值（取不同值（ 非负）非负）时二阶系统的位阶跃响应的曲线时二阶系统的位阶跃响应的曲线 图中的几个特征：图中的几个特征：(1)、 =0时时,等幅振荡；等幅振荡；(2)、0 1时时, 越大越大,曲线单曲线单调上升过程越缓慢；调上升过程越缓慢；第一张上一张下一张最后一张结束授课 一般控制系统的阻尼一般控制系统的阻尼比取为比取为0.4-0.8,此时超调量此时超调量适度，调节时间较短。适度，调节时间较短。 若两个二阶系统具有相同的若两个二阶系统具有相同的 和不同的和不同的 n,则振荡特性相同（仅与则振荡特性相同（仅与 有关）有关）,但响应速度不同但响应速度不同

30、, n越大越大,响应速度越快。响应速度越快。不同不同 、系统特征根、特征根在、系统特征根、特征根在S平面上的位置平面上的位置以及单位阶跃响应曲线如下图所示（以及单位阶跃响应曲线如下图所示（1）第一张上一张下一张最后一张结束授课不同不同 、系统特征根、特征根在、系统特征根、特征根在S平面上的位置平面上的位置以及单位阶跃响应曲线如下图所示（以及单位阶跃响应曲线如下图所示（2）第一张上一张下一张最后一张结束授课（三（三）欠阻尼二阶系统的动态过程分析欠阻尼二阶系统的动态过程分析第一张上一张下一张最后一张结束授课欠阻尼二阶系统的闭环极点如右图所示欠阻尼二阶系统的闭环极点如右图所示图中图中: n ; ;

31、d; 的含义的含义1、延迟时间、延迟时间 td的计算的计算利用利用延迟时间延迟时间 td的定义和单位阶跃响应式：的定义和单位阶跃响应式：令令h(td)=0.5，可得可得 利用上述关系式可绘制得到利用上述关系式可绘制得到 n td与与 的关系曲线如的关系曲线如下图所示：下图所示： 为非线性曲线为非线性曲线,用曲线用曲线拟和方法可近似为直线拟和方法可近似为直线 则有则有td近似计算式近似计算式:特别地特别地,当当0 1 时时,有有:上式表明上式表明,增大增大 n和减小和减小 , ,可减小可减小td特点特点: 当当 不变时不变时, ,闭环极点离坐标原点越远闭环极点离坐标原点越远( ( n越大越大),

32、),则则t td越小越小 当当 n不变时不变时, ,闭环极点离虚轴越近闭环极点离虚轴越近( ( 越小越小),),则则t td越小越小 第一张上一张下一张最后一张结束授课3、峰值时间、峰值时间tp的计算的计算 2、上升时间、上升时间tr的计算的计算利用利用上升时间上升时间tr的定义和单位阶跃响应式的定义和单位阶跃响应式:另另h(tr)=1,可求得可求得, 为阻尼系数为阻尼系数 可见可见 一定时一定时, tr的长短与的长短与 d成反比成反比,而当而当 d一定时一定时, 越小越小, tr越短越短第一张上一张下一张最后一张结束授课利用高等数学中函数求极值的方法，即对下式求导：利用高等数学中函数求极值的

33、方法，即对下式求导：并令导数等于零并令导数等于零,求得：求得：4、超调量、超调量 % 将将tp表达式带入欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应表达式表达式带入欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应表达式h(tp),可得可得:注意到注意到:,上述三角方程的解为上述三角方程的解为 dtp=0, ,2 ,3 ,整理得整理得:并利用并利用tp 的定义的定义(第一个峰值对应的时间第一个峰值对应的时间),得得: 特点特点: 峰值时间峰值时间 tp阻尼振荡频率阻尼振荡频率 d成反比成反比; 当当 一定时一定时,闭环极点离实轴越远闭环极点离实轴越远,峰值时间越短峰值时间越短第一张上一张下一张最后一张结束授课注意到：注意到：上式变

34、为上式变为按照超调量的定义式按照超调量的定义式:注意到注意到:h( )=1,可得可得从公式中可见从公式中可见,超调量仅与阻尼比超调量仅与阻尼比 有关有关,而与而与 n无关无关,绘制该曲线如下图所示绘制该曲线如下图所示特点特点: 由图中可知由图中可知,阻尼比阻尼比 越大越大(在在0到到1之间之间),则超调量越小则超调量越小; =0时时, %=100%(等幅振荡等幅振荡); =1时时, %=0%(临界阻尼临界阻尼); 大致呈反比例关系大致呈反比例关系一般系统一般系统,选取选取 =0.4 0.8之间之间,此时此时 %介于介于25.4% 1.5%之间之间第一张上一张下一张最后一张结束授课5 5、调节时

35、间调节时间ts的计算的计算 当当0 0.80.8时，通常使用以下近似式：时，通常使用以下近似式：第一张上一张下一张最后一张结束授课 根据根据t ts s的定义，并借助右图的定义，并借助右图衰减正弦包络线进行近似计算，衰减正弦包络线进行近似计算，可得：可得： 前已述及前已述及, ,欠阻尼二阶系统的欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线位于两条按照单位阶跃响应曲线位于两条按照指数规律变化的包络线之间指数规律变化的包络线之间. .tne2111和和可见可见,调节时间调节时间ts 与闭环极点的实部成反比与闭环极点的实部成反比（四）（四）单位斜坡输入时二阶欠阻尼系统的稳态误差单位斜坡输入时二阶欠阻尼系统的稳态

36、误差第一张上一张下一张最后一张结束授课 根据线性系统的齐次性根据线性系统的齐次性,二阶欠阻尼系统在单位斜坡输入下的输出响二阶欠阻尼系统在单位斜坡输入下的输出响应是其单位阶跃响应的积分应是其单位阶跃响应的积分,即即:dtthtc)()( 为较全面分析欠阻尼系统的性能指标为较全面分析欠阻尼系统的性能指标,在此先给出单位斜坡输入时的在此先给出单位斜坡输入时的稳态误差计算式稳态误差计算式,对下图所示系统对下图所示系统KsTsTsssHsGse2) 1()()(11)(当当r(t)=t1(t)时时,利用拉氏变换终值定理利用拉氏变换终值定理,得得KsKsTsTssssRssesesss11)1(lim)(

37、)(lim2200即误差与开环放大系数即误差与开环放大系数K成反比成反比 有误差传递函数有误差传递函数:【例【例3-1】设控制系统的方框图如下图所示】设控制系统的方框图如下图所示,当有单位阶跃信号作用于系统时当有单位阶跃信号作用于系统时,试求系统的暂态性能指标试求系统的暂态性能指标tr、tp、ts和和 %。解解 求出系统的闭环传递函数为：求出系统的闭环传递函数为：第一张上一张下一张最后一张结束授课因此有：因此有：上升时间：上升时间：峰值时间：峰值时间：超调量：超调量：调节时间：调节时间：第一张上一张下一张最后一张结束授课 【 例例3-2 】 如下图所示的单位反馈随动系统，如下图所示的单位反馈随

38、动系统，K=16s-1,T=0.25s,试求：试求：解解 （1）求出系统闭环传递函数为：）求出系统闭环传递函数为：因此有：因此有：（1）特征参数）特征参数 和和 n；（；（2）计算计算 %和和ts;（3）若要求若要求 %=16%，当，当T不不变时变时K应当取何值？应当取何值？第一张上一张下一张最后一张结束授课（2）由公式）由公式 得：得：（3）为使）为使 %=16%，由式，由式计算或查右图，得：计算或查右图，得：当当T T不变时，有不变时，有第一张上一张下一张最后一张结束授课（五（五）二阶系统性能的改善二阶系统性能的改善第一张上一张下一张最后一张结束授课1.比例比例-微分控制微分控制 等效系统

39、的闭环传递函数为等效系统的闭环传递函数为 ：令令z=1/Td ,则有则有改善二阶系统性能的方法常见的有两种：比例改善二阶系统性能的方法常见的有两种：比例-微分控制和测速反馈控制微分控制和测速反馈控制 结构图如下图所示结构图如下图所示式中式中: 特点是在原系统闭环内增加（特点是在原系统闭环内增加（1+Tds)环节，将明显改善原系统的性能环节，将明显改善原系统的性能 定性分析的结论定性分析的结论：可引起阻尼比可引起阻尼比 增大增大,使超调量使超调量 %下降下降; 调节时间缩短调节时间缩短; 不影响稳态误差（开环增益不变不影响稳态误差（开环增益不变)和自然振荡频率和自然振荡频率 n 。 考查该系统的

40、单位阶跃响应：考查该系统的单位阶跃响应： 从方框图中可知，这种方法在原系统内环中增加了一个一阶微分环节，从方框图中可知，这种方法在原系统内环中增加了一个一阶微分环节，相当于增加了一个开环极点。也称为有零点的二阶系统。相当于增加了一个开环极点。也称为有零点的二阶系统。由两项组成由两项组成:（1）以）以 n d为特征参数的二阶欠阻尼系统单位响应为特征参数的二阶欠阻尼系统单位响应h(t)；（2）以）以 n d为特征参数的二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应为特征参数的二阶欠阻尼系统的单位脉冲响应g(t)的的1/z 。定量分析见教材定量分析见教材P97 98第一张上一张下一张最后一张结束授课开环增益为：开环增

41、益为：2nK等效闭环传递函数为：等效闭环传递函数为：增加测速反馈控制前后系统框图如下增加测速反馈控制前后系统框图如下2.测速反馈控制测速反馈控制 第一张上一张下一张最后一张结束授课开环传递函数为开环传递函数为:开环增益为开环增益为:式中式中原为：原为：2n原为：原为： 结论：结论：加入测速反馈后会减小系统开环增益（增加稳态误差）；加入测速反馈后会减小系统开环增益（增加稳态误差）； 使使 增大，因而可降低超调量增大，因而可降低超调量 % %； 不改变不改变 n。kt值，并值，并分别计算两个系统的性能指标。分别计算两个系统的性能指标。第一张上一张下一张最后一张结束授课解解 系统系统(a)的传递函数

42、为：的传递函数为：特征参数为特征参数为:第一张上一张下一张最后一张结束授课利用各性能指标计算公式可得：利用各性能指标计算公式可得：(误差带取为误差带取为 =5%)系统（系统（b）的传递函数为：的传递函数为：由公式：由公式：得得可由可由计算得到系统开环增益为计算得到系统开环增益为K=3.16(加入反馈前为加入反馈前为10)利用各性能指标计算公式可得：利用各性能指标计算公式可得：(误差带取为误差带取为 =5%)单位斜坡信号作用下的稳态误差：单位斜坡信号作用下的稳态误差：1.0101sse单位斜坡信号作用下的稳态误差：单位斜坡信号作用下的稳态误差：316. 016. 31sse第一张上一张下一张最后

43、一张结束授课比例比例-微分控制与测速反馈控制的对比：微分控制与测速反馈控制的对比：(1)附加阻尼的来源不同附加阻尼的来源不同;(2)使用环境的不同使用环境的不同;(3)对开环增益和无阻尼自然振荡频率的影响对开环增益和无阻尼自然振荡频率的影响;(4)对动态性能影响的不同。对动态性能影响的不同。比例比例-微分：微分： 来源于误差的变化速度来源于误差的变化速度测速反馈：测速反馈：来源于系统输出信号的变化速度来源于系统输出信号的变化速度比例比例-微分：微分： 对噪声信号有明显放大作用对噪声信号有明显放大作用,不适合输入端噪声严重的场合不适合输入端噪声严重的场合测速反馈：测速反馈：无明显限制无明显限制比

44、比 例例-微分：微分：测速反馈：测速反馈：无影响无影响降低开环增益降低开环增益(使稳态误差加大使稳态误差加大);不影响不影响 n 在相同阻尼比要求时在相同阻尼比要求时,比例比例-微分控制的超调量比较大微分控制的超调量比较大二、二阶系统的单位脉冲响应二、二阶系统的单位脉冲响应 利用线性定常系统的利用线性定常系统的齐次性齐次性，将二阶系统单位阶跃响应对时间求导数，将二阶系统单位阶跃响应对时间求导数，即可得到二阶系统的单位脉冲响应。即可得到二阶系统的单位脉冲响应。第一张上一张下一张最后一张结束授课零阻尼零阻尼欠阻尼欠阻尼临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼dttdhtg)()( 或对系统闭环传递函数直接进行

45、拉氏反变换，得不同或对系统闭环传递函数直接进行拉氏反变换，得不同 值时二阶系统值时二阶系统的单位脉冲响应的单位脉冲响应 ：特点：特点： （1）零阻尼时为等幅正）零阻尼时为等幅正弦振荡；弦振荡； （2）欠阻尼系统）欠阻尼系统单位脉冲单位脉冲响应曲线具有衰减振荡特征；响应曲线具有衰减振荡特征； （3）单位脉冲响应曲线第单位脉冲响应曲线第一次与时间轴交点的时间为峰值一次与时间轴交点的时间为峰值时间时间t tp p ； （4）如果脉冲响应）如果脉冲响应g(t)不不改变符号，则系统的改变符号，则系统的 =1=1，即，即为临界阻尼或过阻尼；为临界阻尼或过阻尼； （5）单位脉冲响应曲线与单位脉冲响应曲线与时

46、间轴包围的面积为时间轴包围的面积为1 1。 不同不同 值时二阶系统的单位值时二阶系统的单位脉冲响应曲线如右图所示脉冲响应曲线如右图所示第一张上一张下一张最后一张结束授课三、具有零点的二阶系统分析三、具有零点的二阶系统分析 写成零、极点形式时：写成零、极点形式时： 设典型二阶系统的单位阶跃响应为设典型二阶系统的单位阶跃响应为c1(t)，c2(t)为增加零点引起的响应分量为增加零点引起的响应分量,则上则上述具有零点的二阶系统单位阶跃响应述具有零点的二阶系统单位阶跃响应c(t)与与c1 (t)、 c2(t)具有以下关系：具有以下关系： 在典型二阶系统的闭环传递函数中增加一个闭环零点在典型二阶系统的闭

47、环传递函数中增加一个闭环零点，构成一类具有零构成一类具有零点的二阶系统。点的二阶系统。第一张上一张下一张最后一张结束授课 其阶跃响应与典型二阶系统明显不同。此时系统的闭环传递函数为：其阶跃响应与典型二阶系统明显不同。此时系统的闭环传递函数为：c(t)=c1 (t) + c2(t)求其拉氏反变换，得：求其拉氏反变换，得：单位阶跃响应的拉氏变换为单位阶跃响应的拉氏变换为:第一张上一张下一张最后一张结束授课单位阶跃响应曲线如右图所示单位阶跃响应曲线如右图所示 为定量说明引入的零点对典型二阶为定量说明引入的零点对典型二阶系统性能的影响，引入系统性能的影响，引入不同不同a时的单位阶跃响应曲线时的单位阶跃

48、响应曲线 %与与a的关系的关系几点结论：几点结论： 当其它条件不变时，附加一个零点，将使当其它条件不变时，附加一个零点，将使 %增大，增大，tr和和tp减小减小; a减小时，明显加大上述影响；减小时，明显加大上述影响；a加大时，对系统的影响变小，增大到加大时，对系统的影响变小，增大到一定程度时，可以忽略该零点的影响一定程度时，可以忽略该零点的影响； 采用在系统闭环外增加一阶微分环节的方法实现附加零点，采用在系统闭环外增加一阶微分环节的方法实现附加零点，不改变原不改变原系统的闭环极点系统的闭环极点。第一张上一张下一张最后一张结束授课第四节第四节 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析 一、三阶系统

49、的单位阶跃响应一、三阶系统的单位阶跃响应 典型三阶系统是最简单的高阶系统，是在典型二阶系统基础上增加一典型三阶系统是最简单的高阶系统，是在典型二阶系统基础上增加一个惯性环节构成，其传递函数为：个惯性环节构成，其传递函数为：第一张上一张下一张最后一张结束授课 在控制工程中在控制工程中,几乎所有系统都是高阶系统几乎所有系统都是高阶系统,其动态一般比较复杂。其动态一般比较复杂。 但满足一定条件时但满足一定条件时,可用一阶或二阶系统近似分析可用一阶或二阶系统近似分析,此时采用了高阶系统此时采用了高阶系统闭环主导极点闭环主导极点的概念的概念可改写为：可改写为：设设 0 1）时，其影响逐渐减小。）时，其影

50、响逐渐减小。 如果增加的极点位于共轭复数极如果增加的极点位于共轭复数极点的右侧（即点的右侧（即 1），则系统响应趋），则系统响应趋于平缓，响应特性类似于过阻尼情况于平缓，响应特性类似于过阻尼情况的二阶系统。的二阶系统。 二、高阶系统的单位阶跃响应二、高阶系统的单位阶跃响应 1 1高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应 一般高阶系统的方框图如右图所示一般高阶系统的方框图如右图所示 零、极点形式为：零、极点形式为： 第一张上一张下一张最后一张结束授课传递函数为：传递函数为： 有理分式表示为有理分式表示为:K*=b0/a0为闭环传递函数写为闭环零、极点时的系数为闭环传递函数写为闭环零、极点时的

51、系数 当输入单位阶跃信号时，其系统阶跃当输入单位阶跃信号时，其系统阶跃响应响应的的拉氏变换式为拉氏变换式为:第一张上一张下一张最后一张结束授课设设 0 k 0), i=0,1,2,n 解解 因因ai 0 ，故可使用林纳德故可使用林纳德-奇帕特证明的推论进行判断。因为奇帕特证明的推论进行判断。因为 所以系统稳定。所以系统稳定。 利用特征方程的系数构成劳斯表：利用特征方程的系数构成劳斯表： 表中，除第一、二行外需要按照表中，除第一、二行外需要按照下列规律进行计算。下列规律进行计算。 劳斯判据劳斯判据： (ai0) 劳斯表中第一列的所有计算值均大于零，则系统稳定。反之，如果第劳斯表中第一列的所有计算

52、值均大于零，则系统稳定。反之，如果第一列中出现小于或等于零的数，系统不稳定。而且第一列各系数符号的改一列中出现小于或等于零的数，系统不稳定。而且第一列各系数符号的改变次数，等于变次数，等于特征方程正实部根的数目。特征方程正实部根的数目。 注意注意：劳斯表的每一行右边要计算到出现零为止；总行数应为劳斯表的每一行右边要计算到出现零为止；总行数应为n+1;如如果计算过程无误，最后一行应只有一个数，且等于果计算过程无误，最后一行应只有一个数，且等于an；可用一个正整数去可用一个正整数去乘以或除去劳斯表中的任意一行，不改变判断结果。乘以或除去劳斯表中的任意一行，不改变判断结果。第一张上一张下一张最后一张

53、结束授课【例【例3-7】系统特征方程为】系统特征方程为S42S33S24S5=0，试用劳斯判据判别试用劳斯判据判别系统是否稳定；系统是否稳定；若不稳定，确定正实部根的数目。若不稳定，确定正实部根的数目。 因第一列出现负数，所以系统不稳定。又因第一列系数符号了改变两因第一列出现负数，所以系统不稳定。又因第一列系数符号了改变两次，故特征方程有两个正实部根。次，故特征方程有两个正实部根。 如题意只要求判别稳定性如题意只要求判别稳定性,则计算至出现符号改变即可结束。否则应计则计算至出现符号改变即可结束。否则应计算到算到n+1行。行。解解 根据特征方程系数计算劳斯表根据特征方程系数计算劳斯表第一张上一张

54、下一张最后一张结束授课【例【例3-8】某系统特征方程为】某系统特征方程为S43S33S22S2=O，试用劳斯判据判试用劳斯判据判断系统的稳定性。断系统的稳定性。解解 根据特征方程系数计算劳斯表根据特征方程系数计算劳斯表 因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，因第一列出现负数，系统是不稳定的。且第一列系数符号改变两次，故特征方程有两个正实部根。故特征方程有两个正实部根。第一张上一张下一张最后一张结束授课 特殊情况一特殊情况一： 劳斯表的某一行中，出现第一列为零，而其余各项不全为零。劳斯表的某一行中，出现第一列为零，而其余各项不全为零。 这时可用这时可用一个足够小一个足够小的

55、正数的正数 代替为零的项，然后继续计算劳斯表余下代替为零的项，然后继续计算劳斯表余下 系数系数 【例【例3-9】系统的特征方程为】系统的特征方程为S42S3+s2+2s1=0,试判别系统的稳定性。试判别系统的稳定性。解解 列如下劳斯表，并计算。因第三行符号变为负，所以系统不稳定，第列如下劳斯表，并计算。因第三行符号变为负，所以系统不稳定，第一列系数改变两次符号，因此有两个正实部根。一列系数改变两次符号，因此有两个正实部根。 第一张上一张下一张最后一张结束授课第一张上一张下一张最后一张结束授课特殊情况二特殊情况二：计算劳斯表时计算劳斯表时,某一行各项全为零。某一行各项全为零。 这表明特征方程具有

56、对这表明特征方程具有对称于原点的根。称于原点的根。 这时可将不为零的最后一行这时可将不为零的最后一行(即全为零行的上一行即全为零行的上一行)的各项构成一个的各项构成一个辅辅助多项式助多项式。用对辅助多项式各项对。用对辅助多项式各项对s求导求导后所得的系数代替全部为零行的后所得的系数代替全部为零行的各项，继续计算余下各行。各项，继续计算余下各行。 这些对称于原点的根可令这些对称于原点的根可令辅助多项式等于零辅助多项式等于零构成的构成的辅助方程辅助方程求得求得 【例【例3-103-10】系统特征方程为】系统特征方程为 S S5 5S S4 4十十3 3s s3 3十十3 3s s2 22S2S2=

57、02=0，试判别系统的试判别系统的稳定性。稳定性。解解 列劳斯表列劳斯表构成辅助方程：构成辅助方程： Q（s）=S43S22=0 求导后得求导后得 4 4S S3 3十十 6 6S=0S=0，用其系数构成全为零的用其系数构成全为零的行，继续计算余下各行：行，继续计算余下各行：第一张上一张下一张最后一张结束授课 可知，系统不稳定，但第一列元可知，系统不稳定，但第一列元素未改变符号，所以系统没有位于素未改变符号，所以系统没有位于S右半平面的根，有位于虚轴上的根。右半平面的根，有位于虚轴上的根。 虚轴上根的求取虚轴上根的求取 由辅助方程可得由辅助方程可得 S43s22=0则有则有 （S21）（）（S

58、22）=02故故S1、2=j，S3、4= j 五、稳定判据的应用五、稳定判据的应用 1判别系统的稳定性（判别系统的稳定性（前已述及，略前已述及，略） 2分析系统参数变化对稳定性影响分析系统参数变化对稳定性影响第一张上一张下一张最后一张结束授课【例例3-11】设控制系统结构图如下图】设控制系统结构图如下图 所示，试确定满足稳定要求时所示，试确定满足稳定要求时K1的的解解 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为特征方称为：特征方称为：为使系统稳定，必须有为使系统稳定，必须有（1）K10临界值和开环放大系数的稳定临界值临界值和开环放大系数的稳定临界值Kc。 即利用代数稳定判据可以确定系统中某个参数

59、变化对系统稳定性的影即利用代数稳定判据可以确定系统中某个参数变化对系统稳定性的影响响,给出使系统稳定的参数范围。给出使系统稳定的参数范围。 （2）a1a2-a0a30,得得K16综合考虑（综合考虑（1）、（）、（2），求得使系统稳定的），求得使系统稳定的 K1取值范围应为：取值范围应为：0K10,系统稳定。系统稳定。 （2）令）令s=z- =z-1,代入特征方程得代入特征方程得：2 2z z3 3+4z+4z2 2-z-1=0-z-1=0， （3）利用劳斯判据对新系统进行判断）利用劳斯判据对新系统进行判断,第一列符号变化一次第一列符号变化一次,系统不稳系统不稳定。原系统达不到定。原系统达不到

60、=1的稳定裕度。的稳定裕度。第一张上一张下一张最后一张结束授课第六节第六节 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算 系统响应系统响应由由稳态响应稳态响应和和暂态响应暂态响应两部分组成。从稳态响应可以分析系统两部分组成。从稳态响应可以分析系统的的稳态误差稳态误差，从而定量分析系统的稳态性能。，从而定量分析系统的稳态性能。 因此因此稳态误差分析稳态误差分析是控制系统分析的一项基本内容，前提是系统稳定。是控制系统分析的一项基本内容，前提是系统稳定。第一张上一张下一张最后一张结束授课 控制系统的稳态误差是系统控制准确度（控制精度）的一种定量指标。控制系统的稳态误差是系统控制准确度（控制精度）的一