中职数学教案平面向量9份教案

1、7.1.1 位移与向量的表示【教学目标】1.了解有向线段的概念，理解并掌握向量的有关概念和向量相等的含义.2.会用有向线段表示向量，并能根据图形判定向量是否平行、相等.3.通过教学培养学生数形结合的能力.【教学重点】向量的概念.【教学难点】向量的概念.【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法.从物理背景和几何背景入手， 建立起学习向量概念及其表示方法的基础，结合丰富的实例，归纳、概括向量的有关概念， 使学生容易理解.同时结合习题让学生加深对相等向量的理解.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图阅读教材P31前三自然段，认识数教师提出问题.通过阅读教材中量与向量的不同.学生阅读

2、教材，回答数量的例子与物理中学过导与向量的不冋：向量不仅有大的其他实例，由具体入举出向量的其他例子.小而且有方向；数量只有大小.到抽象，概括、认识学生回顾物理中学过的向向量概念，符合职校量：力、速度等.学生的认知能力.1.向量的概念具有大小和方向的量叫做向量.2.向量的表示方法教师结合教材图7-1,引导结合教材中实例问题1如何描述平面上一点的位学生体会用有向线段可以表示引入有向线段，学生移？B位移这样具有大小和方向的向感觉自然，易于接受.新终点量.课A让学生画有向线段描述位通过作图进一步始点移：“北偏东45,3个单位”.加深对向量两个要素(1)用有向线段来表示向量.有向以及为什么可以用有线段的

3、长度表示向量的大小，有向线段教师给出向量表示法.向线段表示向量的认的方向表示向量的方向.让学生在自己画好的向量识.(2)用有向线段AB来表示向量上标注AAB或a.让学生自己动手时，我们也称为向量AB;在印刷时，向量常用黑体小写字母a,b,c,来表示，书写时，则常用带箭头的小写字母教师巡视， 强调字母上面 加前头，AB定要始点写在3.自由向量只有大小和方向，而无特定的位置.4.向量的两要素大小与方向.5.相等向量课同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量如上图中，有向线段AA,BB,CC都表示同一向量_a,这时可记作AA=BB=CC=a.例如图所示，设0是正六边形ABCDEF的中心，分别写

4、出与向量0A,OB,0C相等的向量.解石A=3B=EF=DO;OB= FA= DC= EO;OC= AB= ED= FO.终点前.教师引导学生体会位移与 力这两种向量的不同，位移只 有大小和方向，而没有作用点, 可以平移.学生认识总结向量的两要素.教师引导给出相等向量的概念.学生看图解答.标注云B或_a，易于发现学生常犯的错 误，例如少箭头等， 教师及时指正.比较力与位移两种向量，更深刻地认 识自由向量.让学生认识向量的两要素很关键.紧扣两要素， 学生 能很轻松的理解相等 向量的概念.练习一已知D,E,F是厶ABC三边AB,BC,CA的中点，分别写出与DE,1=F,FD相等的向量.6.向量的模

5、已知向量只B，则有向线段只B的长度，叫做向量AB的长度（或模），记作7.零向量长度等于零的向量，记作0.零向 量的方向是不确定的.&共线向量（或平行向量） 如果表示一些向量的有向线段所在 直线互相平行或重合，则称这些向量平 行或共线.平行向量方向相同或相反，向量_a平行于向量b，记作_a IInb.我们规定：零向量与任一向量平行，即对任一向量，都有0 IIa.9.位置向量问题2如何用向量确定平面内一点的位置？任给一定点o和向量，过点o作有向线段A=_a ，则点A相对于点o的位置被向量所唯师：线段长度可以比较大小，向量可以吗？教材图7-3中|AA |=?学生熟悉向量的模的记法并思考回答问

6、题.学生辨别0与0的不同.教师给出共线向量概念.学生辨析向量平行与直线平行的区别以及相等向量与共 线向量的不同.教师引导给出位置向量概念.师：有了位置向量的概念,学生经常发生例如B=3的错误，一 定要强调向量与向量 模的不同.通过辨析向量平行与直线平行的区 别，进一步加深对共 线向量以及自由向量 与位置无关的认识.学生练习巩固.一确定.这时向量（3A通常称作点A相对 于点0的位置向量.我们就可以利用位置向量确定 一点相对于另一点的位置，这 样，我们就可以用向量来研究 几何了.引入位置向量为 利用向量来研究几何 问题提供理论依据.例如0A=“东偏南50就表示天津相对于北京的位置.,114km”新

7、 课练习二在平面上任意确定一点 点0“东偏北60,3 cm”0“南偏西30,3 cm”处,和Q相对于点0的位置向量.0,点P在 处，Q在点画出点P学生练习巩固.1.向量概念与向量的长度.师生合作.梳理总结也可针 对学生薄弱或易错处 进行.小结2.向量的两要素.3.向量的表示方法.4相等向量与共线向量.5.零向量.6.位置向量.作业教材P34,练习B组第1题.巩固.7.1.2 向量的加法【教学目标】1.理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义，掌握向量加法的运算律.2.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和.3.通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力.【教学重

8、点】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.【教学难点】对向量加法定义的理解.【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法.创设问题情境，激发学生的好奇心与求知欲.并在教学过程中始终注重数形结合，引导学生思考， 使问题处于学生思维的最近 发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.【教学过程】连续位移的效果相同.AB + BC= AC.1.向量加法的三角形法则 已知向量a,b,在平面上任取一点教师引导学生由AB=a,BC=b, 作向量AC，则向量AC位移求和得到向量加做向量a与b的和向量.记作a+b,法的三角形法则.a+b=AB+ BC=AC

9、.Cba+B师生共同总结归纳三角形法则的规律.环节教学内容师生互动设计意图请观察:(1)动点从点A位移到点B,再从点B位移到点C；学生观察现象,得到结论.从学生熟悉的位移（向量）入手，观察现象，得到结论，引入向(2)动点从点A直接位移到点C.结论:B动点从点A直接位移到点C与两次量加法概念，学生容易接受，降低了新课教学的起点.CA练习一当两个向量同向时ab-a+br-ABea+b=AB+BC=AC.当两个向量反向时a-b-a+bI-eABa+b=AAB+BC =AC.对于零向量与任一向量a，都有a+0=0+a=a.例 某人先位移向量a:向东走3 km”，接着再位移向量b: “向北走3 km”，

10、求a+b.解如下图，选择适当的比例尺，作OA=a,AB=b.北b则OB=OA+AB=a+b,学生做练习巩固，并在作图中思考，当向 量平行即不能构成三 角形时，应如何处理？师生共同完成.教师提示学生关注和向量与已知向量的长度关系.教师引导学生完成例题，并再次强调 向量的两要素.学生通过解答后，进一点熟悉了向 量加法的三角形法 则，巩固向量的两要 素.学习新知后紧跟练习，有利于帮助学生掌 握向量加法的三角形法 则.对于作图中学生的 难点两向量平行时求和 的问题，下面教师将重 点讲解.为教材P37练习A组练习3作铺垫.虽然学生已知向量有两要素，但认识还是 不深刻，通过例题再次 巩固.以学生为主，完成

11、求和任务，以熟悉三角 形法则.小结1向量求和的法则：三角形法则、平行四 边形法则.2.向量加法的运算律.师生合作.梳理总结也可针对 学生薄弱或易错处进行 强调和总结.作业教材P37，练习B组第1,2题.巩固.7.1.3 向量的减法【教学目标】1.理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量.2.通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法.【教学重点】向量减法的三角形法则.【教学难点】理解向量减法的定义.【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法.由实例引入，创设问题情境，教师引导学生由向量加法得到向量减法.并在教学过程中始终注重数形结合，对比教学，使问

12、题 处于学生思维的最近发展区，较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图在某地的一条大河中，水流速度为Vi,摆教师提出问题，从实际生活经历出导渡船需要以v2的实际航速到达河对岸，那么摆引入课题.发，激发学生的学习兴入渡船自身应以怎样的航行速度行驶呢？学生思考.趣，同时体现向量的应用价值.1.向量减法法则已知向量a,b,作0A=a,OB=b,贝U教师引导学生由在向量加法的基础向量加法得到向量减上引入减法定义和作图由向量加法的三角形法则，得b+BA=a,我们法.法则，符合学生认知规把向量BA叫做向量a与b的差，记作a律，有利于减法运算的b,即掌握.B

13、A=ab=0A0B.学生比较向量加比较学习，印象深新B课法的三角形法则与向刻.b量减法的作图法则的OaA不同，总结规律.两个向量的差是减向量的终点到被减向量的终点的向量.当两个向量同向时师生合作完成有向量加法的基a础学生解决这类习题b应该更轻松，所以建议ab由学生为主教师为辅来ab= ABAC =CB.当两个向量反向时aab - CABab= ABAC =CB.2.相反向量与向量a等长且方向相反的向量叫做a的相反向量，记作一a.思考：向量减法是加法运算的逆运算吗?师生合作完成.完成但向量加法运算 和减法运算又有不同， 在加法知识先入为主的 思维障碍下，有些学生 加减法会混淆，所以教 师一定要引

14、导学生来区 分两者，加深印象.C已知ABCD,只B=a,AD=b,用向量a和b分别表示向量AC和DB.D解 连接AC，DB,由向量求和的平行四边形法则，有AC=壷+AD=a+b;教师作图，引导学生完成证明：ab=a+(b)教师给出问题.学生根据向量的加法运算和减法运算完成解答.平行四边形是向量运算中经常遇到的图 形，此题作为重点让学 生熟练掌握.=b,作向量EA，则ab=6AOB=EA.作0C=c,0D=d,作向量DC，则cd=0C OD= DC.练习中作图与化简 两类题型都要练到，使 学生对减法法则认识更 加深刻.云BAD;EA EBC ; 0D0A.3.已知口ABCD,只B=a,AD=b,

15、试用向量a和b分别表示以下向量CD, CA;(2) EBD,WA.由减法定义，得DB=ABAD=ab.例2已知向量a,b,c与d,求作向量ab,教师给出问题.学生作图解答.教师结合学生解答情况纠错总结.解 在平面内任取一点0,作OA=a,OB学生练习巩固.练习2.如图是平行四边形，化简:小结1向量的减法法则.2.相反向量.师生合作.梳理总结也可针对 学生薄弱或易错处进行 强调和总结.作业教材P39，习题第1,2题.巩固.7.2数乘向量【教学目标】1.通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律.2.理解并掌握平行向量基本定理.3.通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养

16、学生数形结合的能力.【教学重点】数乘向量运算及运算律与平行向量基本定理.【教学难点】对数乘向量定义与平行向量基本定理的理解.【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法.在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、 提出问题、解决问题的能力.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图1.已知非零向量a，求作：教师提出问题，引在向量加法的a+a+a;入课题.基础上引入数乘向(2) (a)+(a)+(a).量的定义，符合学生认知规律，有利于概aaaaaaa学生观察解答

17、.念的同化.导请观察3a与3a是否还是个向量，它的长入度与方向有何变化.2.已知AB，把线段AB/*B三等分，分点为P,Q,则扁,Z云Q,BP与XB的关系如何？/A1.数乘向量的定义头数入和向量a的乘积是一个向量， 记作扫.向量 也(a丰0,入工0)的长度与方向规定为:教师由具体例子引培养学生由特(1) I扫1=1入II a |;导学生得到数乘向量的殊到一般的归纳总(2)当X0时，扫与a的方向相同；当X1 - -1 -AM=gAB,AN=AC,量的运算法则详细 讲解.- - -1 -1 -MN=ANAM=gACgAB新课=2(屁AB)=2-BC.1所以MN=gBC, 且MN/BC.练习四已知点

18、D是线段BC的中点，求证：T1TTAD=(AB+AC).学生练习巩固.1数乘向量的定义及其几何意义.师生合作.梳理总结也可小结2数乘向量运算律.针对学生薄弱或易34平行向量基本定理.单位向量.错处进行强调和总 结.作业教材P43,习题第5题.巩固.731 向量的分解【教学目标】1.理解平面向量的基本定理，会用已知的向量来表示未知的向量.2.启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，让学生学会分析问题和 解决问题.3.通过教学，培养学生数形结合的能力.【教学重点】平面向量的基本定理，用已知的向量来表示未知的向量.【教学难点】理解平面向量的基本定理.【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练

19、结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图复习向量的加法.师生共同回忆向量的加法为知识迁移做准导已知向量a,b,求作向量a + b.法则.备.入Xab /- - 7i.提问如图，设ei,e2是冋一平面内的两教师提出问题.问题是为突出本个不共线的向量，AB,CD,EF, GH是课重点而设计.这一平面内的任一向量，你能用ei,e2教师以AB为例，配以幻灯深度挖掘教材提来表示以上四个向量吗？片形象讲述/AB的分解.出的这个问题，在回s J r JpP学生每四人为一组在练习顾了向量加法的基础D 4 Ml Mi A L Hi r Ml,r-_ 小EEE上，进一步

20、讨论一个E B本上画出CD,EF,GH这三个Hi，:z向量如何用两个向量新1A向量的分解向量.课 / 1线性表示，为顺利引 -1/C教师引导学生订正答案，出平面向量基本定理 JH L 11 M. Ml并再次强调四个向量的分解依Ie1做好准备.据是向量的加法.L drn2.平面向量基本定理教师由以上问题引导学生通过问题的详细如果e1e2是平面上的两个不平行总结得出平面向量的基本疋探究引出平面向量的的向量，那么对该平面上的任一向量a,理. 存在唯一的一对实数ai,a2使a = aiei+ a2e2.练习一如图已知ei,e2, 用ei,e2表示AB,例i已知平行四边形ABCD的两 条对角线相交于点M

21、,设壷=a,AD= b,试用a,b表示MA,MB,MC,MD.解因为AC = AB+AD= a + b,DB =ABAD= a + b,所以TiTiMA =2AC =2( a + b)i i=2a2b;TiTiMB=2DB=2(ab)i i=2a2b;学生模仿练习;师生统一订正.师：从问题和练习中可以 看到一个重要的事实，即平面 上任一向量都可沿两个不平行 的方向分解为唯一一对向量的 和.教师出示例题.教师首先请学生讨论：51渝是哪个向量的一半？52在厶ABC中，AC是哪两个向量的和？学生尝试解答IMB,TC,TD的分解，教师对学生的回答基本定理， 比直接给 出定理更符合学生的 特点，容易被学

22、生接 受.巩固理解， 形成 技能.通过例i,让学生 进一步掌握利用平面 向量基本定理来分解 某一个向量，从而提 高学生的读图能力， 并与前面学过的知识 结合，对学过的定理 有更深层次的认识和 理解.通过学生讨论，老师点拨， 帮助学生 分解难点，明确解题 步骤.新 课1 1 1MC= AC= 2 a +b；f1宀11MD =gDB =严+2匕.练习二已知平行四边形ABCD的两条对角线相父于点0,设0A=a，OB= b,试用a，b表示0C,OD,DC,BC.D .亠CA乜给以补充、完善，师生共同总 结解答方法.学生模仿练习.根据学生做题情况， 了解学生对本节课知 识的掌握情况.小结1.平面向量基本

23、定理.2.平面向量基本定理的应用.师生合作.梳理总结也可针 对学生薄弱或易错处 进行强调和总结.作业教材P45练习B组第1,2题.巩固拓展.732 向量的直角坐标运算【教学目标】1.理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算.2.能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行.3.通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.【教学重点】平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行.【教学难点】理解平面向量的坐标表示.【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作用，开展自学活动，通过类比、

24、联想，发现问题，解决问题引导学生分析归纳，形成概念.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导 入1.平可以怎么表y面内建立了直角坐标系，点A:示?_ A(a,b)111教师提出问题.学生回忆解答.为知识迁移做准备.O2.平面3.平x耳向量是否也有类似的表示呢？U向量基本定理的内容是什么？新 课1.向量的直角坐标在直角坐标系内，我们分别：(1)取基向量：取与x轴和y轴的正方向相同的两个单位向量e2作为基向量.(2)得到实数对：任作一个向量a,由平面向量基本定理，有且只有一对实数a1,a2,使得a=玄伶+a?e2,我们把 佃,a2)叫做向量a的坐标，记作学生阅读课本，讨论并回答教师提出的问题：(

25、1)e?与平面向量基 本定理中的有什么区别？(2)向量的坐标与有序实 数对之间是什么关系？教师针对学生的回答进行点评.教师引导学生学习向量的问题是为突出本 课重点而设计.通过 对比教学可以加深学 生的印象.通过问题 的详细探究，比直接 给出说明更符合学生的特点，容易被学生 接受.其中ai叫做a在x轴上的坐标，a2叫 做a在y轴上的坐标.e1,e2叫做直角坐 标平面上的基向量.式叫做向量的坐标表示.y iaa2e2e2O elaiei*x探究：(1)如图，ei,e2是直角坐标平面 上的基向量，你能写出0,ei,e2的坐标吗？y丨e2 I- *-O eiXei=(i,0),e2=(0,i),0=(

26、0,0).(2)向量的坐标与点的坐标之间有何关系？设点A的坐标为(x,y),则0A=xei+ye2=(x,y).即点A的位置向量6A的坐标(x,y),直角坐标表示.学生尝试解答.教师针对学生的回答进行点评.教师提出问题.师生共同解答.试一试：在平面直角坐标系xOy中作向量a=(i,2), 作有向线段0A，使得点A(i,2)，并说明向量a与有向线段0A表示的向量的关系.求特殊向量的坐标，可以加深学生对 向量坐标概念的理 解，从而提高学生的 读图能力.加深对向量3A的坐标与点A的坐标 对应”这个结论 的理解， 在向量坐标 与原有的点坐标之间 架起桥梁， 为应用向 量知识解决几何问题奠定基础.也就是

27、点A的坐标；反之，点A的坐标 也是点A相对于坐标原点的位置向量0A的坐标.例1如图，用基向量e2分别表示向量a，b,c, d,并求出它们的坐标.y解由图可知a=3ei+2e2=(3,2 ),b=2ei+3e2=(2,3),c=2 ei3e2=(2,3),d=2ei3e2=(2, 3).2.向量的直角坐标运算(1)如果a=(ai,a?),b=(bi,b?), 则a+b=(ai,a2)+(bi,b2)=(ai+bi,a2+b2)；ab=(ai,a2)(bi,b2)=(aibi,a2b2)；扫=Xai,a2)=(扫i,匕2), 其中入是实数.证明a+b=(ai,a2)+(bi,b2)=(aiei+a

28、?)+(biei+bze2)=aiei+biei+a2e2+b2e2学生讨论求解.学生阅读课本向量的直角坐标运算公式，在理解的基础 上记忆坐标运算公式.教师对于第一个性质引领学生仔细推导.教师给出具体 的证明步骤.通过例i可让学 生加深对向量的直角 坐标表示概念的理 解，从而进一步提高 学生的读图能力.在板书证明的过程中，突出解题思路 与步骤.=(ai+bi) ei+(a2+b?) e2=(ai+bi,a2+b2).请同学仿照上面的证明，自己证明 其他两个结论.上述向量的坐标运算公式，也可用 语言分别表述为：两个向量和与差的坐标分别等于这 两个向量相应坐标的和与差；数乘向量积的坐标等于数乘上向

29、量 相应坐标的积.例2已知a=(2,1),b=(3,4), 求a+b,ab,3a+4b.解a+b=(2,1)+(3,4)=(1,5)；ab=(2,1)(3,4)=(5, 3);3a+4b=3(2,1)+4(3,4)=(6,3)+(12,16)=(6,19).例3已知A (X1,y1),点B (x2,y2),求AB的坐标. 解AB=OBOA=(X2,y2)(x1,y1)=(X2X1,y2y)学生可分组讨论证明其他两个公式；小组讨论后， 教师对学生 的回答给以补充、完善.师生共同总结向量的直角坐标运算公式及文字叙述.教师简单点拨，学生尝试解答a+b,ab,3a+4b.教师点评，并板书详细的 解题过

30、程.教师出示冋题.学生阅读图形，讨论并回答教师提出的问题：(1)MB是哪两个向量的差向量？(2)6A和3B坐标分别为什么？教师针对学生的回答进行点评.师生共同总结文字结论通过学生讨论，老师点拨， 可以突出 解题思路，深化解题 步骤，分解难点.巩固理解，形成 技能.可以进一步培养学生的读图，识图能力， 培养学生数形结 合的思想.一个向量的坐标等于表示此向量的新 课有向线段的终点坐标减标.练习一1.已知a,b的b：a=(4,3),a=(3,0),2.已知A,B两BA的坐标：A(-3,4),A(3,6),例4已知A (- 求线段AB中点M白y 或去始点的相应坐坐标，求a+b,ab=(4,8);b=(

31、0,4).坷点的坐标，求壷,B(6,3);B(8, 7).-2,1)，点B (1,3), 勺坐标.L学生抢答.教师点拨，学生讨论解答. 老师巡回观察点拨、解答学生 疑难.教师点评，并板书详细的解题过程.在板书例题的过 程中，突出解题思路 与步骤.为知识迁移做准O解因为AB= 0B 0A=(1,3)(所以OM=3AT=0A+=(2=(-21因此M(2,2：1x2,1)=(3,2);-AM2AB1)+2(3,2)2).).备.3.用向量的坐标表示向量平行的条件复习：(1)平行向量基本定理：如果向量0,则a/b的充分必要条件是，存在 唯一实数入使a(2)数乘向量：已知b=(bi,b2), 则)b=(

32、?bi,粒).问题：在直角坐标系中，向量可以用 坐标表示，那么，能否用向量的坐标表 示两个向量的平行呢？探究：设a=(ai,a2),b=(bi,b2), 如果b丰0,则条件a=血可用坐标表 示为(ai,a2)=?(bi,b2),即a*i=九b(a?=九b?消去入得aib2a2bi=0.一般地，对于任意向量a=(ai,a2),b=(bi,b2)，都有a / baib2a2bi=0.例5判断下列两个向量是否平行：a=(i,3),b=(5,i5);(2) e=(2,0),f=(0,3).解(i)因为(一i)X(i5)3X5=0,所以向量a和向量b平行；(2)因为2X30X0=6工0,所以 向量e和f

33、不平行.例6已知点A(2, i),B(0,4),师生共同复习.教师提出问题引出探究 的问题.师生共同探究用向量的坐标表示向量平行的条件.教师 给出具体的探究步骤.学生尝试解答.师生共同解决例5,教师 详细板书解题过程，带领学生 仔细分析解题步骤.通过例5可让学 生加深对向量平行的 条件的理解.教师点拨，学生讨论解答.通过例6进一步向量a=(1,y),并且云B/a,求a的纵坐标y.加深学生对向量的坐 标表示向量平行的条 件的理解.解由已知条件得AB=(0,4)(2,1)=(2,5),因为壷/a,所以1X52xy=0.解得y=2.新 课例7已知点A(2, 3),B(0,1),C(2,5)，求证：A

34、,B,C三点共线.证明由已知条件得AB=(0,1)(2, 3)=(2,4),AC=(2,5)(2, 3)=(4,8).师生合作共同完成.通过学生讨论、 教师点拨，帮助学生 顺利证明A,B,C三点共线.再次巩固 用向量的坐标表示向量平行的思路和步 骤.因为2X84X4=0,所以AB/AC,又线段AB和AC有公共点A,所以A,B,C三点共线.练习二1.已知a=(3, 4),b=(2, 并且a/b,求y.2.已知点A(1, 3),B(0,C(1,1),求证：A,B,C三点共线.y),1),学习新知后紧跟 练习有利于帮助学生 更好的梳理和总结本 节所学内容.有利于 教师检验学生的掌握 情况.小结1.向

35、量的直角坐标a=玄伶+a?e2=,a?).2.向量的直角坐标运算：(1)两个向量和与差的坐标分别 等于这两个向量相应坐标的和与差；(2)数乘向量积的坐标等于数乘 上向量相应坐标的积；(3)一个向量的坐标等于向量终点 的坐标减去始点的相应坐标.3.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则学生阅读课本，畅谈本节 课的收获，老师引导梳理，总 结本节课的知识点.梳理总结也可针 对学生薄弱或易错处 进行强调和总结.aIIb二aib2a2bi=0作业教材P49练习A组第1题，第2题(1) (3)；教材P51练习A组第3题.巩固拓展.741 向量的内积【教学目标】1.理解并掌握平面向量内积的基本概念，会

36、用已知条件来求向量的内积.2.掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题.3.通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点.【教学重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律.【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解.【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图一个物体在力F的作用下产生了位 移s,那么力F所做的功应当怎样计算？F教师提出问题.并简单讲 解什么是功，让学生对功有个 基本了解.师生共同计算这个力所做 的功.我们知道，功只有大小，没有方向，它由力和

37、位移两个 向量来确定，这给我们一种启 示，能否把“功”看成是这两 个向量的一种运算的结果呢？ 引出课题.此引例体现了数 学知识与其他学科的 联系，让学生了解所 学内容在实际生活中 的具体应用.1rsQ O*r芒丄事声$声豪$声扌扌冷工启导 入力做的功为W=lsIIF1cos0,其中6是F与s的夹角.IFIcos0是F在物体前进方向上 分量的大小.IsIIFIcos0称为位移s与力向 量F的内积.新 课1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作0A=a,OB=b,则/AOB叫向量a与b的夹角.记作？a,b?,规定0注?a,b?c 180 说明：(1)当?a,b?=0汨寸，a与b同向；(2)

38、当?a,b?=180时，a与b反向；(3)当?a,b?=90 W, a与b垂直， 记做a丄b;学生阅读课本，讨论并回答教师提出的问题：(1) 当？a,b?=0湘180o时a与b的方向是怎样的？(2)当？a,b?=90时，a与b的方向又是怎样的？师生共同总结，师重点强调说明(4).此问题是为本课 重点向量的内积概念 而准备.通过问题的 详细探究给出概念， 比直接给出更符合学 生的特点，容易被学 生接受.新 课在两向量的夹角疋义中，两向量 必须是同起点的.2.向量的内积已知非零向量a与b,?a,b?为两向 量的夹角，则数量| a | | b | cos?a，b?叫做a与b的内积.记作ab=| a

39、| | b | cos?a,b?.规定：0向量与任何向量的内积为0.说明：(1)两个向量的内积是一个头数， 不是向量，可以是正数、负数或零，符号 由cos?a,b?的符号所决疋；(2)两个向量的内积，写成ab,符号“”在向量运算中不是乘号，既不 能省略，也不能用“ 乂代替例1求|a |=5,|b|=4,?a,b?=*120.求ab.解由已知条件得ab=| a | | b | cos?a,b?=5X4Xcos 120二10.3.向量的内积的性质设a,b为两个非零向量，e是单位 向量，则：(1)a e=e a=1a1cos ? a,e?;(2)a丄b = a b=0;(3)a a=| a |2或|

40、 a |=&a;(4)1a bllallb1.4.向量的内积的运算律(1)交换律：a b=b a;(2)结合律：(扫)b=Xa b)=a(呵;教师直接给出向量内积的 基本表达式.教师引导学生学习向量内 积的概念.学生阅读课本中向量内积 的概念，在理解的基础上记忆 向量内积的概念.教师总结向量内积的含 义，以及公式中的注意事项.学生讨论求解.学生阅读课本中向量内积 的性质，在理解的基础上记忆 向量内积的性质.教师对于每一个性质都要 引领学生从向量内积的表达式 入手，仔细推导.教师引导学生学习向量内 积的运算律.让学生明确内积在本节中首次引 入了抽象的向量内积， 学生往往只接受具体 的基本

41、表达式，而不能 接受ab的含义， 所以应让学生从符号的 含义开始认识，这部分 教师必须讲解清楚.求内积题目不必 过难，重点在理解内 积的概念.两向量的内积是 两向量乘法的一种， 是学生以前所未接触 过的，与以前数量间 的乘法、实数与向量 间的乘法有很大区 另U,因此运算法则、 运算律都要重新推 导，学生对于概念和 运算法则的理解和掌 握有些困难.它与实(3)分配律：(a+b) c=a c+be.满足交换律和分配律，不满足数乘法的概念，性质结合律.比如，实数乘法满足及运算律有联系也有结合律：(ab)-c=a-(b-c),区别，这一区别是教而向量的内积不满足；又如实学的重点也是学生学数乘法满足：a

42、-c=b-ca习的难点.=b，而向量的内积不满足这种推出关系.例2求证：通过例2可让学2(1)(a+b) (-ab)=la1 -lbl2;学生分组讨论证明的方生加深对结合律与运(2)1a+b12+lab12法；算律的理解.=2(1a12|b12)小组讨论后，教师对学生通过学生讨论，老师点拨，可以突出证明 (1)显然的回答给以补充、完善，师生解题思路，深化解题(a+b) (-ab)共同总结解答方法.步骤，分解难点.=a aa b+b ab b教师给出具体的证明步骤.=1a121b12；新(2)因为课1a+b12=(a+b) (a+b)=1a12+2 a b+lb12,labl2=(ab) (-a

43、b)=lal22 a b+lb12,所以la+bl2+labl2=2(lal2lbl2).练习1.已知| a |,| b |, ?a,b?,求a b：学习新知后紧跟(1) | a |=7,| b |=12,?a,b?=120师生合作共同完成.练习，有利于帮助学丨a |=8,| b |=4,?a,b?= n;生更好的梳理和总结2.已知| a |,| b |,a b,求?a,b?:(1) | a | b |=16,a b=8;本节所学内容.有利(2) | a | b |=12,a b=6心.于教师检验学生的掌握情况.小结本节课我们主要学习了平面向量的 内积，常见的题型主要有：（1）直接计算内积；（

44、2）由内积求向量的模；（3）运用内积的性质判定两向量是 否垂直；（4）性质和运算律的简单应用.学生阅读课本，畅谈本节 课的收获，老师引导梳理，总 结本节课的知识点.梳理总结也可针 对学生薄弱或易错处 进行强调和总结.作业教材P54练习A组第2题（1） （3）,第3题（1）（2）;（选做）练习B组第1题.巩固拓展.7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式【教学目标】1.掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题.2.能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直.3.通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力.【教

45、学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用.【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导，即ab=| a | b | cos?a,b?与ab=aei+a2b2两个式子的内在联系.【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一.无论是向量的线性运算还是向量的内积运算， 最终归结为直角坐标运算. 教 学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、 条理化，从而有利 于学生知识体系的形成.【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图1.已知非零向量a与b，贝Ua与教师提出问题.为知识迁移做准导入b的内积表达

46、式是怎样的？由内积表达 式怎样求cos?a,b?2.alb二：3.| a |与paa有何关系？学生回忆解答师生共同 回忆旧知识.师： 对平面向量的内积的 研究不能仅仅停留在几何角 度，还要寻求其坐标表示.引 出探究问题.备.已知ei,e2是直角坐标平面上的基学生讨论并回答，教师再问题为复习向量向量,a=(ai,a2),b=(bi,b2),你能推提出的下列冋题：的线性运算和向量的导出ab的坐标公式吗？(i)(aiei+a2e2)(biei+内积而设计.通过学探究过程b2G2）是怎样进行运算的？生的探究给出结论，ab=(aiei+a2e2)(biei+b2e2)(2)ei ei,e2e2,eiG比

47、直接给出更符合学新=aibiei&+ aib2eie?的内积是怎样计算的？生的特点，容易被学课+a2bieie2+a2b2勺，教师针对学生的回答进行生接受.通过结论的又因为点评.师生共同写出详细的探探究，让学生初步感新课eiei=1,e2e?=1, 勺=0,所以ab=aibi+a2b2.定理 在平面直角坐标系中，已知ei,e2是直角坐标平面上的基向量，两 个非零向量a=(ai,a2),b=(bi,b2), 则ab=aibi+a2b2-这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和.我们还可以得到以下结论：(i )向量垂直的充要条件为a丄baibi+a2b2=0;(2)两向量夹角余弦

48、的计算公式为-aibi+a?b2COS?a,b?=J 2丄a2J2丄b2.ai+a2pbi+b2问题：(i)若已知a=(ai,a2),你能用上面 的定理求出| a |吗？解因为2| a |=aa=(ai,a2)(ai,a2)=ai2+a22,所以| a |=寸i2+a22.这就是根据向量的坐标求向量长度 的计算公式.若已知A(xi,yi),B(X2,y2),你能求出CAB|吗？解 因为A(Xi,yi),B(X2,y2)，所以AB=(X2-xi,y2-yi).因为| a |=需2+a22，所以|天B|=V(X2-Xi)2+(y2-yi)2,究过程.教师给出向量内积的直角 坐标运算公式.并引导学生

49、用 文字叙述.在教师的引导下学生讨论 得出.教师提出问题，稍加点拨.学生讨论解答.教师总结得出这就是根据 向量的坐标求向量长度的计算 公式.教师提出问题.学生讨论解答.教师总结得出这就是根据 两点的坐标求两点之间的距离 公式.受到无论是向量的线 性运算还是向量的内 积运算，最终都归结 为直角坐标运算.通过对问题的详 细探究得到性质，比 直接给出结论更容易 被学生接受.同时加 深对a -b=aibi+a2b2的理解.从而提高学生的思维能力.使刚刚学过的知 识及时得到应用.新课这就是根据两点的坐标求两点之间 的距离公式.例1设a=(3, -1),b=(1, -2), 求：ab;(2) | a |;

50、(3) | b |;(4)?a,b?.解ab=3X1+(-1)x(-2)=3+2=5；| a 1“ 32+(-1)2=匹；(3) | b |=屮2+(2)2=书;(4)因为a b5y2cos?a,b?-= g住*，|a|b|你乂 念2n所以?a,b?=n4例2已知A(2,-4),B(-2,3), 求|云B|.解 因为A(2, -4),B(-2,3),所 以AB(-2,3)-(2,-4)(-4,7),所以区B|寸72+(-4)2(63.例3已知A(1,2),B(3,4),C(5,0),求证：ABC是等腰三角形.证明因为AB(3-1,4-2)(2,2),AC(5-1,0-2)(4, -2),学生尝

51、试解答.教师针对 学生的回答进行点评.教师点拨，学生解答.教师针对学生的回答进行 点评.教师点拨，学生讨论解答.小组讨论时教师巡视，并 针对学生的回答给予补充、完 善.最后师生共同完成此题.教 师给出具体的解题步骤.通过例1可让学 生加深对向量内积的 直角坐标运算公式及 向量的长度公式的理 解和记忆.巩固公式， 形成 技能.在板书证明的过 程中，突出解题思路 与步骤.BC=(5-3,04)=(2, -4),|AC =弋2+(-2)2=週,|BC |=磁2+(4)2=何，所以|AC|=|BC|.因此ABC是等腰三角形.例4已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，求证：NBlXC.证明因为

52、AB=(2-1,3-2)=(1,1),教师点拨，学生解答.教师针对学生的回答进行点评.通过学生讨论， 老师点拨，可以突出 解题思路，深化解题 步骤，分解难点.顺 利帮助学生完成.新课AC=(-2-1,5-2)=(-3,3),可得AB AC=(1,1)(-3,3)=0.所以AB丄.练习1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,n5),求证：NBAC=22.已知点P的横坐标是7点P到 点N(1,5)的距离等于10,求点P的坐 标.师生合作共同完成.学习新知后紧跟 练习，有利于帮助学 生更好的梳理和总结 本节所学内容.有利 于教师检验学生的掌 握情况.本节课我们主要学习了平面向量内学生阅读课本，畅谈本节梳理总结也可针积的坐标运算与距离公式，常见的题型课的收获，老师引导梳理，总对学生薄弱或易错处小结主要有：(1)直接用两向量的坐标计算内积；(2)根据向量的坐标求模；(3)根据两点坐标求两点间的距离；(4)判疋两向量是否垂直.结本节课的知识点.进行强调和总结.作业教材P56练习A组第1题；教材P57练习B组第1题（选做）.巩固拓展.7.5 向量的应用【教学目标】1.能运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算.2.通过例题，研究利用向量知识解决