万能公式和数列证明答题模板复习进程

1、精品文档万能公式答题模板（亦称为Sn法）必备理论：（整体代换）数列an中，Sn= 3n? 2n，则 Si=3 2=1 , Sn-i= 3 （ n 1） 2 （n 1） =3n? 8n+5 【题头】数列an中，Sn与an （或Sn与n）的关系式形式，求an的表达式（通项公式） 【模板】当 n=1 时，a1=s1 = 二 a1=当 n2 时，an = Sn Sn-1二an= （代题头，自身变换成 Sn-1）= 化简为最简形式（* ）（* ）部分经常见到的为四种形式【形式一】 an=关于n的表达式（#）-譬如an=2n-1结论答法一：经检验 n=1时，满足an,：数列an的通项公式为（#）a的值，n

2、 = 1结论答法二：经检验 n=1时，不满足an,：数列an的通项公式为丿（#）, 22【形式二A】 an= an-1 +常数-譬如an= an-1 +1二数列an为等差数列，且公差为 常数- an= a1+ （n 1）汽公差【形式二B】 an+1 =常数an-譬如an= 2an-1二数列an为等比数列，且公比为 常数- an= a1 x 公比 n-1【形式二】-an= Aan-1 +B 或者-譬如 an= 2an-1 +3(an + 常数)=A ( an-1 + 常数)常数为二数列 an+常数为等比数列，且公比为A二 an+ 常数=（a1 + 常数 汉 A n-1 an =【形式四A】 an

3、= an-1+ f（n）【形式四B】an=f（n）an-1譬如an= an-1+n （方法：累和法）譬如an= nan-1（方法：累积法）-a2 a1= f (2)a3 a2= f (3)a4 a3= f (4)a2aia3a2a4 = fa3(2)(3)(4)an an-1= f (n)将以上各式相加，整理得将以上各式相乘，整理得= f (2) X f (3) X-X f ( n) aian a1= f (2) + f (3) + + f (n)精品文档an= 二 an=证明等差（比）数列模板必备理论：（整体代换）数列an中，an= 3n2-2n，贝V ai=3 2=1 , an-i = 3

4、 （n 1） 2- 2 （n 1） =3n2 8n + 5【题头1】数列an中，条件A,条件B,条件C ,求证：数列bn是等差（比）数列【模板说明】由定义出发，倒序法进行证明，即证明 n_1 , bn+1 bn=常数 或证明n _2 , bn bn-1=常数，通过逆推： 条件C,条件B,条件A,得到常数，即证明等差（比）数列 【模板】自身替换是指，将n换成n+1 ,或n换成n-1（1）等差数列bn+1 bn=自身代换-代入题头=不动 代入题头=常数，结论（抄题）如果化简困难：代入 n=1 ,求解常数（2）等差数列bn bn-1=代入题头自身代换=代入题头 不动=常数，结论（抄题）如果化简困难：

5、代入 n=2，求解常数（4）等比数列bn 1 自身代换不动bn代入题头-代入题头bn.代入题头代入题头（3）等比数列=常数，结论（抄题）bnJ自身代换不动二常数，结论（抄题）【样题】数列fan 满足a1 =1,an =3an 2n -3 n _2 , bn = an n，求证：数列bn是等比数列【分析】由于出现的为n和n-1，所以采用（4）完成模版证明证明： 且 = n3乳2n3 n =3 ,.数列bn是等比数列bnan-1 +（ n-1） an-1 +（n-i）温馨提示：如果常数你化不出来，可以代入n=2,利用a1进行求解常数【练习1】数列 满足a5 , an 2an - 3n nN* ,

6、b“二a“-3n求证：数列bn是等比数列【练习2】数列 订满足a1 =1, an = 2an4 - 2n n _2，求证：数列色是等差数列;,2n【题头2】数列an中，Sn与an （或Sn与n）的关系式形式，求证：数列an是等差数列 【模板】万能公式法（也叫作Sn法）当 n=1 时，a1=Si = 二 a1=当 n2 时，an = Sn Sn-1二an=_ （代题头，自身变换成 Sn-1），二 化简（会出现两种情况）【形式 A】 an= an-1 +常数-譬女口 an= an-1 +1数歹卩an为等差数列，且公差为 常数 an= a什（n 1）兀 公差-女口 an= 2an-1【形式二B】 a

7、n+1 =常数an精品文档抢分环节精品文档二数列an为等比数列,且公比为 常数 an= ai公比n-1【样题】数列fan ?的前n项和Sn ,且Sn1，证明数列4等比数列证明:11当 n=1 时，ai=Si =a1 -1ai= - （132当 n2 时，an = Sn Sn-i（1 分）11 an = a n -1 a n-1 -1- - a n331 an a n _1 2 an _112-（2 分）数列：an /等比数列-(1分)且公比为-1 an=-2 21 n-1）n12（1分）【练习1】数列 玄f的前n项和为Sn, a1 =1，正整数n对应的n,an,Sn成等差数列证明Sn - n 2 f成等比数列【练习2】数列 & , Sn是它的前n项和，且Sn 4an 2 N*,=1(I)设bn Hn 1 -2an N*，求证：数列 g 是等比数列；(n)设cn二牛，求证：数列心餐是等差数列；2【练习3】数列Q 中,a1 =3,前门和Sn二丄5 1)(an 11，求证：数列6 :堤等差数列2【练习4】数列an?中,a1 =5, Sn1.=Sn 55(n，N