自然边界元与有限元求解平面弹性问题的耦合法

1、自然边界元与有限元求解平面弹性问题的耦合法臧彤,赵慧明,杨敏(中国矿业大学力学与建筑工程学院,江苏 徐州 221008摘要:为了更充分地利用有限元与自然边界元各自的优点,并尽量减少由于方法的局限性造成的在计算量及计算精度上的不足。本文引入了有限元与自然边界元耦合的方法,在文中简单介绍了自然边界元法及其与有限元的耦合的原理,通过设置含有重叠区域的圆形人工边界,实现自然边界元法与有限元法的耦合,并把该方法应用到无界区域上的实际算例中,从计算结果的比较中可以看出自然边界元与有限元耦合算法的收敛速度更快,充分体现了耦合法在解决无界区域问题上的优越性。关键词:自然边界元法;有限元法;无界区域;耦合法;D

2、-N迭代中图分类号:TB112A coupling method of natural boundary element and finiteelement for the planar elastic problemZang Tong, Zhao Huiming, Yang Min(School of Mechanices and Civil Engineering, China University of Mining and Technology,JiangSu XuZhou 221008Abstract: In order to make better use of finite el

3、ement and boundary elements the merits, and to minimize the deficiencies in calculating the amount and accuracy on the deficiencies caused by method limitations, this article introduced the natural boundary element method and its coupling with the finite element process, and described simply the nat

4、ural boundary element method and its coupling with the finite element process in the text. This paper gave a briefing on the natural boundary element iterative realization of D-N by setting a circular artificial boundary containing the overlap region, and applied the method to the real unbounded exa

5、mple. By the comparing of results from the different calculation methods, the precision and algorithm converges of results by using coupling method were more good. The analysis fully reflected the superiority of coupling method to solve unbounded regional problems. Keywords:NBEM; FEM; unbounded regi

6、onal; direct coupling method; D-N iteration0引言自然边界元法与有限元法自创立以来,在众多领域都取得了瞩目的成就。但它们也都存在着一定的不足,有限元方法在处理无界问题时有着本质的困难,而自然边界元法则由于一般区域的格林函数难以求得,使得它的应用范围较窄,但二者基于相同的变分原理,这为两种方法的耦合奠定了坚实的理论基础。自然边界元方法,是由Green函数和Green公式出发,将微分方程边值问题归化为边界上强奇异积分方程(或称为超奇异积分方程的一种数值计算方法,在一定程度上它保持了原边值问题的一些有用的性质,保证了解的唯一性和稳定性【1】。另外从数值计算的

7、角度,与一般边界元方法相比,自然边界元方法使刚度矩阵的计算量也大为减少。耦合法既吸取了有限元能适应较任意的有限区域的优点,又克服了自然边界归化对区域一些要求的限制,其总体刚度矩阵正是自然边界元法及有限元法得到的刚度矩阵之和【2】。作者简介:臧彤,(1985-,女,硕士研究生,主要研究方向:计算方法. E-mail: cumt_zt这与其他类型的边界元与有限元的耦合法相比要简单的多。本文借助于区域分解算法的思想,并基于圆形区域人工边界的自然边界归化理论和有限元基本理论,运用自然边界元与有限元的耦合法实现对无界区域上含有重叠区域的平面弹性问题的分析及求解。本文将通过有重叠区域迭代算法实现自然边界元

8、与有限元的耦合,并将该方法应用于求解带方孔的无界弹性区域问题。1 耦合法在无界区域问题中的重叠型迭代实现原理自然边界元与有限元耦合法在求解无界区域问题时尤其显示其优越性。由于有限元法往往难以处理无界区域问题。故在工程计算中常引入人工边界,以割去区域的无界部分而仅在剩下的有界区域中求解【3】。这样为满足足够的精度,必须取相当大的求解区域,而计算一个相当大的区域上的边值问题的数值解依然是很困难的。自然边界元与有限元的耦合法可克服这一困难。通常取圆周为人工边界,即将区域分为圆周外部区域及剩下的有界区域,对圆外区域应用自然边界归化。于是原边值问题化为有界区域上的等价变分问题,然后用自然边界元与有限元的

9、耦合数值求解之【4】。 图1 区域分解图如图,设为包围原点的充分光滑的有界闭曲线,作其外区域,为包围的,以原点为圆心,以R 为半径的边界元区域2的边界。为包围的,以原点为圆心,以r 为半径的有限元区域1的边界。本文在具体实现自然边界元与有限元的耦合法时采用了迭代法来实现,下面介绍一下无界平面弹性问题的自然边界元与有限元的耦合法的有重叠区域迭代原理。考虑有光滑边界的平面区域上的平面弹性方程组的第一边值问题=+上内,0(0GG GG graddiv (1 如上图所示, 1为有界区域,2为无界的圆外区域【5】。1区域用有限元方法来进行求解,2用自然边界元方法来求解,含重叠型区域问题的有重叠区域迭代法

10、的实现过程如下:(1 建立模型并根据实际情况或有限元计算结果将其划分为1有限区域、2无限区域,区域1与2有重叠。(2 给出2区域边界上的初始位移0u G(3 利用Poisson 积分公式(=,*,R u R u P PP P r u r u r rr rrr (R r > (3 计算出有限元边界上的位移(,r u r和(,r u 【6】。(4 将计算得到的(,r u r 和(,r u 作为1区域的边界条件,利用有限元公式,解方程组P u K GG =其中K 为有限元刚度矩阵计算得到位移u G ,P G为1有限区域初始应力条件。(5 将u G 与0u G比较,如果其差的绝对值满足精度要求,

11、则结束计算,否则进行第六步(6 再将上步u K作为2区域的位移边界条件0u G ,代入第二步计算,从而得到第二次循环下的u K ,再进行二者的比较,如此反复,直到误差达到要求。2 数值算例2.1 算例例:考虑研究带方孔的无界弹性区域,方孔是正方形,边长为4m ,方孔周边施加1000m N /的均布载荷,且正方形的形心正好在原点处。设材料的弹性模量E=40GPa ,泊松比为0.3。模型如下图所示:我们运用上述的有重叠区域迭代算法来实现该此问题的耦合。 图(2 截面划分图选取r 为定值240m ,则选取不同的R 值时,自然边界元与有限元耦合法与有限元法在点A (如上图即(2,2点的X 方向位移和Y

12、 方向位移值如下表所示。并对两种方法得到的位移值进行比对分析,变化曲线如下图: 图(3A(2,2点的x方向位移图 图(4A(2,2点的y方向位移根据计算结果画出R=20m时的主应力等值线,如下图所示: 应力等值线 图(6 ANSYS 下应力图2.2 松弛因子的影响为了加快迭代的速度,引入松弛因子。松弛因子即:在每一步迭代时,计算出kU ,对其进行一次松弛,k k k U U U1('1('+=【7】;的取值范围为01,下面我们就此问题通过实验给出表3表3 不同松弛因子的收敛速率比较松弛因子 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 迭代次数 12

13、9 7 6 8 11 15 23 35注:松弛因子取0.4时,收敛速度最快。2.3 结果分析在应用有限元法解决上述算例时,在半径比较小的时候,收敛结果不是很好。 有限元的收敛速度与划分网格的疏密有关,为了控制计算量,计算时网格划分的较稀疏,在一定程度上影响了计算结果的精度。3 结论通过前面的研究得到如下结论(1用自然边界元法解决区域边界问题,划分的网格较少,减小了计算量,并且保证了精度。在半径比较小的时候,耦合法就得到了比较精确的结果,并且随着重合区域宽度的增加,位移收敛情况更好。(2松弛因子的选取对迭代收敛速度的影响很大。当松弛因子取0.4时,迭代收敛速度最快。(3另外,本文只是针对有重叠区域进行的耦合,还可对耦合区域为无重叠区域的情况进行进一步研究。 参考文献 (References1 余德浩.自然边界元方法的数学理论M.北京.科学出版社,19932 余德浩.无界区域上Stokes 问题的自然边界元与有限元耦合法J,计算数学 1992 ,8(3:371-378 3 余德浩.无界区域上基于自然边界归化的一种区域分解算法J,计算数学1994, 4:192-2034 刘敬刚 基于自然边界归化的半无界区域上非重叠型区域分解算法J 保定学院