大学物理―经典力学

1、第一部分第一部分 力学力学1什么是力学什么是力学机械运动机械运动是指物体之间或物体各部分之间发生的相对位置是指物体之间或物体各部分之间发生的相对位置的变化。的变化。机械运动的机械运动的绝对绝对性性运动本是绝对的运动本是绝对的机械运动的机械运动的相对相对性性运动的描述是相对的运动的描述是相对的力学力学研究机械运动及其规律的物理学分支。研究机械运动及其规律的物理学分支。2力学的分类力学的分类根据研究根据研究内容内容分类分类 运动学运动学（KinematicsKinematics）研究物体运动的规律研究物体运动的规律 动力学动力学（DynamicsDynamics） 研究物体运动的原因研究物体运动的

2、原因 静力学静力学（StaticsStatics） 研究物体平衡时的规律研究物体平衡时的规律根据研究根据研究对象对象分类分类 质点力学质点力学研究对象为质点研究对象为质点 刚体力学刚体力学研究对象为刚体研究对象为刚体3数学工具数学工具微积分和矢量微积分和矢量力学的总框架力学的总框架力学力学运动学运动学动力学动力学牛顿牛顿定律定律守恒守恒定律定律动量守恒定律动量守恒定律机械能守恒定律机械能守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律经典力学经典力学描述物体的运动描述物体的运动状态状态运动学运动学寻求物体具有某种运动寻求物体具有某种运动状态的原因状态的原因动力学动力学万万有有引引力力定定律律质点质点运动运

3、动学学刚体刚体运动运动学学静力学静力学动力学动力学质点质点力平力平衡衡刚体刚体力矩力矩平衡平衡质点质点动力动力学学刚体刚体动力动力学学内容结构内容结构国际单位制（国际单位制（SI）量纲量纲sqpTMLQ dim只有量纲相同的物理量才能相加减或用等号相连接；只有量纲相同的物理量才能相加减或用等号相连接；量纲可以用来帮助记忆与推导公式。量纲可以用来帮助记忆与推导公式。（Particle，Mass Point） 质点的引入质点的引入任何物体都有大小和形状。物体在运动时它各部分的位置变任何物体都有大小和形状。物体在运动时它各部分的位置变化是不同的，物体的运动情况是非常复杂的。化是不同的，物体的运动情况

4、是非常复杂的。质点的概念质点的概念当物体的当物体的大小大小和和形状形状忽略不计时，可以把物体当做只有质量忽略不计时，可以把物体当做只有质量没有形状和大小的点没有形状和大小的点质点。质点。说明说明u质点的概念是在考虑主要因素而忽略次要因素引入的一个质点的概念是在考虑主要因素而忽略次要因素引入的一个理想化的力学模型。理想化的力学模型。而不真实存在（物理中有很多理想模型）而不真实存在（物理中有很多理想模型） u质点突出了物体两个基本性质质点突出了物体两个基本性质 1）具有质量）具有质量 2）占有位置）占有位置1-1 1-1 质点和参考系质点和参考系一、质点一、质点1.质点模型质点模型：当物体的线度：

5、当物体的线度(大小和几何形状大小和几何形状)对所研究物体运对所研究物体运动状态的影响可以忽略不计时，动状态的影响可以忽略不计时， 用一个集中了物体所有质量用一个集中了物体所有质量的数学点来代表物体的运动状态，该点称为质点。的数学点来代表物体的运动状态，该点称为质点。 2.刚体模型刚体模型：当物体的形变对其运动状态的影响可以忽略不：当物体的形变对其运动状态的影响可以忽略不计时，将物体看作为一个不发生形变的几何体计时，将物体看作为一个不发生形变的几何体u一个物体能否当做质点，是有条件的、相对的，取决于研一个物体能否当做质点，是有条件的、相对的，取决于研究问题的性质。究问题的性质。例如：地球绕太阳公

6、转：地球可当做质点例如：地球绕太阳公转：地球可当做质点; 地球自转地球自转 ：地球不可当：地球不可当做质点做质点 附：地球公转轨道平均半径：附：地球公转轨道平均半径：1.5108 km，地球半径地球半径 ：6370 km 两者之比两者之比 ：2.33104 u当一个物体不能当作质点时，可以把整个物体看作是由许当一个物体不能当作质点时，可以把整个物体看作是由许多质点组成的多质点组成的质点系质点系（System of ParticleSystem of Particle）。分析这些质）。分析这些质点的运动，就可以弄清楚整个物体的运动。因此研究质点的点的运动，就可以弄清楚整个物体的运动。因此研究质点

7、的运动是研究实际物体复杂运动的基础。运动是研究实际物体复杂运动的基础。 二、参考系二、参考系（Reference system） 运动的绝对性与相对性运动的绝对性与相对性 运动的绝对性：运动的绝对性：所有的物体都在不停地运所有的物体都在不停地运动，没有绝对不动的物体动，没有绝对不动的物体运动的相对性：运动的相对性：描述物体的运动或静止总是相描述物体的运动或静止总是相对于某个选定的物体而言的对于某个选定的物体而言的演示演示参考系的定义参考系的定义: :为描述物体的运动而选择的标准物称为参考系为描述物体的运动而选择的标准物称为参考系说明说明参考系的选择是任意的，主参考系的选择是任意的，主要根据问题

8、的性质和研究方要根据问题的性质和研究方便而定。便而定。但在动力学中，就但在动力学中，就只能选择只能选择惯性参考系惯性参考系。在描述物体的运动时，必须在描述物体的运动时，必须指明参考系。指明参考系。若不指明参考系，则认为以若不指明参考系，则认为以地面为参考系。地面为参考系。选不同的参照系，运动的描选不同的参照系，运动的描述是不同的。述是不同的。以地球为参照系以地球为参照系地球地球月亮月亮以太阳为参照系以太阳为参照系太阳太阳月亮月亮地球轨道地球轨道参照物：参照物：被选取、且能用来描述物体运动状况的物体被选取、且能用来描述物体运动状况的物体参照系：参照系：固定与参照物之上，用来确定待描述物体空间位置

9、固定与参照物之上，用来确定待描述物体空间位置和方向而引入的数学坐标系。和方向而引入的数学坐标系。参照物与参照系的关系：参照物与参照系的关系：参照系是参照物的数学抽象，必须参照系是参照物的数学抽象，必须能够建立坐标系的物体才能充当参照物。能够建立坐标系的物体才能充当参照物。引入坐标系的必要性引入坐标系的必要性定量地描述物体相对于参照系的运动。定量地描述物体相对于参照系的运动。坐标系的原点一般选在参考系上，并取通过坐标系的原点一般选在参考系上，并取通过原点标有单位长度的有向直线作为坐标轴。原点标有单位长度的有向直线作为坐标轴。 物理学中常用的坐标系物理学中常用的坐标系直角坐标系直角坐标系（Rect

10、angular Coordination）另外还有的坐标系另外还有的坐标系极坐标系（极坐标系（Polar CoordinationPolar Coordination）自然坐标系（自然坐标系（Natural CoordinationNatural Coordination）柱坐标系（柱坐标系（Cylindrical CoordinationCylindrical Coordination）球坐标系（球坐标系（Spherical CoordinationSpherical Coordination）xyzO 说明说明坐标系的选择是任意的，主要由研究问题的方便而定。坐标系的选择是任意的，主要由研究

11、问题的方便而定。坐标系的选择不同，描述物体运动的方程是不同的。坐标系的选择不同，描述物体运动的方程是不同的。1-2 1-2 描述质点运动的坐标系描述质点运动的坐标系xzyP(x,y,z)O直角坐标系直角坐标系AP(,)O平面极坐标系平面极坐标系xyyxSinyCosxarctan;22；nO 自然坐标系自然坐标系P(,z)zOA柱坐标系柱坐标系基本概念：基本概念：一个过程对应的时间间隔称时间，某一个过程对应的时间间隔称时间，某一瞬时称时刻。一瞬时称时刻。时间时间时间间隔时间间隔时刻时刻某一瞬时某一瞬时说明说明在一定坐标系中考察质点运动时，质点的位置是与时刻在一定坐标系中考察质点运动时，质点的位

12、置是与时刻相对应的。相对应的。质点运动所经过的路程是与时间相对应的质点运动所经过的路程是与时间相对应的时间是标量，单位：秒（时间是标量，单位：秒（s）1-3 1-3 描述质点运动的物理量描述质点运动的物理量一、时间与时刻一、时间与时刻二、位置矢量、运动方程、轨迹方程二、位置矢量、运动方程、轨迹方程1、位置矢量、位置矢量（Position Vector） 基本概念基本概念从原点从原点O到质点所在的位置到质点所在的位置P点的点的有向线段，叫做有向线段，叫做位置矢量位置矢量或或位矢位矢kzj yi xtrr)(222zyxrrrzcosrycosrxcos 说明说明位置矢量是矢量：有大小和方向；位置

13、矢量是矢量：有大小和方向； 具有瞬时性；具有瞬时性； 具有相对性；具有相对性； 单位：米（单位：米（m）zOxyP(x,y,z)kjri方向方向由方向余弦决定由方向余弦决定r=xi+yj+zk(1-1)oxyzP(x,y,z)xyzABCr, i xoA, j yABkzBPBPABoAr222zyxrr 位置矢量位置矢量 r 的的大小大小(即即质点质点P到原点到原点o的距离的距离)为：为：aca+b+cbbac=?单位矢量单位矢量: i、j、k分别分别沿沿 x, y, z 轴的正方向。轴的正方向。1kji式中式中 , , 分别表示分别表示 r 与与x,y,z轴正方向之间的夹角轴正方向之间的夹

14、角(取取小于小于180的值的值), 它们满足以下关它们满足以下关系式系式:cos2 + cos2 + cos2 =1故三个方向余弦中只有两个是独立的。故三个方向余弦中只有两个是独立的。 位置矢量的位置矢量的方向方向,可由其可由其方向余弦方向余弦确定确定:cos =x/r,cos =y/r,cos =z/roxyzP(x,y,z)xyzABCr 在在 国际单位制国际单位制(SI)中中,位置矢位置矢量大小的单位为米量大小的单位为米(m),与长度与长度单位相同。单位相同。)()()(tettr)(teAP(,)O2、运动方程、运动方程质点运动时，它相对坐标原点质点运动时，它相对坐标原点O的位置矢量的

15、位置矢量r是随时间变是随时间变化的。因此，化的。因此，r是时间的函数是时间的函数ktzjtyitxtrr)()()()()()()(tzztyytxx运动学的重要任务之一，就运动学的重要任务之一，就是找出各种具体运动所遵循是找出各种具体运动所遵循的运动方程。的运动方程。x z y z( t ) y( t )x( t ) r( t )P( t )0矢量式矢量式标量式标量式运动方程不仅给出了质点运运动方程不仅给出了质点运动的轨迹，也给出了质点在动的轨迹，也给出了质点在任意时刻所处的位置。任意时刻所处的位置。运动方程一般写出矢量式运动方程一般写出矢量式例例1、自由落体运动的运动方程为、自由落体运动的

16、运动方程为221gty 例例2、平抛运动的运动方程、平抛运动的运动方程2021gtytvx2202xvgy 为轨迹方程为轨迹方程3。轨迹方程。轨迹方程质点运动时，在坐标系中描绘的曲线称为质点运动时，在坐标系中描绘的曲线称为运动的轨运动的轨迹迹。即在运动方程的分量式中，即在运动方程的分量式中，消去消去时间时间 t 得得 f (x,y,z)=0 轨迹是直线：轨迹是直线：直线运动直线运动轨迹是曲线：轨迹是曲线：曲线运动曲线运动从运动方程中消去从运动方程中消去 t , 得得 R t)cos( tRx )sin( tRy jtRitRtr)sin()cos()( 222Ryx 例例3：质点从如图所示位置

17、开始做匀速圆周运动：质点从如图所示位置开始做匀速圆周运动求：运动方程与轨道方程求：运动方程与轨道方程 解：运动方程：解：运动方程： 轨道方程：轨道方程：定义定义把由始点到终点的有向线段定把由始点到终点的有向线段定义为质点的位移矢量，简称义为质点的位移矢量，简称位位移。移。它是描述质点位置变化的它是描述质点位置变化的物理量物理量。计算计算1221rrrrrr kzzjyyixxkzjyixkzjyixrrr)()()()()(12121211122212 xyzOP11rP22rr 说明说明 位移是矢量；位移是矢量； 具有瞬时性；具有瞬时性； 具有相对性；具有相对性； 单位：米单位：米(m) 位

18、移位移（Displacement） r三、位移和路程三、位移和路程 如图所示如图所示, ,质点沿曲线质点沿曲线C C运动，在时刻运动，在时刻t,t,质点位质点位于于A A点点, , 而在时刻而在时刻t+t+ t t, ,质点到达质点到达B B点。点。 (1).由图可见，由图可见，位移是位置位移是位置矢量矢量 r 在时间在时间 t内内的增量的增量: 可见位移可通过位置矢可见位移可通过位置矢量来计算。量来计算。 从起点从起点A A指向终点指向终点B B的有向线段的有向线段 AB=AB= r r, , 称为质称为质点在时间点在时间 t t内的内的位移位移。而。而A A到到B B的路径长度的路径长度

19、S S, ,称为称为路程路程。)()(trttrr1、位移和路程、位移和路程r(t)rr(t+ t)zyoxB SAC 位移演示位移演示对直线运动对直线运动(如沿如沿x轴运动轴运动)，位移为，位移为通常可不必写为矢量，而直接把位移写为通常可不必写为矢量，而直接把位移写为 x = x2-x1注意注意：坐标的增量是位移坐标的增量是位移，而不是路程。，而不是路程。只有质只有质点沿直线运动点沿直线运动, ,且不改变方向时且不改变方向时, ,两者的大小才相两者的大小才相等。等。 (2).位移和路程是两个不同的概念位移和路程是两个不同的概念。 在直角坐标系中，若在直角坐标系中，若t1、t2时刻的位矢分别为

20、时刻的位矢分别为r1和和r2 ,则这段时间内的位移为则这段时间内的位移为kzzjyyixxrr)()()(12121212rixxrr)(1212r 位移位移代表代表位置变化位置变化，是，是矢量矢量，在图中，是有向线，在图中，是有向线段段AB, 它的大小是它的大小是| r , 即割线即割线AB的长度。的长度。 即使在直线运动中，如质即使在直线运动中，如质点从点从A点到点到B点又折回点又折回C点点,显显然位移和路程也截然不同然位移和路程也截然不同:位移位移=AC路程路程=AB+BC AB 路程路程表示表示路径长度路径长度，是，是标量标量，它的大小是曲线弧，它的大小是曲线弧AB的长度的长度 S 。

21、在一般情况下。在一般情况下, S和和| r |并不相等并不相等BAC只有当只有当 t0时时,才有才有 |r | S 。即即r(t)rr(t+ t)zyoxB SAC srtt00limlimABC问题：问题：A. 什么情形下物体路程与位移相等？什么情形下物体路程与位移相等？ B. 判断：判断：物体在时间物体在时间t内路程为内路程为0，则物体一定保持相对静止，则物体一定保持相对静止物体在时间物体在时间t内位移为内位移为0，则物体一定保持相对静止，则物体一定保持相对静止 A：只有在质点作单向性直线运动时，位移的大小才等于路程只有在质点作单向性直线运动时，位移的大小才等于路程B:路程为路程为0 0，

22、则物体一定保持相对静止，则物体一定保持相对静止rrr和、3)()(trttrrrrABABCOrArBr| |r|或位移矢量的大小则表示位移矢量的模，而的长度之差与始位置矢量置矢量意义相同，都代表末位和矢量的模或长度意义相同，都表示位置和rrrrrrrAB质点在时间质点在时间 t t内的内的平均速率平均速率: : 如图所示如图所示, ,质点在时刻质点在时刻t t到到t+t+ t t这段时间内的位这段时间内的位移为移为 r, ,路径为路径为 S，于是我们定义，于是我们定义，质点在时间质点在时间 t t内的内的平均速度平均速度: :ttrttrtr)()(tS即即: :平均速度平均速度为单位时间内

23、为单位时间内的的位移位移; ;而而平均速率平均速率为单位为单位时间内的时间内的路程。路程。可见，平均速度和平均速率也是不同的概念。可见，平均速度和平均速率也是不同的概念。r(t)rr(t+ t)zyoxB SAC 四、速度和速率四、速度和速率 又如，质点经时间又如，质点经时间t t绕半径绕半径R R 的圆周运动一圈，的圆周运动一圈， 为了确切描述质点在某一时刻运动的快慢和方向为了确切描述质点在某一时刻运动的快慢和方向, ,我们对上述定义式取极限我们对上述定义式取极限, ,就得就得: : 即使在直线运动中，如质点经时间即使在直线运动中，如质点经时间 t t从从A点到点到B点又折回点又折回C点点,

24、显然显然平均速度平均速度和和平均速率平均速率也截然不同也截然不同:BAC而平均速率为而平均速率为tRtS20tr则则平均速度平均速度为为tBCABtAC (2)(2)矢量的导数矢量的导数= =矢量大小的导数矢量大小的导数+ +矢量方向的导数矢量方向的导数。 = ,即即速率速率= =速度的大小速度的大小(1)(1)当当 t 0时，时， |r| S 例例: (A);dtdr(B);dtrd(C)dtrd 质点的质点的( (瞬时瞬时) )速度速度: : trlimt0dtrd质点的质点的( (瞬时瞬时) )速率速率: :limt0tS=dtdS这表明这表明, ,质点在质点在t t时刻的时刻的速度速度

25、 等于等于位置矢量位置矢量 对时对时间的一阶导数间的一阶导数; ;而速率而速率 等于路程等于路程 S S 对时间的一阶对时间的一阶导数。导数。rtrlimt0limt0tS=dttvrd)( 故故: : dtrdtrlimt0 若求质点从若求质点从t t0 0到到t t时间内完成的位移，对上时间内完成的位移，对上式积分，即式积分，即 ttrrdttvrdrrr00)(0速度和速率的单位同为速度和速率的单位同为米米/ /秒秒( (m/s)/s)。速度的大小也可由下式给出速度的大小也可由下式给出 dtdzdtdydtdxzyx, 显然显然, ,速度在三个坐标轴上的分量分别速度在三个坐标轴上的分量分

26、别等于相应坐标对时间的一阶导数等于相应坐标对时间的一阶导数: : kjirdtdzdtdydtdxdtd(3)(3)在直角坐标系中在直角坐标系中, , 222zyx k zj yi xr为了弄清楚其意义，如图所示：为了弄清楚其意义，如图所示： 式中式中,d,d /dt/dt是单位矢量是单位矢量d的方向随时间的变化率的方向随时间的变化率 dtededtdedtddtdtr)()(4)(4)在平面极坐标系中在平面极坐标系中, , )()()(tettr三角形为等腰三角形，当三角形为等腰三角形，当t0时，时，底边趋于与腰垂直，底边趋于与腰垂直， 的方向趋的方向趋于极角增大的方向，引入该方向的于极角增

27、大的方向，引入该方向的单位矢量单位矢量，于是有，于是有由于由于 1)()(ttetea a图为质点由图为质点由A A沿任意曲线沿任意曲线L L到达到达B,B,极角增量为极角增量为, , b b图为将单位矢量平移后的图图为将单位矢量平移后的图 edtdetetedtedtt00limlimevevedtdedtddtededtdedtddtdtr)()(所以有：所以有： 质点沿直线运动，极角为常量质点沿直线运动，极角为常量一般，速度的大小也可由下式给出一般，速度的大小也可由下式给出 2222dtddtd0,vdtdv质点沿圆周运动，极径为常量质点沿圆周运动，极径为常量dtdvv , 0vdtds

28、dtddtdv圆周运动横向速度圆周运动横向速度即切向速度即切向速度在圆周运动引入在圆周运动引入角速度角速度概念，定义为：概念，定义为：dtd则横向速度可表示为：则横向速度可表示为：dtdv线量和角量的关系线量和角量的关系说明说明u速度是速度是矢量矢量，有大小和方向，有大小和方向匀速运动匀速运动：速度为恒量：速度为恒量 变速运动变速运动：速度为变量。：速度为变量。其其方向方向是平均速度的极限方向，即沿运行轨道切线并指是平均速度的极限方向，即沿运行轨道切线并指向质点前进的方向。向质点前进的方向。a.即时速度不一定等于平均速度，只有在匀速直线运动情即时速度不一定等于平均速度，只有在匀速直线运动情形下

29、两者相等形下两者相等b.平均速率不一定等于即时速率平均速率不一定等于即时速率c.即时速率与即时速度的大小相等即时速率与即时速度的大小相等vtrtsvtt 00limlimu速度具有速度具有瞬时性瞬时性；它反映了质点在某一瞬间或某一位置；它反映了质点在某一瞬间或某一位置上运动的快慢和方向。注意与平均速度相区别。上运动的快慢和方向。注意与平均速度相区别。u速度具有速度具有具有具有相对性相对性；它与参考系选择有关，当参考系；它与参考系选择有关，当参考系变换了，速度的大小和方向也随着变化。变换了，速度的大小和方向也随着变化。例：判断下列写法是否正确例：判断下列写法是否正确 dtdsva .dtrdvb

30、 .dtrdvc .dtrdvd .矢量的导数矢量的导数=矢量大小的导数矢量大小的导数+矢量方向的导数矢量方向的导数标量的导数标量的导数=标量大小的导数标量大小的导数解解 a正确正确，速率的定义式。，速率的定义式。b正确正确，速率与速度大小相等。，速率与速度大小相等。c正确正确，由，由b的数学运算变形可得到的数学运算变形可得到c。d错误错误，位移的大小不等于路程，位移的大小不等于路程2222222222)()()()(zyxzyxzyxvvvdtdzdydxdtkdzjdyidxdtrdvvvvkvjvivdtkdzjdyidxdtrdvdtzyxddtkzj yi xddtrdv222 r1

31、 r2 |dr| d|r| dr, |dr| jtRitRtr)sin()cos()( 作为特例，讨论例子：作为特例，讨论例子：022 dtdRdtyxddtj yi xddtrdv RvvjtRitRdtrdv )cos()sin(可见，两种表达式结果不同；几何意义的区别如图可见，两种表达式结果不同；几何意义的区别如图 为了描述速度随时间的为了描述速度随时间的变化情况，我们定义：质变化情况，我们定义：质点的点的平均加速度平均加速度则在时间则在时间 t t内质点内质点速度的增量速度的增量为为 如图所示如图所示, , 设时刻设时刻t t质点位于质点位于A点，速度为点，速度为 , ,)(t)()(

32、tttta经时间经时间 t t运动到运动到B点，速度为点，速度为 , ,)(ttOxyzA.)(tB.)(tt 质点的质点的( (瞬时瞬时) )加速度加速度定义为定义为limt 0ta22dtrddtd加速度的方向与加速度的方向与t0t0时时v的极限方的极限方向一致。向一致。这就是说这就是说, ,质点在某时刻或某位置的质点在某时刻或某位置的( (瞬瞬时时) )加速度加速度等于速度矢量等于速度矢量 对时间的对时间的一阶一阶导数导数, ,或等于矢径或等于矢径 对时间的对时间的二阶导数二阶导数。 r当质点作减速运动时，加速度方向与速度当质点作减速运动时，加速度方向与速度方向成钝角，如图方向成钝角，如

33、图(a)(a)xyzO2v1vv 当质点作加速运动时，加速度方向与速当质点作加速运动时，加速度方向与速度方向成钝角，如图度方向成钝角，如图(b)(b)当当v va a=v=vb b时，时，有有/2,/2,即质点作即质点作匀速率曲线运动时，匀速率曲线运动时，加速度的方向与速度加速度的方向与速度的方向相垂直。的方向相垂直。 在曲线运动中在曲线运动中, ,加速度的方加速度的方向总是指向曲线向总是指向曲线凹凹的一边的。的一边的。 加速度的加速度的方向方向是：当是：当 t t00时时, ,速度增量速度增量 的极限的极限方向。应该注意到方向。应该注意到, , 的方向和它的极限方向一般不的方向和它的极限方向

34、一般不同于速度同于速度 的方向的方向, ,因而加速度的方向与同一时刻速度因而加速度的方向与同一时刻速度 的方向一般不相一致。的方向一般不相一致。在国际单位制中在国际单位制中, ,加速度的加速度的单位单位为为米米/ /秒秒2 2( (ms-2) )。质点作质点作直线直线运动时，运动时， 极限方向也一定沿该直线极限方向也一定沿该直线质点作质点作加速加速运动时，运动时， 方向必定与方向必定与 方向相同；方向相同；质点作质点作减速减速运动时，运动时， 方向必定与方向必定与 方向相反；方向相反；质点作质点作曲线曲线运动时，运动时， 的极限方向不但决定于质点是作加的极限方向不但决定于质点是作加速还是减速运

35、动，而且还与曲线弯曲形状有关。速还是减速运动，而且还与曲线弯曲形状有关。质点作质点作加速加速运动时，加速度的方向与速度方向成锐角；运动时，加速度的方向与速度方向成锐角；质点作质点作减速减速运动时，加速度的方向与速度方向成钝角；运动时，加速度的方向与速度方向成钝角；例：例：;)(dtdaA;)(dtdaBdtdaC)( 由前面的讨论我们得到了质点的位置矢量、速度和加速由前面的讨论我们得到了质点的位置矢量、速度和加速度在直角坐标系中的正交分解式。这些式子表明度在直角坐标系中的正交分解式。这些式子表明, ,任何一个任何一个曲线运动都可以分解为沿曲线运动都可以分解为沿x,y, z x,y, z 三个方

36、向的直线运动三个方向的直线运动, ,每个每个方向上的运动是相互独立的方向上的运动是相互独立的, ,整个运动可看作是沿三个坐标整个运动可看作是沿三个坐标轴方向的直线运动的叠加轴方向的直线运动的叠加, ,这就是这就是运动的叠加原理运动的叠加原理。说明说明1)1)加速度是矢量，有大小和方向加速度是矢量，有大小和方向 匀变速运动：加速度为恒量匀变速运动：加速度为恒量非匀变速运动：加速度为变量非匀变速运动：加速度为变量2)2)加速度具有加速度具有瞬时性瞬时性3)3) 具有具有相对性相对性4)4) 单位：单位： m ms s-2-2 dttavd)( 若求质点从若求质点从t t0 0到到t t时间内速度的

37、变化，对上时间内速度的变化，对上式积分，即式积分，即 ttttttttrrdtdttavrrdttavvdttavdvvv00000)()()(0000则或kjikjiadtzddtyddtxddtddtddtddtdzyx222222 (1) (1) 在直角坐标系中在直角坐标系中, ,加速度的表示加速度的表示式是式是 而加速度而加速度a a在三个坐标轴上的分量分别为在三个坐标轴上的分量分别为222222,dtzddtdadtyddtdadtxddtdazzyyxxxyzO2v1vv 222zyxaaaaa 加速度加速度a a的大小的大小: :运动叠加原理：质点的任意运动都可以看做是，由在三个

38、运动叠加原理：质点的任意运动都可以看做是，由在三个坐标轴方向上各自独立进行的直线运动所合成。坐标轴方向上各自独立进行的直线运动所合成。dteddtdedtddtddtddteddtdedtxdevevdtddtda)()(2222 (2) (2) 在平面极坐标系中在平面极坐标系中, ,加速度的表示式是加速度的表示式是 如图所示，如图所示，t0t0时，时， 趋于与趋于与 垂直，指向垂直，指向 的的方向，其大小为：方向，其大小为：1eedtdtetedtedtt00limlim径向径向加速度加速度eaeaedtddtddtdedtdedtda2)(22222dtddtddtdadtdedtda2)

39、(22222横向横向加速度加速度质点沿直线运动，极角为常量质点沿直线运动，极角为常量0,22adtda质点沿圆周运动，极径为常量质点沿圆周运动，极径为常量dtdvdtddtddtdavdtddtda222221向心向心加速度加速度切向切向加速度加速度在圆周运动引入在圆周运动引入角加速度角加速度概念，定义为：概念，定义为：22dtddtda则径向加速度和横向加速度可分别表示为：则径向加速度和横向加速度可分别表示为：aaa,2dtedvedtdvevdtddtdtetvtvtttta)()()()( (3) (3) 在自然坐标系中在自然坐标系中, ,速度、加速度的表示式是速度、加速度的表示式是 第

40、一项表示由于速度大小变化所引起的加速度分第一项表示由于速度大小变化所引起的加速度分量，大小等于速率的变化率，方向沿轨道切向量，大小等于速率的变化率，方向沿轨道切向切向加速度切向加速度第二项是由速度方向变化所引起的加速度分量第二项是由速度方向变化所引起的加速度分量nevnedtdvnedtdndtdttevattt200limlim 如图所示：如图所示：t0t0时，时，0，趋于与趋于与 t t的极限方向必定垂直于的极限方向必定垂直于t(t) ，指向轨道凹侧，与法向单位矢量指向轨道凹侧，与法向单位矢量 n n一致一致ntnnttevedtdveaeaa2法向法向加速度加速度1、位置矢量位置矢量和和

41、速度速度是描述是描述质点状态质点状态的物理量，的物理量，位移位移和和加加速度速度是反映是反映质点运动状态变化质点运动状态变化的物理量。的物理量。2、质点运动学的两类问题、质点运动学的两类问题：第一类问题第一类问题：已知质点的运动方程，求质点的状态：已知质点的运动方程，求质点的状态用微分方法求解；用微分方法求解；第二类问题第二类问题：已知质点的状态，求质点的运动方程：已知质点的状态，求质点的运动方程用积分方法求解。用积分方法求解。小结小结 以上内容的学习以上内容的学习要点要点是是：认真学习用微积分来处理物理认真学习用微积分来处理物理问题的方法问题的方法。r=xi+yj+zkdtdrdtda例题例

42、题1-11-1 一质点沿一质点沿x x轴运动轴运动, ,运动方程为运动方程为x x=t=t3 39t9t2 2 +15t+1 (SI),+15t+1 (SI),求求: (1): (1)质点首先向哪个方向运动质点首先向哪个方向运动? ?哪些时刻质点调头了？哪些时刻质点调头了？ (2)(2)质点在质点在0-2s0-2s内的位移和路程。内的位移和路程。 可得：可得：t=1,5s;t=1,5s;又由于又由于1,5s1,5s前后速度前后速度 改变了方改变了方向向( (正负号），所以正负号），所以t=1,5st=1,5s调头了。调头了。 因因t=0t=0时速度时速度 =+15m/s,=+15m/s,所以质

43、点首先向所以质点首先向x x轴轴正方向运动。正方向运动。 =3t=3t2 2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0-18t+15=3(t-1)(t-5)=0调头的必要条件是调头的必要条件是速度为零速度为零，即，即解（解（1 1）质点做直线运动时，调头的条件是什么？）质点做直线运动时，调头的条件是什么？dtdx x x= =x x(2)-(2)-x x(0)=3-1=2m(0)=3-1=2m考虑到考虑到t=1st=1s时调头了，故时调头了，故02s02s内的内的路程应为路程应为 s=|s=|x x(1)-(1)-x x(0)|+|(0)|+|x x(2)-(2)-x x(1)|=7+5=12

44、m(1)|=7+5=12m (2)(2)质点在质点在02s02s内的位移可表示为内的位移可表示为 例题例题1-21-2 在离水面高度为在离水面高度为h h的岸边，一人以恒定的速率的岸边，一人以恒定的速率 收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为x x时，船的速度时，船的速度和加速度。和加速度。 解解 对矢径未知的问题对矢径未知的问题, ,须先建立坐标系须先建立坐标系, ,找出矢径找出矢径, ,再求导。再求导。, j hi xr22hrx idtdxdtrd,hrdtdrrdtdx22 xhxi22 322xhidtdadtdrhx图1-4oxry,22,222d

45、tdrrdtdxxhrx解解2:2:,hxr22 hx图1-4r,hxdtdxxdtdr22 dtdr船的速度船的速度: :xhxdtdx22 船船322xhdtda船船jtitr) 12()23(22质点作什么样的运动？质点作什么样的运动？例题例题1-31-3 质点的位置矢量：质点的位置矢量：解解 x =x =3+23+2t t2 2, , y =y =2 2t t2 2-1-1，y =x-y =x-4 4 直线直线,44j ti tdtrdjidtda44 质点作质点作匀加速直线运动匀加速直线运动dtKdt001)1 (00ktekxx完成积分就得运动方程完成积分就得运动方程:dtdx又由

46、又由dtedxktxxt000, 有有ktoe完成积分得：完成积分得：,kdtda解解 由由 例题例题1-4 质点沿质点沿x轴运动轴运动,加速度和速度的关系是加速度和速度的关系是: a =-=-k k ,式中式中k k为常量为常量;t=0t=0时，时， x = =x 0 0 , , = = 0 0，求质求质点的运动方程。点的运动方程。(一一) 加速度为恒矢量时的质点运动加速度为恒矢量时的质点运动1、加速度为恒矢量时的运动方程、加速度为恒矢量时的运动方程问题：假设质点作曲线运动，其加速度问题：假设质点作曲线运动，其加速度a为恒量为恒量在在t=0=0时，质点的时，质点的r0 ，v0，求在任意时刻求

47、在任意时刻t，质点的位置矢量、位移和速度。，质点的位置矢量、位移和速度。1速度速度 tvvdtavd00t avv0tavvtavvtavvzzzyyyxxx0002位移和位置矢量位移和位置矢量 dtt avdtvrd 020021tatvrr 200200200212121tatvzztatvyytatvxxzzyyxx 200200200212121tatvzztatvyytatvxxzzyyxx 曲线可以运动分解为几个垂直方向的运动。曲线可以运动分解为几个垂直方向的运动。当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动乃是各个独立运动的合成结果。动乃是各

48、个独立运动的合成结果。3、运动的叠加原理或运动的独立性原理、运动的叠加原理或运动的独立性原理平抛运动平抛运动演示演示2、斜抛运动、斜抛运动初速度初速度vx0=v0cosvy0= v0sin初始位置初始位置x0=0y0=0加速度加速度ax=0ax= -g2220cos2xvgxtgy 轨迹方程轨迹方程 20021 sin cosgttvytvx 运动方程运动方程水平方向：匀速运动水平方向：匀速运动竖直方向：竖直上抛运动竖直方向：竖直上抛运动 轨迹为抛物线轨迹为抛物线d0速度速度vx= v0cosvy= v0sin g t关于斜抛的讨论关于斜抛的讨论1)射程：射程：抛体落地点与抛出点之间的距离抛体

49、落地点与抛出点之间的距离 2sincossin220200gvgvd 02cos2dd200 gvd4/2/2 ，gvdm200 百发百中演示百发百中演示落地点落地点 y=0，由轨迹方程可得，由轨迹方程可得 在给定初速度的情况下，射程与抛射角有关，对于最大射程有在给定初速度的情况下，射程与抛射角有关，对于最大射程有即当抛射角即当抛射角=/4时，抛体的射程最大，其值为时，抛体的射程最大，其值为得 2）上升时间：最高点）上升时间：最高点vy=0 3）抛体所能到达的最高高度（射高）抛体所能到达的最高高度（射高）4）斜抛运动的轨迹是对称的。）斜抛运动的轨迹是对称的。5）在上述讨论中，忽略了空气阻力的影

50、响。若空气阻力较）在上述讨论中，忽略了空气阻力的影响。若空气阻力较大，则抛体的路径为一个不对称的曲线，实际射程比真空射大，则抛体的路径为一个不对称的曲线，实际射程比真空射程小。程小。导弹飞行问题。导弹飞行问题。gvtsin0升gvym2sin220实验表明：实验表明：初速度较小：初速度较小：真空射程与实际射程差别小真空射程与实际射程差别小初速度较大：初速度较大：真空射程与实际射程差别大真空射程与实际射程差别大原因：原因：阻力与速度有关，速度大，阻力大；速度小，阻力小。阻力与速度有关，速度大，阻力大；速度小，阻力小。(二二) 圆周运动圆周运动一、平面极坐标一、平面极坐标yr xAr为径矢，为径矢

51、，r与与ox轴之间的夹角轴之间的夹角，则质，则质点的坐标可以用（点的坐标可以用（r r, , ）来表示。）来表示。x= =rcoscosy= =rsinsin二、圆周运动的角速度二、圆周运动的角速度1、定义：、定义：角坐标随时间的变化率角坐标随时间的变化率dtd 2、角速度与线速度的关系、角速度与线速度的关系 rs rtrtsvtt limlim00r xSR三、圆周运动的角加速度三、圆周运动的角加速度1、角加速度的定义、角加速度的定义220limdtddtdtt 2、切向加速度与法向加速度、切向加速度与法向加速度tevv vdtededtdvvdtdatt tttteredtdredtdva

52、 切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度nnnevedtdva ntedtddted 22 rrvan tntnaatgaaa 2/122)(r 曲线运动曲线运动RR为曲率半径为曲率半径法向加速度的证明法向加速度的证明0A,tvAB,t+ tvBRvAvB v v 是是v 的方向的变化所引的方向的变化所引起的起的。 t0,B A, 0 v方向垂直于方向垂直于vA，指向圆心，指向圆心由二个相似等腰三角形，有由二个相似等腰三角形，有vRv _ABvvRAB_ t0,AB长趋向长趋向AB弧长。弧长。RvdtdsRvRtvatt200tBAlimvlim an=v2/R，法向加速度，法向加速度，指向

53、圆心。指向圆心。小结小结：tnaaanan2dtdat大小：大小：2na方向方向：沿半径指向圆心。沿半径指向圆心。名称：名称：向心向心(法向法向)加速度。加速度。大小：大小：方向：方向：沿轨道切线方向。沿轨道切线方向。名称：名称：切向加速度。切向加速度。dtdatp1C. (t)nosp2 (t+t)作用：作用：描述速度方向的描述速度方向的 变化。变化。作用：作用：描述速度大小的描述速度大小的 变化。变化。总加速度的大小总加速度的大小: 以上内容的学习要点是以上内容的学习要点是：掌握切向加掌握切向加速度和向速度和向心加速度表达的物理内容和计算公式心加速度表达的物理内容和计算公式。22222)(

54、)dtd(aaant tnaatga与速度与速度 的夹角的夹角 是是: nataatnaadtda四、匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动四、匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动1、匀速率圆周运动、匀速率圆周运动角加速度角加速度角速度角速度角位移角位移角位置角位置nnnerea2 const t t 0 速率速率v与角速度与角速度为常量为常量切向加速度切向加速度at t=0=0法向加速度法向加速度an n=r2= v 2/r2、匀变速率圆周运动、匀变速率圆周运动角加速度角加速度角速度角速度角位移角位移角位置角位置const t 02/ 20tt 2/ 200tt )(20202 加速度的大小为常量加速

55、度的大小为常量 切向加速度切向加速度at t= =r为常量为常量 法向加速度法向加速度an n=r2= v 2/r，但不是常量但不是常量五、线量与角量的关系五、线量与角量的关系tsvt 0limtRt 0lim R 22 RRvan RRdtddtdva vRxS0, , 我们把质点作圆周运动时我们把质点作圆周运动时, ,线量和角量之间的联系线量和角量之间的联系, ,归纳如下归纳如下: :RdtdaRRaRtn,22 =r r 由图还可以得出由图还可以得出, ,质点的线速度质点的线速度 等于角速度等于角速度 与质点位矢与质点位矢r r的矢量积的矢量积: : 我们定义我们定义: :角速度矢量角速

56、度矢量 的方向垂直于质点的运动的方向垂直于质点的运动平面平面, ,其指向由右手螺旋定则确定其指向由右手螺旋定则确定, ,如图所示。如图所示。角速度是矢量角速度是矢量naaan nvdtdv 2 22222 vdtdvaaan aatgan1 的的夹夹角角与与anaa推广：对于一般的曲线运动推广：对于一般的曲线运动利用自然坐标，一切运动都可用利用自然坐标，一切运动都可用切向、法向加速度表示：切向、法向加速度表示：an= 0 a = 0 匀速直线运动匀速直线运动an= 0 a 0 变速直线运动变速直线运动an 0 a = 0 匀速曲线运动匀速曲线运动an 0 a 0 变速曲线运动变速曲线运动附表：

57、常见匀变速运动规律的描述附表：常见匀变速运动规律的描述 匀变速直线运动匀变速直线运动匀变速圆周运动匀变速圆周运动20021tt状状态态参参量量位置位置, ,位移位移 rr 速度速度dtrdv 加速度加速度22dtrddtvda 运运动动规规律律的的描描述述 匀速运动匀速运动 vtss 0constv t0const 22dtddtddtd 右手螺旋定则右手螺旋定则 )(20202ttt020t const22100vttvss )(20202ssavvt atvvt 020tvvv consta 匀匀变变速速运运动动例例1 1一球以一球以30m30ms-1s-1的速度水平抛出，试求的速度水平抛

58、出，试求5s5s钟后加速钟后加速度的切向分量和法向分量。度的切向分量和法向分量。 解：由题意可知，小球作平抛运动，它的运动方程为解：由题意可知，小球作平抛运动，它的运动方程为 2021 gtytvx 将上式对时间求导，可得速度在坐标轴上的分量为将上式对时间求导，可得速度在坐标轴上的分量为 gtgtdtddtdyvvtvdtddtdxvyx )21()(200因而小球在时刻速度的大小为因而小球在时刻速度的大小为 22022)(gtvvvvyx 故小球在故小球在t t时刻切向加速度的大小为时刻切向加速度的大小为 2202220)()(gtvtggtvdtddtdva 因为小球在任意时刻，它的切向加

59、速度与法向加速度满足因为小球在任意时刻，它的切向加速度与法向加速度满足 aagn 且互相垂直。由三角形的关系，可求得法向加速度为：且互相垂直。由三角形的关系，可求得法向加速度为： 220022)(gtvgvagan 代入数据，得代入数据，得 2222sm36. 8)58 . 9(3058 . 9 a222sm12. 5)58 . 9(30308 . 9 nammnyxgvav8cos2202其中其中 gvxm22sin20为射程，为射程， gvym2sin220为射高。为射高。 伽利略伽利略(15641642)提出相对性原理、惯性原理、抛体的提出相对性原理、惯性原理、抛体的运动定律、摆振动的等

60、时性等。运动定律、摆振动的等时性等。伽利略捍卫哥白尼日心说。伽利略捍卫哥白尼日心说。关于两门新科学的对话和数学证明关于两门新科学的对话和数学证明对话集对话集一书，总结了他的科学思想一书，总结了他的科学思想以及在物理学和天文学方面的研究成以及在物理学和天文学方面的研究成果。果。意大利物理学家和天意大利物理学家和天文学家，实验物理学文学家，实验物理学的先驱者。的先驱者。(三三) 相对运动相对运动一、时间与空间一、时间与空间时间的绝对性时间的绝对性空间的绝对性空间的绝对性在两个作相对直线运动的参在两个作相对直线运动的参考系中，时间的测量与参考考系中，时间的测量与参考系无关。系无关。在两个作相对直线运