专题圆锥曲线的范围问题

1、06高考复习圆锥曲线的范围问题考题特点圆锥曲线的范围问题是高考命题的热点，此类问题综合性强，体现解析几何与函数、不等式、方程、三角等知识交叉综合的特点，且确定参变量取值范围的不等量关系较为隐 蔽。下面介绍几种常见的寻找或挖掘不等量关系的方法：典型问题分析2 2问题引入：已知椭圆C: x2 +占=1 (a>b>0)的两焦点为Fl, F2，如果曲线C上存在点P,a b使PFiPF2 =0，求椭圆离心率 e的变化范围(3) 根据圆锥曲线的变化范围，建立不等关系(如上例)(4) 借助定义和几何直观挖掘不等关系。(上例)-、从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围

2、【例1】(05全国卷III)设A %, y1 , B X2, y 两点在抛物线y = 2x 上, l是AB的垂直平分线。(I)当且仅当x x2取何值时，直线丨经过抛物线的焦点 F ?证明你的结论；(n)当直线丨的斜率为2时，求丨在y轴上截距的取值范围。解一：根据圆锥曲线的变化范围，建立含参数不等式：2c2-a2令 Q(X0,y°)(0)可得 x°= L2/ | x°|< a 0we解二：选参数点利用弦函数有界性建立不等式，设由垂直关系建立110 =2-1. 0 < -2 -1 W 1ee解三：利用圆锥曲线的定义与几何性质2 22e -a2 'e

3、e与< a求得-彳w e< 1 sin? 0关系 得 sin?解: (I) F引=| FA =| FB|= A、B两点到抛物线的准线的距离相等，抛物线的准线是 x轴的平行线， - 0, y2 - 0，依题意, y2不同时为0上述条件等价于 y, = y2二 x； = x22：= x< x2 % _ x2 = 02 2,2 ri +r2 =4cri + r2=2ar1 + r2=2a2 2r1 r2=2(a - c )2A(号2 ) 2构造不等关系。解三：利用曲线交点特征(方程组解有实数解)建立不等关系 有实数解得2或：用基本不等式r1 +r22 2 2x +y =4c2 2

4、2 2 2 2 -b x +a y =a b a2b2-a2c2 w 0 求得解四：几何法可知/ F1PF2 $为最大角$|PF1|=r1, |P F2|= r2r1 ,2是方程I22 =4 a -8(a - c2)> 0 求得t2-2at+ a2- c2=0 两实根2、(b2-a2)x2=a2b2-a2c2 (a> b)有实数解且须有/ FiPF2= $T % = x2上述条件等价于xx2 = 0即当且仅当x< X2 =0时，丨经过抛物线的焦点 F。(n)设丨在y轴上的截距为b，依题意得丨的方程为y = 2x b ;过点A、B的直线方程可写为A、B为抛物线上不同的两点等价于

5、上述方程的判别式设AB的中点N的坐标为(怡，y0 )，则118m> 0，即 m>432个重要元素，它的变化会直接导致曲线形状和类型的变化，同时932e=- =sin$ > sin$a 24圆锥曲线离心率 e=ca因它是圆锥曲线统一定义中的三要素(定点、定直线、定比)之一，因此圆锥曲线的某些性质及其 变化可通过e的变化来遥控，从而使其成为以圆锥曲线为载体，集函数、方程、不等式于一体的问 题。从此题的多向思考解答可以体会寻找不等关系的常见方法，在此还可以总结如下：(1) 、运用题设中已有的不等关系构建含参变量的不等关系或函数关系(如05全国n 21题)(2) 根据圆锥曲线的交点特

6、征即方程有实数解建立不等式(如02全国21题及上例)。(从直线与圆锥曲线位置出发，利用一元二次方程实根存在条件如04全国I 23题)。1111x°X1 X2, y°x° mm282161155 1由 N 丨，得一m-b，于是 b二 一m - 一164161632即得丨在y轴上截距的取值范围为专宀【例2】已知椭圆的一个顶点为A (0, -1)焦点在x轴上，且右焦点到直线x-y+2 、2=0的距离为3，若在y轴上截距为b的直线L与该椭圆交于不同两点M, N。当|AM|=|AN|时，试求b的取值范围。2解：易得椭圆方程为 y2 =1 ,3据条件知L的斜率存在，设其方程为

7、y=kx+t椭圆方程消去y得：2 2 2(1+3k)x +6bkx+3 ( b -1)=0， .有两个交点，所以.)=12(3k2-b2+1)>0 即 3k2-b2+1>0设 M(Xi,yi),N(X2,y2)直线 MN 中点为 P(xo,yo),所以 x°=m x3kbyyo=kxo+b=J,又|AM|=|AN| = AP _ MN ,21 +3k21 +3k213k2 川-b 讦 11 2所以 Kap=-1(-0) ,即卩 3-=3k2+ 仁2bk3Kbk2将此式代入得 0<b <2,又 2b=3k +1 > 1且易验证k=0时适合题意，11故b&g

8、t; 一 ,所以b的取值范围是一 ,2.22总结：此类问题是依据直线与圆锥曲线的位置关系用“判别式”构造不等式 二、利用点和圆锥曲线的位置关系构建不等式，确定参数的取值范围。2【例3】对于椭圆x2+ y =1，是否存在直线L,使L与椭圆交于不同的两点M、N,且线段91MN恰好被直线x+ J=0平分，若存在，求出直线L的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。三、利用函数思想构建不等式，确定参数的取值范围【例5】设抛物线y2=4 ( x+2)点Q(2,0)，点R，S在抛物线上，且 QRL RS求|QS|的取值范围解：设 R ( x1, y1) S ( x2, y2 )由 QRL RS知辿 (%-

9、%)= 1(X1 + 2)(X2-X1)222V1y2 右 2X1 +2=， X2 X1=有 +y2 y1 +16=0444由 >0， y； - 64。|QS|2=± y|可得 |QS| > 8 516总结：依据圆锥曲线的几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系构造含参数的函数关系式，将问题转化用函数的知识来解答相关的问题，如函数的值域、根的分布等问题。四、从题设中的不等量关系出发，借助于方程产生参变量的取值范围。2 2【例6】双曲线牛一 = 1(a a 1,b a 0)的焦点距为2c,直线I过点(a, 0)和(0, b),且点(1,a b到直线I的距离与点(一1, 0)到直线

10、I的距离之和s c.求双曲线的离心率 e的取值范围.5解：直线I的方程为=1，即 bx ay - ab = 0.b由点到直线的距离公式,且 a 1，得到点(1，0)到直线I的距离【例4】设A x-i，% ，B x2，y2两点为椭圆b(a - 1)259=1的动点,且片 x2 = 8， l是AB的a2 b2 '垂直平分线为y=kx+m,。求m的取值范围同理得到点(一1，0)到直线I的距离d2二b(a 1)a2 b22abs "1 d2 :a2b22ab B仇,2jT),或B(九,2麻),又F (1, 0),得直线I方程为由 s _ 4c,得 _-c,- c 55a ,c2 -

11、a2 - 2c2.( _1)y = 2. (x-1)或( -1)y - -2、(x 1),于是得5 e2 -1 _2e2即4e4 - 25e225 乞 0.当4,9时，I在方程y轴上的截距为 2 或一九一1 人一1解不等式,【例7】给定抛物线52e2 乞 5.4C: y2 =4x,由于e 10,所以e的取值范围是F是C的焦点，过点F的直线I与C相交于A、B两点。2 2、 2= + -1可知在4， 9上是递减的,丸一1()设I的斜率为1,求OA与OB的夹角的大小;3, 3 -1(H)设FB AF，若入 4,9，求I在y轴上截距的变化范围解: (I)C的焦点为F (1, 0),直线I的斜率为1，所

12、以I的方程为y = X - 1.22将y = x -1代入方程y =4x，并整理得x -6x T = 0.设 A(xi, yi), B%, y2),则有x1x2 = 6, x1 x 1.OA OB =(X1,y1)(X2,y2)=X1X2 y2 =2灭必-(花 x?) 1-3.| OA | OB |二 xj2 y12 x； y；二.X1X2X1 X2 4(X1 X2) 16 = . 41.OA OB 3 14cos(OA, OB)|OA|，|OB| 413,药4 3五、形数结合构建不等式关系，确定参数的取值范围 【例8】已知抛物线 C: y=-x2+mx-1，点A (3, 交点时m的取值范围。

13、解：线段 AB 方程：x+y=3 (0< x< 3)代入抛物线方程得：2 2x - ( m+1) x+4=0 即 x +4= (m+1) x 分别作出函数 y= x2+4和y= (m+1) x 的图象，要求x 0 , 3内有二个不同交点，10m的取值范围为 3<mw 。3直线I在y轴上截距的变化范围为所以OA与OB夹角的大小为二3屁-arccos41【例9】对任意实数K，直线：y=kx+b与椭圆：x"E+2cos日(0M8 o恒有公共点,=1 + 4 si n°(n)由题设FB二 AF得(X2 -1 y2)= '(1 - Xi, -yj.X2J2=

14、1 = ' ( X-i ),二 _ y1.由得2y12_ 24x1, y2 = 4x2, x2x1.联立、解得x2二，依题意有，-0.则b取值范围是2 2【例10】已知双曲线 令-2 =1,(a0,b0)的左，右焦点分别为F1, F2，点P在双曲线的右支上,a b且| PF, F4| PF2|,则此双曲线的离心率 e的最大值为：()457333总结：以形辅数，以数辅形，数形结合，通过图形特征诱发代数结构，从而产生不等量关系，确定参数取值范围。巩固练习2 21直线y=kx+1与双曲线x-y =1的左支交于 A、B两点，直线L经过点(-2, 0)和AB的中 点，求直线L在y轴上的截距b的取

15、值范围。2 2 . .1、 若直线y=kx+1与双曲线x -y =1的左、右两支分别交于 A、B两点，如何确定直线 y=kx+1 的斜率k的取值范围。2、已知双曲线 C:2x -y =2与点P(1,2)求过点P( 1，2)的直线L的斜率k的取值范围，使 L与C分别有一个交点、两个交点、没 有交点。3、 已知抛物线 C1： y2=4x的焦点F,准线L,动椭圆C2：以F为左焦点，左准线为L,右焦点也在x轴上，端轴的一个顶点为B，P为线段BF的中点。(1)求点P的轨迹方程；(2)设M(m，0)是x轴的一定点，试问 m取何值时，|MP|有最小值，并求出最小值。2 _4、 、抛物线y=ax -1上存在关于直线 x+y=0对称的不同两点，求实数 a的取值范围。2 25、 设椭圆笃爲(a>b> 0)的两个