专题提升5与垂径定理有关的辅助线

1、专题提升5与垂径定理有关的辅助线AB宽为8 cm，输i如图所示为一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，若水面 水管底部到水面的距离为 2 cm,则该输水管的半径为（C）（第1题）（第2题）A . 4 mB. 5 m【解】 连结OA.C. 6 mD. 8 mA . 3 cmB. 4 cmC. 5 cmD. 6 cm【解】 连结OA，过点0作OC丄AB交AB于点D.设该输水管的半径为 r(cm)./AB 宽为 8 cm,. AD = 4 cm./ DC = 2 cm,. OD = (r 2) cm, r2= (r 2)2+ 42, r = 5（cm）.CD为8 m,桥拱半径OC为5 m,则水

2、面宽 AB为（D）2. 如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD = 8, OC = 5,. OD = 3.由已知，得 CD丄AB,贝U AD2= 52 32,解得 AD = 4. AB = 8.3. 已知O O的直径CD = 10 cm, AB是O O的弦，AB丄CD，垂足为 M，且AB = 8 cm,则AC的长为(C)A. 2 5 cm B . W5 cmC . 2.5 cm 或 4.5 cm D . 2 . 3 cm 或 4.3 cm【解】 连结AO.当点C的位置如解图 所示时，易得 AC= AM2+ CM2= 42+ 82 = 4.5 (cm);当点C的位置如解图 所示时，易得 AC = 2

3、2+ 42= 2币(cm). （第3题解）4. 如图，O O的直径为10 cm,弦AB为8 cm, P是弦AB上一点.若 OP的长是整数，则 满足条件的点P有（D）A . 2个B. 3个C. 4个【解】 过点0作0C丄AB于点C,连结0A.0A = 5, AC= 1aB = 4,. 0C = 3. 3W 0P W 5,. 0P 的长为 3 或 4或 5.当0P= 3时，点P只能与点C重合；当0P= 4时，点P可以在AC上，也可以在 BC上, 有2个点P;当0P= 5时，点P与点A或点综上所述，满足条件的点P有5个.5.如图，B重合.的弦心距在以点 0为圆心的同心圆中，大圆的弦1OP = CD，

4、小圆和大圆的半径分别为AB交小圆于点 C, D, AB = 2CD，弦AB r，R，则R沖.【解】连结OC, 0A.心距为1 AB = 2CD, 0P = ?CD , 0P 丄 AB,（第6题） 过点0作0C丄AB于点C,连结 0A.的半径0P = 10 cm，弦AB过0P的中点 Q,【解】/O 00Q = 5 cm./ 0CQ = 90°,/ 0QB= 45°, 0CQ为等腰直角三角形，OC =誉 在Rt AOC中，根据勾股定理，得 AC = OA2-OC2=乞尹cm, - AB = 2AC= 5 14 cm.7. 已知O O的半径为2,弦BC = 23, A是O O上一

5、点，且AB= AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为1或3.【解】TO O的半径为2，弦BC = 2 3, A是O O上一点，且AB = AC , AD丄BC,- BD = 2BC= 3.分两种情况讨论：如解图所示，连结OB.在 Rt OBD 中，BD2+ OD2= OB2,即（.3）2+ OD2= 22,解得 OD = 1. AD = OA OD = 2- 1 = 1.（第7题解）如解图所示，连结 OB.同理于，得AD = OA+ OD = 2+ 1= 3.&如图，在 Rt AOB中，/ O = 90°, OA= 6, OB = 8.以点O为圆心，OA长为半径作圆 交A

6、B于点C,求BC的长.【解】 过点O作AB的垂线，垂足为 E,连结OC./ AB = .OA2 + OB2= ,62 + 82= 10,（第8题） AE = AO2- OE2= 62 -4.82= 3.6, AC = 2AE= 7.2 , BC = AB- AC= 10- 7.2= 2.8.（第9题）9. 如图，AB为O O的直径，弦 CD / AB，弦DE丄AB.求证：AC = BE.【解】 过圆心O作OG丄CD交OO于点G,交CD于点H./ OG 丄 CD , CG = DG.又 CD / AB, OG 丄 AB. AG = Bg.a Ac = Bd.DE丄AB,且 AB是O O的直径，

7、BD = BE. AC= BE.k10. 如图，半径为 5的O P与y轴交于点 M(0, 4), N(0, 10)，函数y = -(x<0)的图象过X点P,求k的值.【解】 过点P作PA丄MN于点A，连结PM , PN. 点 M(0, 4), N(0, 10), MN = 6./ PA 丄 MN ,1 MA = 2MN = 3.OA = | 4|+ 3 = 7.在 Rt MPA 中，FA = PM2 MA2 =52 / = 4,点 P( 4, 7).k将点P( 4, 7)的坐标代入y= -，得k= 28.X11. 已知 ABC内接于O O,且AB= AC, OO的半径等于 6 cm,点O

8、到BC的距离为2 cm, 求AB的长.【解】 当 ABC是锐角三角形时，如解图 所示，连结OB , OA，延长AO交BC于点D，易知AD丄BC.在 Rt OBD 中， OB = 6 cm, OD = 2 cm , BD = OB2 OD2=62 22= 4 , 2(cm).在 Rt ABD 中， AD = OA+ OD = 6 + 2= 8(cm), BD = 4,2 cm, AB = AD2+ BD2= .82+( 4.2) 2= 4 . 6(cm).A(第11题解)当 ABC是钝角三角形时，如解图所示，连结OB,OA,OA与BC交于点D，易知OA丄BC. 在 Rt OBD 中，/ OB =

9、 6 cm, OD = 2 cm , BD = OB2- OD2=62- 22= 42(cm).在 Rt ABD 中，/ AD = OA OD = 6 2 = 4(cm), BD = 4 2 cm, AB = BD2+ AD2=(4 2 + 42= 4 , 3( cm).综上所述，AB的长为4 _6 cm或4.3 cm.12如图所示为一座桥，桥拱是弧形(水面上的部分)，测量时，只测得桥拱下水面宽 AB为16 m，桥拱最高处 C离水面4 m.(1) 求桥拱所在圆的半径.（第 12 题）(2) 若大雨过后，桥下水面宽为 12 m，问：水面上涨了多少？【解】(1)如解图，设点O为AB的圆心，连结 O

10、A, OC , OC交AB于点D.根据题意，可得 C是AB的中点，OC丄AB,1 1 AD = 2AB=步X 16= 8(m).设O O的半径为x(m)，则在Rt OAD中，OA2= AD2+ OD2,即即 x2= 82+ (x 4)2,解得x= 10.桥拱所在圆的半径为 10 m.CC（第12题解）设河水上涨到 EF的位置，如解图 ，这时EF = 12 m, EF / AB,贝U OC丄EF（垂足为 M）,1 EM =尹=6 m.连结OE,则有OE = 10 m. OM = OE2 EM2=102 62= 8（m）./ OD = OC CD = 10-4= 6(m), DM = OM OD

11、= 8 6= 2(m),即水面上涨了 2 m.13.工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个尺寸(单位：cm)如图所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90° .将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有如图所示的 A, B，E三个接触点，则该球的大小就符合要求如图是过球心O及A, B, E三点的截面示意图，已知OO的直径就是铁球的直径，AB是O O的弦，CD与O O交于点E, AC丄CD , BD丄CD.请你结合图中的数据，计算这种符合要求的铁球的 直径.2(第 13 题)(第13题解)【解】由题图可知E为O O上Ab的中点，连结0E交AB于点F，如解图，则0E丄AB,且 AF = BF = 8.易知 EF = AC = 4, OF = OE EF = OE 4.连结 OA,贝U OA2= AF2+ OF2,即 OA2 = 82 + (OA 4)2,解得OA= 10.故铁球的直径为 10X 2