一个数论问题证明

1、关于一个数论问题的证明()这个问题可能对大家的数论知识有所帮助，我感觉我的方法比较通俗易懂，但它涉及了多项式思想和组合数有关公式，这里关键是解决思路，这时学习数学的根本。祝学习轻松愉快！如果你们有更好的解法，请 分享。命题：若a -1有奇素因子p，则ap-1必有异于p的奇素因子证明：因为P奇素因子，所以p为奇数，且P-3所以 ap -1 =(a - 1)(ap ap J| a2 a 1)当a为偶数时，apJ ap° III a2 a 1 = a(ap，ap° III 1) 1 为奇数；当a为奇数时，由于p为奇数，且p_3所以apapJUa2a1为奇数个奇数的和，故和为奇数。

2、所以apJapJHa2a1为ap-1的奇数因子。因此apJ-apJHa2a1只能有奇因子。下面证明这个结论设 a -1 = kp，则 a = kp 1(kp 1)p (kp 1)z lli (kp 1)2 (kp 1) 1此多项式按p展开后，得一个关于p的P-1次多项式，f(p)二C0v(kp)2 (Cpcl)(kp)2 (Cp_1 Cp< cp_3)(kp)p+ lll+(Cp +cpH + c3+c°)(kp)(Cp+cpl +C； + c2 + C0)(kp) +(c；+c财+ "| + C； + C； + G1+1)二C肘(kp)2 (C防 C黑)(kp)2

3、(C貯 C cp；)(kp)2+Ili+(c2c2< +lll+c+c；)(kp)2 十(cp/cp/+lll + c3 +c2 + c；)(kp)(C04 CpC35 C0 c； - Co)= (kp)2C；(kp)2C汇(kp)2illC3(kp)2C：(kp) c；= (kp)2C畀(kp)2C汇(kp)2川Cp(kp)2P(；T)kppWppcpp(kp-2pU c汇(kp2)川 Cp(k2p2)p2<kpJpp Cpp(kp和心)C汇(kp：pp-4) |C3(k2p)1p珂kpWc阳(kfU 川宁kp 0p因为p为大于等于3的素数，所以P-1为偶数，故 丄为正整数2所以

4、kpp2 C阳(kp2)川 卫1k为正整数2由apJ - apa2 a 1只能有奇因子可知，f(p)只有奇数因子所以kp'ppcp'(kp'p2) 川七Jkp 1 必为奇数，又因为奇数kp'ppJ3 Cp'(kpp2) IH - kp 1 p且不能被p整除，2所以kpVppJ3 cp(kP'pP冷川卫】kp 1的因子都不等于p2又因为kmwpj川1的因子皆为奇数，故其必含奇素因子。其奇素因子也不等于p。这就证明了本题的结论。下面证明香港05年奥赛试题试题：存在无穷多个不含平方因子的正整数 n ,使得n|(2005n - 1)证明：设p3，因为3|(2005 -1)，则 叩(2005- 1)，由结论至2005" - 1必存在异于p1的奇素因子，设为p2，即p212005p1 - 1因为pi、p2为奇素数(正整数即可)所以由 叩(2005-1)知 pj(2005p1p2 -1)，由 P2 |2005p1 -1 知 P2 |(2005p1p2 -1) 所以 piP2|(2005PlP2 -1), 而Po P2为奇素数，且 p p2故pp p2 一定不含完全平方因子， 上述过程可以 无限的进行下去，因此存