重积分的应用

1、第四节重积分的应用第九章第九章一、主要内容一、主要内容 二、二、典型例题典型例题三、同步练习三、同步练习四、同步练习解答四、同步练习解答一、主要内容一、主要内容(一一)几何应用几何应用1.1. 立体体积的计算立体体积的计算(1) 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积由二重积分的几何意义知由二重积分的几何意义知，以曲以曲面面z f ( x, y)为为顶，顶， 以以xOy面上的闭区面上的闭区域域D为底的曲顶柱体的体积为为底的曲顶柱体的体积为V f ( x, y)d.D(2) 空间立体的体积空间立体的体积占有空间有界占有空间有界域域 的立体的体积的立体的体积为为V dv.2. 曲面的面积曲面的面积设光滑曲设

2、光滑曲面面S : z f (x, y) , (x, y) Dxy,A 1 fx 2( x, y) f y2( x, y) d ,Dxyd x d y.A 1 ( z )2 ( z )2 x yDxy即即d A 1 fx 2( x, y) f y2( x, y) d ,称为面积元素称为面积元素 故有曲面故有曲面面积公式面积公式Dyz1 ( x )2 ( x )2 d y d z . y zA 若光滑曲面方程若光滑曲面方程为为y h(z, x) , (z, x) Dz x ,则有则有A 1 ( y )2 ( y)2 d z d x. z xDzx类似地，类似地，若光滑曲面方程若光滑曲面方程为为 x

3、 g( y, z) , ( y, z) Dy z , 则有则有则则x y yFz z Fy , ( x, y) D, z Fx , xFzzdxdy.FFx 2 Fy2 Fz 2A Dxy若光滑曲面方程为隐若光滑曲面方程为隐式式 F ( x, y, z) 0, 且且Fz 0 ,因此因此(二二)物理应用物理应用1. 质量的计算质量的计算由第一节的引由第一节的引例例2知，知， 占占有有xOy面上闭区面上闭区域域D， 密度函数密度函数为为 ( x, y) 的的平面薄板的质平面薄板的质量量为为M ( x, y)d.D类似地类似地，占有空间有界占有空间有界域域 ，密度函数为密度函数为 ( x, y, z

4、) 的的空间物体的质空间物体的质量量为为M ( x, y, z)dv.2. . 质心坐标的计算质心坐标的计算设物体占有空间设物体占有空间域域 , 有连续密度函有连续密度函数数 ( x, y, z),则该物体的质心坐标为则该物体的质心坐标为 ( x, y, z)d x d y d z x ( x, y, z)d x d y d zx . ( x, y, z)d x d y d z y ( x, y, z)d x d y d zy , z( x, y, z)d x d y d zz . ( x, y, z)d x d y d z当当 ( x, y, z) 常数常数时时,可可得得形心坐形心坐标标：x

5、 其其中中V d x d y d z为为 的体的体积积 .zd x d y d z ,1V1Vz yd x d y d z ,1Vxd x d y d z ,y 若物体为占若物体为占有有xOy 面上区面上区域域 D 的平面薄的平面薄片片, 其面密其面密度度为为 ( x, y), 则它的质心坐标为则它的质心坐标为 ( x, y)dxd yD x ( x, y)dxd yMMx D yMMx 对对 x 轴的轴的静力矩静力矩M y 对对 y 轴的轴的静力矩静力矩 y D Mx ( x, y)dxd yD y ( x, y)dxd y Dx dxd y , 1Ax 其其中中A 为为 D 的面的面积积.

6、 常数常数时时, 可得薄可得薄片片 的的形心坐形心坐标标: Dy dxd y , 1Ay 3. 转动惯量的计算转动惯量的计算IO ( x2 y2 ) ( x, y)dxd y.DxDyO(x,y)如果物体是平面薄如果物体是平面薄片片, 面密度为面密度为 ( x, y), ( x, y) D,则转动惯量的表达式是二重积则转动惯量的表达式是二重积分分:Ix y2 ( x, y)dxd y,DI y x2 ( x, y)dxd y,D若物体占有空间区若物体占有空间区域域 , 有连续分布的密度函有连续分布的密度函数数 ( x, y, z).物物体体 对对 z 轴轴 的转动惯量为的转动惯量为Iz ( x

7、2 y2 ) ( x, y, z)dxd ydz,对对 x 轴的转动惯量为轴的转动惯量为Ix ( y2 z2 ) ( x, y, z)dxd ydz,对对 y 轴的转动惯量为轴的转动惯量为I y ( x2 z2 ) ( x, y, z)dxd ydz,对原点的转动惯量为对原点的转动惯量为IO ( x2 y2 z2 ) ( x, y, z)dxd ydz.设设物体占有空间区物体占有空间区域域 ,利用元素利用元素法法,连连续续，求物体对位于原点的单位质量质点的引力求物体对位于原点的单位质量质点的引力F (Fx , Fy , Fz ).引力元引力元素素dF在三坐标轴上的投影分别在三坐标轴上的投影分别

8、为为dvzyx rOd Fr x2 y2 z2G 为引力常数为引力常数r 3d Fy G ( x, y, z) y dv,3dv,r ( x, y, z)xd Fx G其密度函其密度函数数 ( x, y, z)4.引力的计算引力的计算Fy G ( x, y, z) y dv,r 3Fz G ( x, y, z)z dv.r 3r 3在在 上积分即得各引力分上积分即得各引力分量量 :Fx G ( x, y, z)x dv,r 3d Fz G ( x, y, z)z dv,Dr 3DFy G ( x, y) y d .r 3对对 xOy 面上的平面薄面上的平面薄片片D , 设其密度函设其密度函数数

9、 ( x, y)连连续续， 则它对原点处的单位质量质则它对原点处的单位质量质点点的引力为的引力为F (Fx , Fyz ),其中其中Fx G ( x, y)x d ,r x2 y2G 为引力常数为引力常数用重积分解决问题的方法：用重积分解决问题的方法： 用微元分析用微元分析法法 (元素元素法法) 从重积分定义出从重积分定义出发发 建立积分式建立积分式 解题要点：解题要点：画出积分域、选择坐标系、确定积分序、画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便定出积分限、计算要简便二、典型例题二、典型例题解解利用对称性利用对称性， 只要计算第一卦限部分的只要计算第一卦限部分的体体积再八倍即

10、积再八倍即可可.设圆柱的底半径设圆柱的底半径为为R，两个圆柱面的方程两个圆柱面的方程为为x2 y2 R2 , x2 z2 R2 ,例例1求两个底圆半径相等的直交圆柱面所围求两个底圆半径相等的直交圆柱面所围成成的立体的体积的立体的体积.立体在第一卦限的部分可看作是一个曲顶柱立体在第一卦限的部分可看作是一个曲顶柱体体. 它的底为它的底为考虑被积函数的考虑被积函数的 特点，选取直角特点，选取直角 坐标计算，并适坐标计算，并适 当选取积分次序当选取积分次序 D 81V 8VR00R2 x2 R2 x2 d y 8 d x R0( R2 x2 )dx 8y R2 x2RyOR xDD : 0 y R2

11、x2 ,0 x R,于是于是R2 x2 ,R2 x2 d 它的顶为柱它的顶为柱面面z 1633R . 故曲面在故曲面在 xOy 面上的投影域为面上的投影域为D xy : x 2 y 2 a 2 ,x 2 y 2所截所截下部分的面积下部分的面积 .x2 y2 a2 ,例例2求曲面求曲面 az x 2 y2被被z 2a 解解1a( x2 y2 )z az x2 y22axyz z 2a x2 y2Oxyz 2a x2 y2由两曲面方程消去由两曲面方程消去 z, 得得Da因此因此 Dxy1 z2 z2 d x d yxyA aad 0a 22 0 4 2 d a 2 y 2 ) d x d y1 4

12、( x 2 D xy62(5 5 1)a . 采用极坐标计算采用极坐标计算1a( x2 y2 ) : z az x2 y22axyz z 2a x2 y2OxyDa例例3 Dy ydxd y1A3D 1 2 sin dd d 4sin 2sin 2 薄薄片片的质的质心心. 0 1 3sin d 解解DOy42x利用对称性可利用对称性可知知 x 0, 而而求位于两求位于两圆圆 2sin 和和 4sin 之间均匀之间均匀56904 22 sin d 7 , 56 2 3 1 94224DOyxC2sin d 56904 ).733故质心位于故质心位于点点C(0,空间物体及密度函数都空间物体及密度函

13、数都 关于关于的密度在数值上等于的密度在数值上等于该该 点到原点的距离的平点到原点的距离的平方方 .求球体的质求球体的质心心.x 2例例4已知球体已知球体 y 2 z 2 2 Rz , 其上任一点其上任一点由题由题意意, 密度函数密度函数 ( x, y, z) x2 y2 z2 ,z轴对轴对称称， 所以质心坐标为所以质心坐标为Oyx(0，0， z ).解解z2 R32155 R . ( 2 R cos ) sin d 15502 2 z 2 ) d v球体的质量球体的质量 ( x 2 y 2M ( x , y , z ) d vd 2 R cos 2 0002 r 2 r 2 sin d r

14、d zOyx2 R5 R , 454R).z z ( x , y , z ) d v332 R 5从而质心从而质心为为(0, 0, 15 8 R 6( 2 R cos ) sin cos d 632 R15605 12 2 1M 1Mz ( x y 2 z 2 ) d v2dd32R152Rcos020052 r cos r 2 r 2 sind r d sin d a0302 D D Ix y2 d x d y 3 sin2 d d 44 a4 1 M a2 . a2 12半圆薄片的质半圆薄片的质量量 M 2 211 2 .解解建立坐标系如建立坐标系如图图,D : x2 y2 a2 , y

15、0.对其直径的转动惯对其直径的转动惯量量. aaDOxy例例5求半径求半径为为 a 的均匀半圆薄的均匀半圆薄片片(密度为常密度为常数数)0 z H .所求转动惯量即为圆柱所求转动惯量即为圆柱 体对于体对于 ( x , y , z ) x 2 y 2 R 2 ,高高为为H ,求其对底的直径的转动求其对底的直径的转动 惯惯量量.例例6 设均匀圆柱体设均匀圆柱体 (密度为常量密度为常量 )的底半径为的底半径为 R,解解zRyxO如右如右图图, 圆柱体所占区域为圆柱体所占区域为x轴的转动惯轴的转动惯量量 Ix .z HRHd d 002222 0 ( sin z ) d z z 2 ) d vI x

16、( y 2 RH 03232 0 ) d 3( H sin d 2 0236( R ) d HR 4 sin 2 H 434 H 3 R 2 . HR 4xyOR例例7设有面密度为常设有面密度为常数数 , 半径半径为为R的圆形薄片的圆形薄片 Gad Fz G2d d d a,23d ( x2 y2 a2 )解解za0M由对称性知由对称性知， 引引力力F (0 , 0 , Fz ).x2 y2 R2 , z 0,求它对位于求它对位于点点 M0(0, 0, a)(a 0) 处的单位质量质点的引处的单位质量质点的引力力.d FdaR2 a2 Fz Ga Ga 2Ga( 1 1).2 0d 023 d

17、 D ( x2 y2 a2 )2322R d ( a )从而从而1a 1 ).R2 a 2F (0 , 0 , Fz ) (0 , 0 , 2Ga(xOR yza0Md FdFx Fy 0.3 x2 y2 (z a)2 2Fz G z ad vR R G(z a)dz 2322Dz x y (z a) 2 d x d y解解 利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量先二后先二后一一先二后一先二后一例例8求半径求半径 R 的均匀的均匀球球 x2 y2 z2 R2 对位于对位于点点M0(0, 0, a) (a R)的单位质量质点的单位质量质点的的引引力力.xyzOaM 0RDz R R G(z a

18、)dz 2 0232R2 z2 (z a) 2dd 0R R G(z a)dz 2322Dz x y (z a) 2 d x d y用极坐标计用极坐标计算算d x d y2223Dz x y (z a) 2Rdz R(z a) 2G 22 1 1 R 2az a a z 2G R12R 2az a2 2R a R (z a)d上述结果表明上述结果表明:匀质球对球外一质点的引匀质球对球外一质点的引力力注注M (0 , 0 , G).a2因此因此，所求的引力为所求的引力为F (0 , 0 , Fz )RxyOzaM 0如同球的质量集中于球心时两质点间的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力.a

19、2 G M ,3为球的质为球的质量量.3其其中中M 4R证证明明 : 半半径径R的球的体积为的球的体积为 V 4 R 3 .三、同步练习三、同步练习1.3求半径求半径为为a 的球面与半顶的球面与半顶为为 的内接锥面的内接锥面2.所围成的立体的体所围成的立体的体积积.3.求曲求曲面面S1 : z x2 y2 1任一点的切平面与任一点的切平面与 曲面曲面 S2 : z x2 y2所围立体的体所围立体的体积积 V .与曲与曲面面y 1 x2和三坐标面在第一卦和三坐标面在第一卦限限内围内围成成4.过曲面过曲面 z x 2 y 2 1上上点点 P作一切平面，使其作一切平面，使其的柱体的体积最大的柱体的体

20、积最大，求此点的坐标及最大柱体的求此点的坐标及最大柱体的 体积之体积之值值.中中, 其侧面满足方程其侧面满足方程5. 设有一高度设有一高度为为h(t)(t为时间为时间)的雪堆在融化过的雪堆在融化过程程h(t )2( x2 y2 )z h(t ) 设长度单位为厘设长度单位为厘米米 , 时间单位为小时间单位为小时时 , 若体积若体积减少的速率与侧面积减少的速率与侧面积成成 正正比比(设比例系数设比例系数为为0.9),问高度问高度为为130厘米的雪堆全部融化厘米的雪堆全部融化需需多少小多少小时时?6.计算双曲抛物计算双曲抛物面面z xy 被柱被柱面面 x2 y2 R2所所截截出的面出的面积积 A .

21、设半径为设半径为 R的球面的球面 的球心在定球面的球心在定球面x2 y2 z2 a2(a 0)上上, 问问当当R取什么值取什么值时时,球面在定球面内部的那部分的面积最大？球面在定球面内部的那部分的面积最大？7.三角形均匀薄片的质心三角形均匀薄片的质心 .求由直线求由直线 2 x y 6与两坐标轴所围的与两坐标轴所围的8.上的一个定上的一个定点点,设有一半径设有一半径为为R 的球的球体体,P0是此球的表面是此球的表面9.设球体上任一点的密度与设球体上任一点的密度与该该点点到到P0的距离的平方成正的距离的平方成正比比(比例常比例常数数 k 0),求球体的重心位求球体的重心位置置.求由曲求由曲线线

22、y 2 x与直线与直线 x 1所围成的平面所围成的平面10.薄片对于通过坐标原点任一直线的转动惯薄片对于通过坐标原点任一直线的转动惯量量, 并并讨论那种情况讨论那种情况下下, 转动惯量取得最大值或最小转动惯量取得最大值或最小值值.11.立立体体 其体密度其体密度为为 1求求 绕直绕直线线 l：x y z旋转的转动惯旋转的转动惯量量.设由曲面设由曲面 z 2 x 2 y2与与z x 2 y2围成围成设设在在 xOy 面上有一质量面上有一质量为为M 的均质半圆形的均质半圆形12.薄薄片片, 占有平面区占有平面区域域x 2 y 2 R 2 , y 0,过圆心过圆心O垂直于薄片的直线上有一质量垂直于薄

23、片的直线上有一质量为为m的质的质点点 P ,OP a ,求薄片对质求薄片对质点点 P 的引的引力力.13.设有底半径为设有底半径为 a，高为高为 h，密度均匀的圆密度均匀的圆锥体，其质量为锥体，其质量为 M，在圆锥顶点处有一单在圆锥顶点处有一单 位质位质量量的质点，求圆锥体对此的质点，求圆锥体对此 质点的引力质点的引力 .四、同步练习解答四、同步练习解答1.证证明明 : 半半径径R的球的体积为的球的体积为 V 4 R 3 .证证系系中中, : 0 r R ,V d vRd rsin d rd 02 002 3 4 R 3 .3建立坐标系，使球心在原点建立坐标系，使球心在原点，则在球面坐则在球面

24、坐标标xy0 , 0 2 .zRO所围成的立体的体所围成的立体的体积积.解解在球坐标系下空间立体所在球坐标系下空间立体所占占区域为区域为0 r 2a cos , : 0 ,0 2.则立体体积为则立体体积为2.求半径求半径为为a 的球面与半顶的球面与半顶为为 的内接锥面的内接锥面rMxOzy2a33cos sin d16 a30 34(1 cos ). 4 a3 2a cos 0 0sin d 2 0d V dxd ydzd v r 2 sin d d drrMxOzyr 2 d r2a解解曲曲面面S1 在在点点( x0 , y0 , z0 ) 的切平面方程为的切平面方程为3.求曲求曲面面S1

25、: z x2 y2 1任一点的切平面与任一点的切平面与曲面曲面 S2 : z x2 y2所围立体的体所围立体的体积积 V .z 2 x0 x 2 y0 y 1 x2 y2 ,00它与曲它与曲面面 z x2 y2 的交线的交线在在 xOy 面上的投影为面上的投影为( x x0 )2 ( y y0 )2 1(记所围域记所围域为为D ).因此因此V 2 x0 x 2 y0 y 1 x02 y02 x2 y2 dxdy.2D 1 ( x x0 )2 ( y y0 )2 )dxdyD令令 x x0 cos , y y0 sin 2 d d D d d 1032 0 与曲与曲面面y 1 x2和三坐标面在第

26、一卦和三坐标面在第一卦限限内围成内围成4.过曲面过曲面 z x 2 y 2 1上上点点 P作一切平面，使其作一切平面，使其的柱体的体积最大的柱体的体积最大，求此点的坐标及最大柱体的求此点的坐标及最大柱体的 体体积之积之值值.解解 设设P ( x0 , y0 , z0 )是曲面是曲面 z x 2 y 2 1上任一点，上任一点， 曲面在该点的法向量曲面在该点的法向量n (2 x0 ,2 y0 , 1).曲曲面面 z x 2 y 2 1在在P点处的切平面方程为点处的切平面方程为2 x0( x x0 ) 2 y0( y y0 ) (z z0 ) 0.由由 z0 x02 y02 1代入此方程代入此方程

27、,切平面方程表示为切平面方程表示为z 2 x0 x 2 y0 y (1 x2 y2 ).00柱体的底柱体的底为为D( x, y) 0 y 1 x2 , 0 x 1切平面下的柱体的体切平面下的柱体的体积积为为 DV ( x0 , y0 ) 2 x0 x 2 y0 y (1 x2 y2 )d .00利用极坐利用极坐标标,有有求其偏导数并令其分求其偏导数并令其分别别为零，为零，得得3200 2 y 0 032V x 2 x 0 0 , V y3得唯一驻得唯一驻点点 x0 y0 4 , 1202000200 y )d sin (1 xcos 2 yd 2 xV ( x0 , y0 )4232200(1

28、 x y ).( x0 y0 ) 03 4 2 4 此此时时z0 x02 y02 1 32 1,92V ( x0 , y0 ) 8 .94下面考虑下面考虑 V ( x0 , y0 )在区域边界上的情形在区域边界上的情形 .当当x0 0时，有时，有94 4 y4232000(1 y )y V (0, y ) 3V ( x0 , y0 ) 2 ( x0 y0 )当当x02 y02 1时时3x02 y02 2 x0 y0 23(2 x02 2 y02 ) 23 3当当y0 0时，时，有有V ( x0 ,0) V ( 4 , 4 ). V ( 4,4 ), 43 34 89 493 22 V ( 4,

29、4 ), 943 3 83 392 1)P (4,4,32综上所综上所述述，可知可知V ( x0 , y0 ) 8 94即即为所求最大体积为所求最大体积即为所求切即为所求切点点.中中, 其侧面满足方程其侧面满足方程5.设长度单位为厘设长度单位为厘米米 , 时间单位为小时间单位为小时时 ,若体积若体积减少的速率与侧面积减少的速率与侧面积成成 正正比比(设比例系数设比例系数为为0.9), 问问高度高度为为130厘米的雪堆全部融化厘米的雪堆全部融化需需多少小多少小时时? 解解依题意依题意 ,首先应求出雪堆的体积首先应求出雪堆的体积 V与侧面积与侧面积 S ,设有一高度设有一高度为为h(t) (t为时

30、为时间间) 的雪堆在融化过程的雪堆在融化过程h(t )2( x2 y2 )z h(t ) zyxO雪堆是曲顶柱体雪堆是曲顶柱体， 上顶曲面的方程上顶曲面的方程为为,h(t )2( x2 y2 )z h(t ) .2h( t ) ( , ) 于于是其体积是其体积2222h (t )D ( x, y) x y h( t )2 D2( x y 2 )d x d yh( t ) V xOy 面上的圆面上的圆域域：令令z 0, 可得曲顶柱体的底是可得曲顶柱体的底是2h( t )2 d d h( t ) h( t )h ( t )2 2D2 00 d 2 h( t ) .4 h 3 ( t ) d Dh

31、2 ( t )y 2 ) d x d y1 16 ( x 2雪堆的侧面积雪堆的侧面积S 1 z x 2 z y 2 d x d yD12 13h 2 ( t ).12h ( t )222 h ( t ) 16 d dh( t )0 010h( t ) 13 t C .求导得求导得d t据题意据题意知知dV 0.9S,即即d h3(t ) 0.9 13 h2(t ) d t 412d h( t ) 13 ,因此因此d t1010因为雪堆全部融化之因为雪堆全部融化之时时，也就，也就是是h(t ) 0时时由由 h( 0 ) 130 , 得得 C 130 , 故故 h( t ) 13 t 130 .令

32、令h(t ) 0,可可得得t 100(小小时时),因此雪堆全部融化因此雪堆全部融化需需100小小时时.d R0A 1 zx 2 zy 2 dxd yD 1 x2 y2 dxd yD20 1 2 d 3 2 (1 R2 )32 1).所所截截出的面出的面积积 A .解解曲面曲面在在 xOy 面上投影面上投影为为 D : x2 y2 R2 , 则则6.计算双曲抛物计算双曲抛物面面z xy 被柱被柱面面 x2 y2 R2 ),2 2 z 0 .2 R 22 ( 4 a4 aR 2 x y球面在定球面内部的那部分的面积最大？球面在定球面内部的那部分的面积最大？设半径设半径为为 R的球面的球面 的球心在

33、定球面的球心在定球面x2 y2 z2 a2(a 0)上上, 问问当当R取什么值取什么值时时,解解根据题意不妨设球根据题意不妨设球面面 的方程的方程为为x2 y2 (z a)2 R2,两球面的交线两球面的交线在在xOy面上的投影为面上的投影为7.它所围成的平面区域为它所围成的平面区域为 在定球内的部分的方在定球内的部分的方程程 为为R 2z a x 2 y 2 ,2222R 2 ( 4 a R ).4 a 2D : x yD 1 z 2 z 2 d x d yxy其面积其面积S ( R ) R 2D x 2 y 2 Rd x dy .R R 2 a02 d 22 4 a 2 R 2R S ( R

34、 ) 0d .2a R 3 2 R 22 R ),D : 0 2 , 0 ( 4 a4 a 2.6 R a 利用极坐利用极坐标标x cos , y sin ,可得可得R 2,S ( R ) 4 a3R2S ( R) 4R 面部分面积最面部分面积最大大.343a )为极大值，为极大值，又又 S ( 4 a ) 4 0 , 因此因此 S (3令令 S ( R ) 0 , 得驻得驻点点R1 4 a,R2 0(舍舍去去).3即即为最大值为最大值 . 所以所以当当R 4 a时时球球面面 在定球在定球2而三角形薄片的面积为而三角形薄片的面积为 A 1 3 6 9,故故 1Dx x d ,A2 x y 63

35、8.求由直求由直线线 2 x y 6与两坐标轴所围的与两坐标轴所围的 三角形均匀薄片的质心三角形均匀薄片的质心 .ADy 1 y d .因薄片是均匀的因薄片是均匀的 , 故质心坐标为故质心坐标为yxO6解解因此质心位于点因此质心位于点 (1, 2). Dy y d 30019196 2 xy d yd x 2 . Dx x d 30019196 2 xx d yd x 1,2 x y 63xOy6(R, 0, 0).上的一个定上的一个定点点,设有一半径设有一半径为为R 的球的球体体,P0是此球的表面是此球的表面9.解解点点到到P0的距离的平方成正的距离的平方成正比比(比例常比例常数数 k 0)

36、,求球体的重心位求球体的重心位置置.设球体上任一点的密度与设球体上任一点的密度与该该zOy记球体记球体为为 , 以以的的球球心心为为0 x直角坐标直角坐标系系, 则则点点 P0 的坐标的坐标为为P原原点点O, 以以 OP 0为正为正向向x 轴轴建立建立.222 k( x R) y z d v设设 的重心位置的重心位置为为( x , y , z ), 则则y z 0 , x k( x R)2 y2 z2 d vx 利用对称性知利用对称性知 ( x R )2 y 2 z 2 d v ( x 2 y 2 z 2 ) d v R2 d v 2002220 8Rr rd d 54sin d r R3 3

37、2 R5. y 2 z 2 d v15 x( x R ) 2 2 R x 2 d v R23 z 2 ) d v( x y 22zOyx0P因因此此, 所求的重心位置为所求的重心位置为4x R .故故4( R , 0 , 0 ). 2002023 ( Rr 2 r 2 sin d rd d R) 8 15 8R6 ,求由曲线求由曲线 y 2 x与直线与直线 x 1所围成的平面所围成的平面10.解解1 a 2y ax,d y ax, 平面薄片上一平面薄片上一点点 ( x , y )到该直线的距离为到该直线的距离为设通过原点的任一直设通过原点的任一直线线为为yOy 2 xx 1x薄片对于通过坐标原

38、点任一直线的转动惯薄片对于通过坐标原点任一直线的转动惯量量, 并并讨论那种情况讨论那种情况下下, 转动惯量取得最大值或最小转动惯量取得最大值或最小值值.则由转动惯量计算公式则由转动惯量计算公式 ,可得可得y 2 xyxO其其中中为均匀薄片的面密度为均匀薄片的面密度 .积分区域关积分区域关于于x轴对称轴对称，记记D在在x轴上方轴上方的的子区域子区域为为D1 : 0 x 1, 0 y x .由被积函数的奇偶性知由被积函数的奇偶性知D1 x 1D1 a2 ( y2 2axy a2 x2 )d,DI (a ) d2Dy ax2d (1 a 2 )d 222D1( y a x )d 2 1 a2I(a)

39、 22 21x1 a2 0 0 dx( y 2 4 ( 1 1a2).1 a2 157105（1 a2）2I (a) 64 a .y 2 xyxa x )d y O1 x 1D15由由I (a) 0,可可得得a 0, I (0) 4 .7a 又又 lim I (a) 4 ,因此因此15minI I (0) 4 ,7maxI lim I (a) 4 .a 15即平面薄片即平面薄片绕绕x轴的转动惯量最小轴的转动惯量最小，为为 4,7绕绕y轴的转动惯量最大轴的转动惯量最大，为为4 .Ox距离的平方距离的平方 d 2 .要要求求 绕直线绕直线 l的转的转动动旋转的转动惯旋转的转动惯量量.惯量惯量必须先

40、求必须先求得得 内内任任 一一点点 M ( x , y , z )到直线到直线 l的的11. 设由曲设由曲面面z 2 x2 y2与与z x2 y2围成围成立立体体 其体密度为其体密度为 1 求求 绕直绕直线线 l：x y z解解z x 2 y 2yz 2 x2 y2zM d l：x y zM3 1 ( x y z ) 2其中其中3 2 ( x 2 y 2 z 2 xy xz yz ),所以所以d 2 x 2 y 2 z 2设设OM 为坐标原为坐标原点点到到点点M的向径的向径l则则d 2 OM2 (Prj OM )2 ,Prjl OM (1 x 1 y 1 z)3,zOxz x 2 y 2yz 2 x2 y2M d l：x y zM .908323102 0d d 2 2( 2 z 2 ) d z ( xy yz xz)d v 0,故故2222( x y z )d v3因此因此Il Il 1 d 2 d v由对称性知由对称性知 32222 z xy xz yz)d v.( x yzOxz x 2 y 2yM d l：x y zz 2 x2 y2MR12.薄薄片片, 占有平面区占有平面区域域x 2 y 2 R 2 , y 0,过圆心过圆心O垂直