高考数学讲义导数应用归类解析(解韪策略)

1、导数应用归类解析一、用于研究函数的三大性质：单调性、极值、最值导数是研究函数问题的有力工具，主要应用于三个方面（设函数在某个区间内可导）： （1）单调性判断：如果，则单调递增；如果，则单调递减 （2）极值判断：检验使的点左右值的符号，左正右负为极大值，左负右正为极小值 （3）闭区间最值判断：先求出其开区间上的极值，再与端点的函数值比较即可求解应注意有时以逆向题形式给出，即已知以上的性质，求参数的值或范围例1（2005年北京卷）已知函数（）求的单调减区间；（）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值分析：本题主要研究函数的单调性及最值，运用导数可轻易获解解：（）令，解得，或所以函数的单调

2、递减区间为（）因为，所以因为在上，所以在上单调递增，又由于在上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值于是有，解得故因此评注：运用导数求函数的单调区间的方法简单，避免了运用定义时繁杂的运算及高难度变形技巧例2（2005年全国卷）设为实数，函数（）求的极值（）当在什么范围内取值时，曲线与轴仅有一个交点解：（） 若，则，或当变化时，变化情况如下表：的极大值是，极小值是（）函数由此可知，取足够大的正数时，有，取足够小的负数时，有，所以曲线与轴至少有一个交点结合的单调性可知：当的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与轴仅有一个交点，它在上当的极小值，即时，它的极大值也大于0，因此曲线与轴仅

3、有一个交点，结合的单调性可知：当的极大值，即时，它的极小值也小于0，因此曲线与轴仅有一个交点，它在上当的极小值，即时，它的极大值也大于0，因此曲线与轴仅有一个交点，它在上当时，曲线与轴仅有一个交点二、用于解决不等式问题主要是指运用导数求解不等式，比较大小，证明不等式等下面以比较大小为例加以说明例3（1）（2005年全国卷）若，则（） （2）（2005年湖北卷）若，则与的大小关系（） 与的取值有关解：（1）设，令，得又，故通过模拟函数的图象，得，故选（2）令，则，又，故有，即曲线上切线斜率范围为，而直线斜率为2，故选评注：对于（1）比较大小是利用单调性，关键在于构造相应的函数，然后在相应区间上用

4、导数知识判断其单调性而（2）比较大小运用构造相应的函数，运用几何意义，即斜率法加以解决三、用于解决几何问题例4（1）（2005年湖北文科卷）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是（）3210（2）（2005年重庆文科卷）曲线在点处的切线与轴，直线所以围成三角形的面积为解：（1）切线的倾斜角小于，则，且，即，坐标为整数的点的个数为0个，选 （2）在点处的切线方程为，即作图可知：评注：函数在点处导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，即例5（2005年全国卷文）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转角，再焊

5、接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为cm，容器的容积为则求的导数，得当时，那么是增函数；当时，那么是减函数因此，在定义域内，函数只有当时取得最大值，其最大值为答：当容器的高为10cm时，容器的容积最大，最大容积是19600cm评注：这是一道实际生活中的最优化问题，一般先建立目标函数，通过配凑变形转化为符合二元或三元均值不等式的形式求最值，但配凑过程是一个难点，如果运用导数知识求目标函数的最值则使以上问题变得非常简单可见，导数的引入开辟了求最值问题的新途径四、研究函数的性质导数是研究函数问题的有力工具，主要应用于三个方面（设函数在某个区间内可导）

6、：（1）单调性判断：如果，则单调递增；如果，则单调递减（2）极值判断：检验使的点左右值的符号，左正右负为极大值，左负右正为极不值（3）闭区间最值判断：先求出其开区间上的极值，再与端点的函数值比较即可求解应注意有时以逆向题形式给出，即已知以上的性质，求参数的值或范围例1已知函数（）求的单调减区间；（）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值分析：本题主要研究函数的单调性及最值，运用导数可轻易获解解：（）令，解得，或所以函数的单调递减区间为（）因为，所以因为在上，所以在上单调递增，又由于在上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值于是有，解得故因此即函数在区间上的最小值为评注：运用导

7、数求函数的单调区间的方法简单，避免了运用定义时繁杂的运算及高难度变形技巧二、解决几何问题例2曲线在点处的切线与轴，直线所围成的三角形的面积为解：在点处的切线方程为，即作图可知：评注：函数在点处导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，即三、解决不等式问题例3若，则（）解：设，令，得0单调递增极大值单调递减又，故通过模拟函数的图象，得，故选评注：本题通过构造函数，再借助导数来判断所构造函数的单调性，准确、简捷，不失为解决此类问题的好方法五、导数应用中的两个误区 导数的应用在高考中的位置越来越重要，每一套高考试题都有一个解答题。导数是研究函数性质中强有力的工具，特别在研究函数的单调性、最值方面有着

8、独特的作用，但有两个地方学生容易发生知识性的错误，下面归纳如下：一. 求曲线的切线的方程例1. 已知曲线y=求曲线在点P(1，1)的切线方程求曲线过点Q（1，0）的切线方程求满足斜率为-的曲线的切线方程解：=-，又P（1，1）在曲线上P为切点，所求切线方程的斜率是k=-1，曲线在点P(1，1)的切线方程为y-1= -(x-1),即y=-x+2显然Q（1，0）不在曲线上，则设过该点的切线的切点为A（a,）,该切线的斜率是k= -则切线方程是y-= -(x-a) 将点Q（1，0）代入方程得：0-= -(1-a)解得a=,故切线方程为y=-4x+4设切点为B（b,）则切线的斜率为k= -= - ,解

9、得a=, B（,）或(-,- ),所以所求的切线方程是y-=-(x-)或y+=-(x+)即x+3y-2=0或x+3y+2=0总结：求切线方程时应该注意判断已知点是否在曲线上，这一点容易忽略。点不在曲线上，而按在曲线上求，就会背道而驰。无论点是否在曲线上方法是一样的，先求函数的导数由切点（或设切点）求切线斜率，然后写出点斜式方程。二求函数的单调区间例2.已知函数=-ax-1。 (1).若a0，求函数的单调递减区间；(2).若函数在R上单调递增，求实数a取值范围；(3).是否存在实数a，使在（-1，1）上单调递减？若存在，求出a的取值范围，若不存在说明理由。解：. 由已知=3-a,令0，则3（）（

10、）0,解不等式，可得 函数的单调递减区间是.在上是单调增函数，=3-a0在上恒成立。即a3对xR恒成立.30, 只需a0,又a=0时，=30，=-1在R上单调递增，a0.由=3-a0在（-1，1）上恒成立,得：a3，x（-1，1）恒成立-1<x<1, 3<3, 只需a3当a=3时=3（-1）在x（-1，1）上，<0,即在x（-1，1）上为减函数， a3.故存在实数a3，使在（-1，1）上单调递减.总结：1 方法对比：求函数在定义域内的单调递增区间，只需>0；求单调递减区间时，只需0。 若函数在某个区间单调递增，则0；在某区间上单调递减，则0.2 对比分析: 0，（

11、或0）是函数在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，而在区间上为增函数（或减函数）的充要条件是0（或0）。因为在上不排除有一个或几个点=0，端点处的导数也可能是0，当然不能恒等0，即f(x)是常数函数，因此，在知道函数是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应该取0（0）。然后再转化成恒成立问题解决，检验解出的参数是否=0恒成立，若恒成立，舍去。例2. 若=在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+）为增函数，试求实数a的取值范围。分析：这样的问题，学生容易得到的错误。原因是混淆了题目类型，若该题改为：若=在区间（1，4）内为减函数，在区间（4，+）为增函数，试求实数a的取值范围。则。暴露出的问题是函数极值的概念理解得不透彻，掌握了问题的“形式”，没有把握问题的“内