高考总复习二：函数与导数

1、2013年高考总复习二：函数与导数4一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 函数y2(x0)的反函数为()Ay(xR) By(x0) Cy4x2(xR) Dy4x2(x0)2. 函数f(x)axm(1x)n在区间0,1上的图像如图12所示，则m，n的值可能是()Am1，n1 Bm1，n2 Cm2，n1 Dm3，n1 图12 3【2010·兰州市四月模拟】定义在R上的偶函数f(x)满足，且在1，0上单调递增，大小关系是（ ）ABCD4【2010·曲靖一中届高考冲刺卷数学(三)】设定义域为的函数f(x)、g

2、(x)都有反函数，且f(x-1)和g-1 (x-2)的图象关于直线y=x对称，若g(5 )=2008，则f(4)等于（ ） A2007 B2008 C2009 D20105若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）A B C D6【2010·郑州市三模】已知关于x的函数y在【0，1】上是减函数，则a的取值范围是( )A（0，1） B（1，2） C（0，2） D2，）7. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数). 已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A75,25 B75,16 C60,25

3、D60,168. 已知函数f(x)exx.对于曲线yf(x)上横坐标成等差数列的三个点A、B、C，给出以下判断：ABC一定是钝角三角形；ABC可能是直角三角形；ABC可能是等腰三角形；ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是()A B C D9. 曲线y在点M处的切线的斜率为()A B. C D.10已知、是三次函数f(x)x3ax22bx的两个极值点，且(0,1)，(1,2)，则的取值范围是()A. B. C. D.11【2010·江西理数】给出下列三个命题：函数与是同一函数；高考资源*网若函数与的图像关于直线对称，则函数与的图像也关于直线对称；若奇函数对定义域内任意都有，则为周

4、期函数.其中真命题是（ ）A. B. C. D. 12.【2010·江西理数】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为（ ）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。13. 设f(x)若f(f(1)1，则a_.14. 里氏震级M的计算公式为：MlgAlgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍15

5、. 已知函数f(x)logaxxb(a0，且a1)当2a3b4时，函数f(x)的零点x0(n，n1)，nN*，则n_.162011·四川卷 函数f(x)的定义域为A，若x1，x2A且f(x1)f(x2)时总有x1x2，则称f(x)为单函数例如，函数f(x)2x1(xR)是单函数下列命题：函数f(x)x2(xR)是单函数；若f(x)为单函数，x1，x2A且x1x2，则f(x1)f(x2)；若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数其中的真命题是_(写出所有真命题的编号)三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文

6、字说明，证明过程或演算步骤。17【2010·安徽文数】设函数，求函数的单调区间与极值.18. 已知函数f(x)x3，g(x)x.(1)求函数h(x)f(x)g(x)的零点个数，并说明理由；(2)设数列an(nN*)满足a1a(a>0)，f(an1)g(an)，证明：存在常数M，使得对于任意的nN*，都有anM.19. 2011·湖南卷 设函数f(x)xalnx(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)的直线的斜率为k.问：是否存在a，使得k2a？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由2

7、0已知a>0，函数f(x)lnxax2，x>0(f(x)的图象连续不断)(1)求f(x)的单调区间；(2)当a时，证明：存在x0(2，)，使f(x0)f；(3)若存在均属于区间1,3的，且1，使f()f()，证明a.21.2011·福建卷 已知a，b为常数，且a0，函数f(x)axbaxlnx，f(e)2(e2.71828是自然对数的底数)(1)求实数b的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当a1时，是否同时存在实数m和M(m<M)，使得对每一个tm，M，直线yt与曲线yf(x)都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由222008

8、·全国卷设函数（）求的单调区间；（）如果对任何，求证：当时，都有。23. 2011·全国卷 (1)设函数f(x)ln(1x)，证明：当x>0时，f(x)>0；(2)从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为p.证明：p<19<.24【2010·四川理数】设（且），g(x)是f(x)的反函数.（）设关于的方程求在区间2，6上有实数解，求t的取值范围；（）当ae（e为自然对数的底数）时，证明：；（）当0a时，试比较与4的大小，并说明理由. 2013年高考总复习二：函数

9、与导数3参考答案 2011·湖南卷 【解答】 (1)由h(x)x3x知，x0，)，而h(0)0，且h(1)1<0，h(2)6>0，则x0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1,2)内有零点因此，h(x)至少有两个零点解法一：h(x)3x21x，记(x)3x21x，则(x)6xx.当x(0，)时，(x)>0，因此(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)内至多只有一个零点又因为(1)>0，<0，则(x)在内有零点，所以(x)在(0，)内有且只有一个零点记此零点为x1，则当x(0，x1)时，(x)<(x1)0；当x(x1，)时，(x)>(x1

10、)0.所以，当x(0，x1)时，h(x)单调递减而h(0)0，则h(x)在(0，x1内无零点；当x(x1，)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1，)内至多只有一个零点，从而h(x)在(0，)内至多只有一个零点综上所述，h(x)有且只有两个零点解法二：由h(x)x，记(x)x21x，则(x)2xx.当x(0，)时，(x)>0，从而(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)内至多只有一个零点因此h(x)在(0，)内也至多只有一个零点综上所述，h(x)有且只有两个零点(2)记h(x)的正零点为x0，即xx0.(i)当a<x0时，由a1a，即a1<x0.而aa1<x0x

11、，因此a2<x0.由此猜测：an<x0.下面用数学归纳法证明当n1时，a1<x0显然成立假设当nk(k1)时，ak<x0成立，则当nk1时，由aak<x0x知，ak1<x0.因此，当nk1时，ak1<x0成立故对任意的nN*，an<x0成立(ii)当ax0时，由(1)知，h(x)在(x0，)上单调递增，则h(a)h(x0)0，即a3a.从而aa1aa3，即a2a.由此猜测：ana.下面用数学归纳法证明当n1时，a1a显然成立假设当nk(k1)时，aka成立，则当nk1时，由aakaa3知，ak1a.因此，当nk1时，ak1a成立故对任意的nN*，

12、ana成立综上所述，存在常数Mmaxx0，a，使得对于任意的nN*，都有anM.【解答】 (1)由f(e)2得b2.(2)由(1)可得f(x)ax2axlnx.从而f(x)alnx.因为a0，故：当a>0时，由f(x)>0得x>1，由f(x)<0得0<x<1；当a<0时，由f(x)>0得0<x<1，由f(x)<0得x>1.综上，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(3)当a1时，f(x)x2xlnx

13、，f(x)lnx.由(2)可得，当x在区间内变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，e)ef(x)0f(x)2单调递减极小值1单调递增2又2<2，所以函数f(x)(x)的值域为1,2据此可得，若相对每一个tm，M，直线yt与曲线yf(x)都有公共点；并且对每一个t(，m)(M，)，直线yt与曲线yf(x)都没有公共点综上，当a1时，存在最小的实数m1，最大的实数M2，使得对每一个tm，M，直线yt与曲线yf(x)都有公共点课标理数19.B122011·天津卷 【解答】 (1)f(x)2ax，x(0，)令f(x)0，解得x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如

14、下表：xf(x)0f(x)极大值所以，f(x)的单调递增区间是，f(x)的单调递减区间是.(2)证明：当a时，f(x)lnxx2.由(1)知f(x)在(0,2)内单调递增，在(2，)内单调递减令g(x)f(x)f.由于f(x)在(0,2)内单调递增，故f(2)>f，即g(2)>0.取xe>2，则g(x)<0.所以存在x0(2，x)，使g(x0)0，即存在x0(2，)，使f(x0)f.(说明：x的取法不惟一，只要满足x>2，且g(x)<0即可)(3)证明：由f()f()及(1)的结论知<<，从而f(x)在，上的最小值为f()又由1，1,3，知123

15、.故即从而a.解：（）2分当（）时，即；当（）时，即因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数6分（）令，则故当时，又，所以当时，即9分解：(1)f(x).当x>0时，f(x)>0，所以f(x)为增函数，又f(0)0.因此当x>0时，f(x)>0.(2)p. 又99×81<902,98×82<902，91×89<902，所以p<19. 由(1)知：当x>0时，ln(1x)>.因此，ln(1x)>2.在上式中，令x，则19ln>2，即19>e2. 所以p<19<.【解析】本解：(1)由题意，得ax0，故g(x)，x(,1)(1,)，由得，t(x-1)2(7-x)，x2,6，则t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)列表如下：x2(2,5)5(5