数学必修4三角函数概念讲义

1、第1章 ：三角函数部分一：任意角和弧度制一、任意角 角的定义（动态定义）： 平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图，一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角.旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点. 正角、负角、零角的定义： 我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角； 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角； 如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 角的记法：为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可简记为.象限角、轴线角 1、象限角： 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终

2、边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.如教材图1.1-4中的角、角分别是第一象限角和第三象限角. 2、轴线角： 如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角.请同学们思考：初中所学的锐角、直角、钝角、平角、周角是第几象限角? 终边相同的角的集合一般地,我们有:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合,即任一与角终边相同的角,都可以表示成角与整数个周角的和.总结一：见下表终边位置集合表示终边为的非负半轴终边为的负半轴终边为轴终边为轴非负半轴终边为轴负正半轴：2 / 16终边为轴：终边为坐标轴：总结二：见下表终边位置集合表示第一象限第二象限第三象限或

3、第四象限或二、弧度制： 1角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本，自行解决上述问题.2.弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).3、 角度和弧度的转化： ,度4、 扇形中的几个重要公式： (1); (2); (3).其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.例题讲解：例1下列的角请判断是象限角还是轴线角，并进一步判断终边的位置。（1） （2） （3

4、） （2） 例2 写出下列各边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来： （1）； （2）； （3）例3、已知是锐角，请判断、所在的象限？变式练习：我们把已知中的锐角，如果改成是直角，钝角的时候，结果会有着怎样的变化？例4、已知是第一象限的角，请同学们判断、所在的象限变式练习：1、已知是第二象限的角，请同学们判断、所在的象限 2、已知终边在轴非负半轴角，请同学们判断、所在的象限例5. 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:度弧度例6 （1）已知扇形的圆心角为，半径，求弧长及扇形面积。（2）已知扇形周长为，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？ 例7 如图，扇形的面积是，它的周长是

5、，求扇形的中心角及弦的长。作业：1集合的关系是（ ）（A） （B） （C） （D）以上都不对。2已知集合，则等于（ ）（A） （B） （C） （D）或3圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。4若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是 5在以原点为圆心，半径为的单位圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角的弧度数为 6试写出终边在直线上所有角的集合，并指出上述集合中介于与之间的角。7若角是第三象限角，问是哪个象限的角？是哪个象限的角？8一个扇形周长等于它的弧所在圆的周长的一半，若圆的半径为，求扇形的面积。9弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长，

6、及圆心角所夹扇形面积（要求作图）。10已知扇形的周长为30，当它的半径和圆心角各取多少值时，扇形面积最大，最大值为多少？部分二、任意角的三角函数1、 中，设对边为，对边为，对边为，锐角的正弦、余弦、正切依次为 1 三角函数定义2、在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么（1）比值叫做的正弦，记作，即；（2）比值叫做的余弦，记作，即；（3）比值叫做的正切，记作，即；3、三角函数的定义域、值域函 数定 义 域值 域4三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；余

7、弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。5诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：，其中，当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。6单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。7有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。8三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P，过作轴的

8、垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点.（）（）（）（）由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有， ，我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明：三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；余弦线在轴上；正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。三条有向线段的正负：三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值，与轴或轴反向的为负值。三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。3例题分析例1 已知角的终边经过点，求的六个函数制值。例2 求下列各角的六个三角函数值：（1）；（2）；（3） 例3 已知角的终边过点，求的六个三角函数值。例4、试确定下列三角函数值的符号：（1）；（2）；（3）；（4） 例5 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）； （2）； （3）； （4）例6 利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。（1）； （2）； （3）且；（4）； （5）且作业：1、已知点，在角的终边上，求、的值。2：已知且，（1）求角的集合；（2）求角终边所在的象限；（3）试判断的