第9章多元函数微分法及其应用近年试题(共20页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业0809 B一、填空题（每小题 3 分，共 18 分）2、设，则其全微分 )ln(xyz dz 11dxdyxy3、函数的所有间断点是 .xyxyu22222( , )|2 ,x yyx xR yR二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）1、，则极限（ ）22),(yxxyyxf),(lim00yxfyx（A）不存在 （B）1 （C）2 （D）0A当点沿曲线趋向时，( , )P x yykx(0,0)显然，当 k 取值不同是，极限也不相同。222200lim( , )limxxy kxkxf x yxk x21kk所以 不存在22( , )(0,0)

2、limx yxyxy2、在曲线所有切线中，与平面平行的切线（ 32,tztytx433zyx）（A）只有一条； （B） 只有两条； （C）至少有 3 条； （D） 不存在曲线的切向量,平面的法向量2( ),( ),( )=(12 ,3 )Tttttt ，(1,3,3)n ,所以只有一条切线满足条22(12 ,3 ) (1,3,3)1 690tttt ，2(31)0t 1.3t 得得件.3、点是函数的（ ）0 , 0 xyz （A）极值点；（B）.驻点但不是极值点；（C）是极值点但不是驻点；（D）以上都不对 分析: 令,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是的鞍点,不是极值点.0,0 xyzyzx

3、xyz 四、计算题（每小题 8 分，共 32 分）1、设求和, , ,sinyxvxyuvezuxzyz精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解 zffufvxxuxvxe sine cose sin()cos()uuxyv yvyxyxye sine cosuuzffufvv xvyyuyvy e sin()cos()xyxxyxy五、解答题（每小题分 10，共 20 分）1、要造一个容积为定数 a 的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小？此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为则问题就是在条件下,zyx( , , )0 x y zxyza求函数 22Sxyxzy

4、z)0, 0, 0(zyx的最小值. 作拉格朗日函数 ( , , )22(),L x y zxyxzyzxyza求其对的偏导数，并使之为零，得到 , , ,x y z20,20,2()0,0.yzyzxzxzxyxyxyza因为都不等于零， 得 代入,得zyx,11,22zxy0 xyza这是唯一可能的极值点. 由问题本身可知最小值一33312 ,2 ,2 ,2xa ya za定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得. 即长宽高为时, 最33312 ,2 ,22aaa小表面积 233 (2 ) .Sa0910B一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）2、设函数是由方程给出，则全微分 ),

5、(yxfz zzyx4222dz,.2 d224x xydyzdzdz2xdxydydzz 3、曲面在点处的切平面方程为 .14222zyx)3 , 2 , 1 (P切平面得法向量(1,2,3)(1,2,3)(2 , 2 ,2 )nxyz (2, 4,6), 切平面方程为2(1)+4(2)6(3)0,23140.xyzxyz 或或二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1、二元函数在点处可微是两个偏导数都存),(yxf),(00yx),( , ),( 0000yxfyxfyx在的 （ ） （A）充分条件 （B）必要条件（C）充分必要条件 （D）既非充

6、分又非必要条件.四、计算题（每小题 10 分，共 40 分）1、设，而、，求:、vuzln2yxu yxv23 xzyz解：，22223323ln2yyxxyxyxxz223223223ln2yyxxyxyxyz1011B一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）(1) 设二元函数，则 .)1ln() 1(yxxezyx)0, 1(|dz(1,0)(1,0)(1,0)1|(ln(1)|()|1x yx yx yxdzexeydxxedyy(1,0)d2ed(e 2)dzxy(2) 旋转抛物面在点处的法线方程是 .122yxz)4 , 1 , 2(法线的方向向量(2,1,4)(2,1,4)(2

7、, 2 , 1)sxy(4, 2, 1),法线方程是.214421xyz二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）(4) 设的全微分为 则点 ( C ),(yxfz ydyxdxdz)0 , 0( 不是的连续点； 不是的极值点；. A),(yxf.B),(yxf 是的极小值点； 是的极大值点.C),(yxf.D),(yxf分析:,得,由,则点 z,xyx zyz1,1,0 xxyyxyzz210,10ACBA 是的极小值点.)0 , 0(),(yxf三、求偏导数（每小题 10 分，共 20 分）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（1）设，其中具有二阶连续偏导数.求 ；.),(3xy

8、xyfxz fyz22yzyxz2解: 231223()zyx fxyffxx23123x fx yfxyf 3121( )zxxffyx4212x fx f242122()zx fx fyy4211122 12211( )( )xfxfxfxfxx 531112222x fxx fxf yxz22zy x 4212()x fx fx3421111222122224()2()yyx fxfyfxfxf yfxx 3412112242.x fxfx yfyf(2)设是方程在点确定的隐函数，求及),(yxzz )arctan(zyxxyz) 1, 1 , 0(xz)1, 1 , 0(yz 解解:令

9、 1 分)arctan(),(zyxxyzzyxF则 2)(11zyxxyFz 6 分2)(11zyxyzFx2)(11zyxxzFy ； 8 分1)(1 1)(1 22zyxxyzyxyzFFxzzx 10 分11)(1 1)(1 22)1, 1 , 0(zyxxyzyxxzFFyzzy六、应用题（本题满分 10 分）从斜边长为 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.l解：解：设另两边长分别为，则 ，周长 2 分yx,222lyxlyxC 设拉格朗日函数 4 分)(),(222lyxlyxyxF精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 令 6 分0021021222

10、lyxFyFxFyx解方程组得为唯一驻点，且最大周长一定存在 8 分lyx22故当时，最大周长为 10 分lyx22lC)21 ( 1112B一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）1. 在点处的yxz2) 1 , 1 (._dz22,dzxydxx dy112.xydzdxdy2. 设函数在点取得极值，则常数.yxyaxxyxf22),(22) 1, 1 ( _a,所以211(1, 1)(4)0 xxyfxay11(1, 1)220yxyfxy5.a 例 36设函数在处取得极值，试求常数 a，并确定22( , )22f x yxaxxyy(1, 1)极值的类型分析 这是二元函数求极值的反问

11、题， 即知道取得极值，只需要根据可导函( , )f x y数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题解因为在处的偏导数均存在，因此点必为驻点， 则有( , )f x y( , )x y(1, 1) ，2(1, 1)(1, 1)(1, 1)(1, 1)40220fxayxfxyy因此有，即410a 5a 因为， ，22(1, 1)4fAx2(1, 1)(1, 1)22fByx y 22(1, 1)(1, 1)22fCxy，2242( 2)40ACB 40A 所以，函数在处取得极小值( , )f x y(1, 1)精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）

12、3. 在点处函数的全微分存在的充分条件为 （ ）P),(yxfdf(A) 均存在 (B) 连续 yxff ,f(C) 的全部一阶偏导数均连续 (D) 连续且均存在ffyxff ,三、计算题（每小题 8 分，共 40 分）1. 设是由方程所确定的隐函数，计算的值.),(yxzz zzyx222222,xzxz解:设 ，则， ，222( , , )2F x y zxyzz2xFx2yFy22,zFz2,221zxxxzz 22()1zxxxz21(1)xzxzz22231(1)1(1)(1)xzxzxzzz4. 求函数在点沿着从该点到点的方向导数.zxyzxyu)3 , 1 , 2()15, 5

13、, 5(解 方向 (3,4,12)l 034 12,.13 13 3l 1312cos,134cos,133cos,3)3 , 1 , 2(, 5)3 , 1 , 2(, 4)3 , 1 , 2(zyxuuu .1368coscoscoszyxuuulz五、证明题（每小题 7 分，共 7 分）证明在点偏导数存在，但不可微.22( , )(0,0)( , )0( , )(0,0)xyx yf x yxyx y)0 , 0(证: ,( ,0)0,(0, )0f xfy00(0,0)(0,0)(0,0)limlim00.xxxfxffx 00(0,0)(0,0)(0,0)limlim 00.yyyf

14、yffy .3 分( , )(0,0)f x y所以函数在处可导. 2202200lim),(lim)0 , 0()0 , 0(limyxyxyxyxfyfxfzyx 当点沿曲线趋向时，(,)Pxyykx(0,0)精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业.22222222000()limlimlim()()()()xxy k xx yx ykxxyxyxkx 21kk显然，当 k 取值不同是，极限也不相同。所以 不存在220limx yxy 这表示当时, 0(0,0)(0,0)( )xyzfxfyo ( , ),(0,0)f x y所以函数在点不可微.1213B一、填空题（每小题 2 分，共

15、 10 分） (2) 极限 .xyxyyx11lim)2, 0(),(. 分子有理化12(3) 设二元函数，则 .xyez dzxyxydzye dxxe dy二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）(1) 设函数，则极限()22),(yxxyyxf),(lim)0, 0(),(yxfyx(A) . (B) . (C) . (D) 不存在.012当点沿曲线趋向时，( , )P x yykx(0,0)显然，当 k 取值不同是，极限也不相同。222200lim( , )limxxy kxkxf x yxk x21kk所以 不存在22( , )(0,0)limx yxyxy (2) 二元函数在点处

16、的全微分存在是它在该点连续的( ),(yxf),(00yx(A) 充分条件. (B) 必要条件. (C) 充分必要条件. (D) 既非充分也非必要条件.如果函数在一点可微分,则函数在该点连续三、计算题（每小题 8 分，共 40 分）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(1) 设，求，和.33xyyxzxzyzyxz222yz解: 233,zx yyx323,zxy xy22233,zxyx y 226.zxyy (2) 设是由方程所确定的隐函数，求和.),(yxzz yzzxlnxzyz解 I： 用隐函数求导公式，yzzxzyxFln,1zxF,1yyFzzxzF12,112zxzzzx

17、zxz)(1122zxyzzzxyyz解 II： 将看作的函数，两边对求导，得：zyx,xxzzzxzxz12即，同理两边对求导得zxzxzy)(2zxyzyz 解 III： 将方程两边求全微分，得：，解出得：ydyzdzzxdzzdx2dzdyzxyzdxxzzdz2，将 z 看作的函数，继续求导，即得二阶偏导数：zxzxz)(2zxyzyzyx,，3222xzzxz322222xzyxzyz322xzyxzyxz四、应用题（每小题 10 分，共 20 分）(1) 求旋转抛物面上垂直于直线的切平面方程.22yxz035201zyxzyx解: 令,任取旋转抛物面上一点，该点的法向量22( ,

18、, )F x y zxyz( , , )M x y z精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业, 已知直线的方向向量(,)(2 ,2 , 1)xyznF F Fxy111(3, 4,1)125ijks 因为所求平面的法向量与已知直线的方向向量平行,所以代入,得,221341xy3,2,2xy 22yxz925444z 所以所求的切平面方程为3253()4(2)()024xyz或.253404xyz注:已知直线的方向向量也可以按下面的两种方式求1. 把看成是的函数，在方程组中对求导，得, y zx102530 xyzxyz x，解得101250dydzdxdxdydzdxdx4313dydxd

19、zdx则方向向量4 1(1, ).3 3s 2. 令，直线的方向向量( , , )1F x y zxyz( , , )253G x y zxyz，11 11 11(,)(3, 4,1)25 51 12T (2) 求函数在条件下的最大值与最小值. 1yxz822 yx解令，于是由22( , , )1(8),F x y zxyxy 解得即,为可能的极值点，可能的极值2212012080 xyFxFyFxy 22,.22xxyy (2,2)( 2, 2),从而所求函数的最大值是，最小值是.(2,2)5z(2,2)3z (2,2)5z(2,2)3z 五、综合题（每小题 10 分，共 20 分） (2)

20、 设是定义在上的连续函数，是由圆和直线)(xf), 0D222Ryx，所围成的区域在第一象限部分（，）. 记tanxy 0y0R20，求.DdxdyyxfRF)(),(22RF2精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解: 区域用极坐标表示D( , )|0,0,R DdxdyyxfRF)(),(222()Dfd d 200()Rdfd FR200()RdfdR 20()f RRdRF220()f RRd2() .f RR0607 高数 A一、填空题（每小题 4 分，共 32 分）一、填空题填空题（本题共（本题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 20 分）分）1. 函数的定

21、义域为 _.22arccos),(yxzzyxf2222( , , )|,0 x y zzxyxy5. 曲面上点 P(1,1,2) 处的切平面方程为 .224yxz切平面的法向量(1,1,2)( 2 , 2 , 1)|( 2, 2, 1)nxy 切平面方程或.2(1)2(1)20 xyz2260 xyz二、单项选择题二、单项选择题（本题共（本题共 5 小题，每题小题，每题 4 分，满分分，满分 20 分）分）1. 考虑二元函数的下面 4 条性质：点处在),(),(00yxyxf ,连续,两个偏导数连续,可微,两个偏导数存在 若用表示可由性质推出性质，则有 A QP PQ(A) ; (B ) ;

22、 (C) ; (D) .2. 坐标原点(0,0)是函数的 B xyyxz532 (A) 既是驻点也是极值点； (B) 驻点但非极值点；(C) 极值点但非驻点； (D) 既非驻点也非极值点. ,所以(0,0)是驻点但非极值点2250ACB 三三 、计算题一、计算题一（本题共两小题，满分（本题共两小题，满分 15 分）分）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业1. 已知、； xzyxz求,tanlnxyz2 解: 2sec11cot,tanxzxyxxyy yy221(cot)zzxy xx yyy y 22311cotcsc.xxyyyy 2.已知，求.10222zyxzyxdxdydxdz

23、和解: 注意在方程组中对求导，得( ),( ).yy x zz x222101xyzxyz x，解得102220dydzdxdxdydzxyzdxdx.dyxzdxzydzyxdxzy0708 高数 A一一、填空题（本题共填空题（本题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 20 分）分）1. 极限 ._sin11lim)0, 0(),(xyxyyx( , )(0,0)1 11lim.sin()2sin()(1 1)x yxyxyxyxyxy 2. 曲面上点 P(2,1,0) 处的切平面方程为 .3xyzez设,( , , )3zF x y zezxy切平面的法向量(2,1,0)

24、( , ,e1)|(1,2,0)zny x切平面方程或.(2)2(1)0 xy240 xy二、单项选择题（本题共二、单项选择题（本题共 5 小题，每题小题，每题 4 分，满分分，满分 20 分）分）1. 设,则它在点(1,0)处( B ).233yxxz(A) 取得极大值; (B ) 无极值; (C) 取得极小值; (D) 无法判定是否有极值.解: ,.2(1,0)(1,0)|33|0 xzx(1,0)(1,0)|2 |0yzy,(1,0)(1,0)|6 |6,xxzx(1,0)|2yyCz (1,0)|0 xyBz精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业,所以函数在点(1,0)处无极值.2

25、120,ACB 三三 、计算题（本题共两小题，满分、计算题（本题共两小题，满分 14 分）分）1. (7 分) 设函数其中具有二阶连续偏导数,求. ),(yxxyfzf22xz1(7 分) 解: 3 分21ff yxz 7 分2212112222ff yfyxz 2.(7 分) 设函数，求.zzyx2222yxzyzxz2,解: 令, 1 分),(zyxFzzyx2222 2 分22,2,2zFyFxFzyx 4 分,1zxFFxzzx,1zyFFyzzy将看作的函数,继续求导,得zyx, 7 分32)1 (zxyyxz0809A一一、填空题（每小题填空题（每小题 2 分，满分分，满分 10

26、分）分）1. 极限 ._11lim)0, 1(),( xyxyyx( , )(1,0)1 1limx yxyxy 1.21 1xyxy 2. 曲面在点(1,1,2) 处的切平面方程为 .22yxz 设,切平面的法向量22( , , )F x y zxyz(1,1,2)(2 ,2 , 1)|(2,2, 1)nxy切平面方程或.2(1)2(1)(z 2)0 xy2220 xyz二、选择题（每题二、选择题（每题 2 分，满分分，满分 10 分）分）1.函数在可微是它在该点两个一阶偏导数都存在的( A ).),(yxf),(00yx精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(A) 充分条件; (B )

27、 必要条件; (C) 充要条件; (D) 非充分亦非必要条件.2. 设在点(0,0)处( C ).xyz (A) 取得极大值; (B ) 取得极小值; (C) 无极值; (D) 无法判定是否有极值.三三 、求偏导数或全微分（每小题、求偏导数或全微分（每小题 8 分，满分分，满分 24 分）分）1.设函数,求 dz 和. 44224zxyx y22xz解: 3248,zxxyx3248,zyx yy3232(48)(48),dzxxydxyx y dy232222(48)128.zxxyxyxx2. 设，求. ,23,ln2yxvyxuvuz yzxz ,解：，22223323ln2yyxxyx

28、yxxz223223223ln2yyxxyxyxyz3 设由确定，有一阶连续偏导，求),(yxzz (,)zf xyz xyzf,zzxy解: 设则( , , )(,).F x y zzf xyz xyz 12(),xFfyzf 1212(),1 ()yzFfxzfFfxyf 1212,1 ()xzFyzffzxFxyff 1212.1 ()yzFxzffzyFxyff 六、六、 （8 分）分）求函数的极值)4)(6(),(22yyxxyxf 解：解方程组22( , )(62 )(4)0,( , )(6)(42 )0 xyfx yxyyfx yxxy求得以下五组解30066;,20404xxx

29、xxyyyyy于是驻点,又(0,0);(0,4);(6,0);(6,4);(3,2)精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业22( , )28 ;( , )4(3)(2);( , )212 ,xxxyyyfx yyy fx yxyfx yxx所以1.在处,),( 00(0,0)0,(0,0)24,(0,0)0 xxxyyyAfBfCf故不是极值；22240,ACB (0,0)f2. 在处(0,4)(0,4)0,(0,4)24,(0,4)0 xxxyyyAfBfCf 故不是极值；22240,ACB (0,0)f3. 在处(6,0)(6,0)0,(6,0)24,(6,0)0 xxxyyyAfBf

30、Cf 故不是极值；22240,ACB (6,0)f4. 在处(6,4)(6,4)0,(6,4)24,(6,4)0 xxxyyyAfBfCf故不是极值；22240,ACB (6,0)f5. 在处(3,2)(3,2)80,(3,2)0,(3,2)18xxxyyyAfBfCf 故函数在点取得极大值，极大值为 36.21440,ACB(3,2)综上所述，函数的极大值为 36，无极小值.0910 高数 A一、填空题（每小题 3 分，共 18 分）1. 设，则.0 xyzezxz.zzyzxexy3. 函数的全微分为 .22yxz22xdxydy二、选择题（每小题 3 分，共 18 分）4. 曲面在任一点

31、处的切平面与坐标轴的截距之和为 3zyx B (A) ； (B) 3； (C) 9； (D) 1. 3精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业三、计算题（每小题 8 分，共 32 分）1.设.yxzyxz2sin，求解：； yxyxzcos1yxyxyxyyxzsincos1322四、应用题（每小题 8 分，共 16 分）1. 在已给的椭球面内的一切内接长方体（各边分别平行于1222222czbyax坐标轴）中，求其体积最大者.解：此题是条件极值，约束条件是内接于椭球面由椭球的对称性，不妨设是该),(zyx球面上位于第卦限的任一点，则约束条件为，本题不易变为一元函数，1222222czbya

32、x采用拉格朗日数乘法解之。设内接长方体的相邻边长为，其体积为：)0,(2 ,2 ,2zyxzyx.xyzV8构造拉格朗日函数 xyzzyxL8),() 1(222222czbyax求得, =( , , ),333abcx y zxyzV8338abc六、 （8 分）设函数 f (u)在(0,+)内具有二阶偏导数，且满足等式.)(22yxfz02222yzxz 验证； 若求函数 f (u)的表达式.0)()( uufuf, 1) 1 (, 0) 1 (ff解： 设，则22yxu .2 分)()(1)()();(32222ufuxufuufuxxzufuxxz 同理，)()(1)()(32222u

33、fuyufuufuyyz 由. .4 分02222yzxz0)(1)( ufuuf精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 设，dudpufpuf )(,)(则原方程化为： udupdppududp01积分得：，即 .6 分uCp ,)(uCuf由得 C=1., 1) 1 ( f于是1|ln)(Cuuf代入得：C1=0.0) 1 (f函数 f (u)的表达式为：. .8 分|ln)(uuf1011 高数 A一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1、._)sin(lim)2, 0(),(xxyyx2二、选择题（每小题 3 分，共 15 分）1、设可导函数满足则 ( B ),(yxf0),(

34、),(0000yxfyxfyx 是的极值点 是的驻点 ),(00yxA、),(yxf),(00yxB、),(yxf是的连续点 在处可微分),(00yxC、),(yxf、D),(yxf),(00yx三、求下列函数的导数（每小题 6 分，共 18 分）1、已知，求xyzarctanyzxz,解:22222221,1 ( )1 ( )yzyzxxxyyxxyyxyxx2、已知，求0 xyzezyzxz,解: 设则 ,( , , ).zF x y zexyz,xFyz ,zyzFxzFexy ,xzzFzyzxFexy .yzzFzxzyFexy 精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业3、已知，求

35、，),(22yxxyfzxzyz解: 122,zyfxfxyz122.xfyf1112 高数 A一、填空题（每小题 2 分，共 10 分）(1) 极限 .yxyyx)sin(lim)0, 0(),(0二、选择题（每小题 2 分，共 10 分）(1) 函数在点处的全微分存在的充分条件是( ),(yxf),(00yx(A) 在点处的两个一阶偏导数都存在. ),(yxf),(00yx(B) 在点处连续. ),(yxf),(00yx(C) 在点处的两个一阶偏导数都连续. ),(yxf),(00yx(D) 在点处连续并且两个一阶偏导数都存在.),(yxf),(00yx (2) 设,则它在点处 ( )32

36、yxz)0, 0(A) 取得极大值. (B) 无极值. (C) 取得极小值. (D) 无法判定是否有极值.解：解方程组求得解于是驻点又220,30 xyzxzy0.0 xy(0,0),( , )2;( , )0;( , )6 ,xxxyyyfx yfx yfx yy所以在处,),( 00(0,0)2,(0,0)0,(0,0)0 xxxyyyAfBfCf可能是极值点,也可能不是极值点.22240,ACB ),( 00但是在附近函数有大于 0 的点也有小于 0 的点.所以在处无极值),( 00),( 00三、计算题（每小题 10 分，共 40 分）(1) 设，求，和.yxzsin2xzyzyxz222yz(1) 解：， 5 分yxxzsin2yxyzcos2精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 ，10 分yxyxzcos22yxyzsin222(2) 求函数的极值.)2(),(22yyxeyxfx解：解方程组222( , )(2241)0,( , )(22)0 xxxyfx yexyyfx yey求得解于是得唯一驻点又1,21xy 1( , 1),222(