定积分的概念

1、新宁一中高二数学新宁一中高二数学新宁一中高二数学新宁一中高二数学预习回答 什么叫连续函数？ 什么叫曲边梯形？ 如何求曲边梯形的面积？新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积和与和与曲边梯形面积曲边梯形面积的关系的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积和与和与曲边梯形面积曲边梯形面积的关系的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积和与和与曲边梯

2、形面积曲边梯形面积的关系的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积和与和与曲边梯形面积曲边梯形面积的关系的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积和与和与曲边梯形面积曲边梯形面积的关系的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积和与和与曲边梯形面积曲边梯形面积的关系的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观

3、察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积和与和与曲边梯形面积曲边梯形面积的关系的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积和与和与曲边梯形面积曲边梯形面积的关系的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积和与和与曲边梯形面积曲边梯形面积的关系的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积和与和与曲边梯形面积曲边梯形面积的关系的关系新宁一中

4、高二数学新宁一中高二数学 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积和与和与曲边梯形面积曲边梯形面积的关系的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积和与和与曲边梯形面积曲边梯形面积的关系的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积矩形面积和与和与曲边梯形面积曲边梯形面积的关系的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学 观察下列演示过程，注意当分割加细时，观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形

5、面积矩形面积和与和与曲边梯形面积曲边梯形面积的关系的关系新宁一中高二数学新宁一中高二数学求曲线求曲线y y=f f( (x x) )对应的曲边梯形面积的方法对应的曲边梯形面积的方法 (2)(2)取近似求和取近似求和: :任取任取 i i xxi-1i-1, , x xi i ，第，第i i个小曲边梯形的面积个小曲边梯形的面积用高为用高为f( f( i i) )而宽为而宽为x x的小矩的小矩形面积形面积 f( f( i i) ) x x近似之近似之. .xiy=f(x)x yObaxi+1ix (1)分割分割: : 在区间在区间a,ba,b 上等间隔地插入上等间隔地插入n-1n-1个个点点, ,

6、将它等分成将它等分成n n个小区间个小区间: : 每个小区间宽度每个小区间宽度x x 11211,iina xx xxxxb.nab 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 (3)(3)取极限取极限: :，所求曲边所求曲边梯形的面积梯形的面积S S为为 取取n n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S S的近似值：的近似值：求曲线求曲线y y=f f( (x x) )对应的曲边梯形面积的方法对应的曲边梯形面积的方法 xiy=f(x)x yObaxi+1ix niixfS1.)( niinxfS1.)(lim新宁一中高二数学新宁一中高二数学一、定积分的定义一、定积分的定义

7、从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S S的过程中可以看出的过程中可以看出, , 通通过过“四步曲四步曲”: : 分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限取极限新宁一中高二数学新宁一中高二数学badxxf,)().( fnablimdx)x( fin1iban 即即如果当如果当n n时，时，S S 的无限接近某个常数，的无限接近某个常数， 这个常数为函数这个常数为函数f(x)f(x)在区间在区间a, ba, b上的定积分，上的定积分，记作记作新宁一中高二数学新宁一中高二数学定积分的定义定积分的定义： 定积分的相关名称：定积分的相关名称： 叫做积分号，叫做积分号， f(x) f(x) 叫做被积函

8、数，叫做被积函数， f(x)dxf(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式， x x 叫做积分变量，叫做积分变量， a a 叫做积分下限，叫做积分下限， b b 叫做积分上限，叫做积分上限， a, b a, b 叫做积分区间。叫做积分区间。Oabxy)(xfy ).( fnablimdx)x( fin1iban 新宁一中高二数学新宁一中高二数学被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分下限积分下限积分上限积分上限).( fnablimdx)x( fin1iban 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 按定积分的定义，有按定积分的定义，有 (1) (1) 由连续曲线由连续曲线y=f(

9、x) (f(x)y=f(x) (f(x) 0) 0) ，直线，直线x=ax=a、x=bx=b及及x x轴所围成的曲边梯形的面积为轴所围成的曲边梯形的面积为 (2) (2) 设物体运动的速度设物体运动的速度v=v(t)v=v(t)，则此物体在时，则此物体在时间区间间区间a, ba, b内运动的距离内运动的距离s s为为定积分的定义定积分的定义： badxxfS.)( badttvs.)().( fnablimdx)x( fin1iban 新宁一中高二数学新宁一中高二数学1x yOf(x)=x213S 根据定积分的定义，右边根据定积分的定义，右边图形的面积为图形的面积为.31)(10210 dxx

10、dxxfS新宁一中高二数学新宁一中高二数学 (1) (1) 定积分是一个数值定积分是一个数值, , 它只与被积函数及积它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即分区间有关，而与积分变量的记法无关，即说明：说明： bababaduufdttfdxxf.)()()(2) (2) 定义中区间的分法和定义中区间的分法和 i i的取法是任意的的取法是任意的. . baabdxxfdxxf.)()()3( badxxfba. 0)(时，时，当当特别地，特别地，新宁一中高二数学新宁一中高二数学.,1103的值的值计算计算利用定积分的定义利用定积分的定义例例dxx .3xxf 令令解解 .11)

11、, 2 , 1(,11 , 0,11 , 0)1(nninixninininn 每每个个小小区区间间的的长长度度为为个个小小区区间间等等分分成成把把区区间间分分点点上上等等间间隔隔地地插插入入在在区区间间分分割割新宁一中高二数学新宁一中高二数学 xnifSdxxfnininini 110, 2 , 1)2(则则取取近似代替、作和近似代替、作和 nnini131 .,1103的值的值计算计算利用定积分的定义利用定积分的定义例例dxx niin1341 2241411 nnn.11412 n.411141limlim)3(2103 nSdxxnnn取极限取极限新宁一中高二数学新宁一中高二数学二、定

12、积分的几何意义：二、定积分的几何意义：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 .)()(0)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积轴所围成的轴所围成的与与、示由示由在几何上表在几何上表时，积分时，积分当当xbxaxxfydxxfxfba 新宁一中高二数学新宁一中高二数学 当当f(x)f(x) 0 0时，由时，由y y f (x)f (x)、x x a a、x x b b 与与 x x 轴轴所围成的曲边梯形位于所围成的曲边梯形位于 x x 轴的下方，轴的下方，x yOdxxfSba)( ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)

13、dxf (x)dx。 Sdxxfba)( .)(Sdxxfba 在在几几何何上上积积分分dxxfba)( .的的负负值值表表示示上上述述曲曲边边梯梯形形面面积积新宁一中高二数学新宁一中高二数学新宁一中高二数学新宁一中高二数学ab yf (x)Ox y( )yg x 根据定积分的几何意义根据定积分的几何意义, ,如何用定积分表如何用定积分表示图中阴影部分的面积示图中阴影部分的面积? ?ab yf (x)Ox y1()baSfx dx( )yg x2( )baSg x dx探究探究: :.)()(21dxxgdxxfSSSbaba 新宁一中高二数学新宁一中高二数学三三. . 定积分的基本性质定积分

14、的基本性质 性质性质1. 1. dxxgxfba )()( babadxxgdxxf)()(性质性质2. 2. badxxkf)( badxxfk)(新宁一中高二数学新宁一中高二数学 定积分关于积分区间具有定积分关于积分区间具有可加性可加性 bccabadxxfdxxfdxxf)()()( 性质性质3. 3. 2121)()()()( ccbccabadxxfdxxfdxxfdxxfOx yab yf (x)新宁一中高二数学新宁一中高二数学 性质性质 3 3 不论不论a a，b b，c c的相对位置如何都有的相对位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。

15、f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxbcf (x)dx。 cOx y bccabadxxfdxxfdxxf)()()(新宁一中高二数学新宁一中高二数学小小 结结1、求曲边梯形面积、求曲边梯形面积分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限取极限2、定积分定义、定积分定义3、定积分几何意义、定积分几何意义4、定积分计算性质、定积分计算性质新宁一中高二数学新宁一中高二数学作业., 1102的值计算利用定积分的定义dxx新宁一中高二数学新宁一中高二数学.dt)5t(,2202 计算计算利用定积分的定义利用定积分的定义例例. 5t) t ( f2 令令解解 .n2n)1i (2ni 2x),n, 2 , 1i (ni 2,n)1i (2n2 , 0,1n2 , 0)1( 每每个个小小区区间间的的长长度度为为个个小小区区间间等等分分成成把把区区间间分分点点上上等等间间隔隔地地插插入入在在区区间间分分割割新宁一中高二数学新宁一中高二数学 xni 2fSdt) t ( f,n, 2 , 1ini 2)2(n1in20i 则则取取近似代替、作和近似代替、作和n25)ni 2(2n1i n1i23in810)1n2)(1n(n61n8103 .dt)5t(,2202 计算计算利用定积分的定义利用定积分的定义例例)n12)(n11(3410 新宁一