第3讲 两个重要极限、连续函数

1、AC面积面积面积面积扇形扇形的面积的面积AOCAOBOAB (1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆心角圆心角设单位圆设单位圆,tan,sinACxBDx 于是有于是有xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB的高为的高为 xxxtan2121sin21 有有,tansinxxx , 1sincos xxx即即, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxxxxx4sinlim0求极限求极限. 1sinlim0 xxx444sin1lim0 xxx原式原式xxx44sinlim1410

2、4 41 xxx3sin2tanlim0 xxxsinlimxxxxxxxx333sin22cos122sinlim0 原式原式1)sin(lim xxx原式原式xxxxxxxx33sinlim2cos1lim22sinlim32000 32 例例4 4.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exxx )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1(

3、)1( ).11()121)(111()!1(1)111()121)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(lime

4、xxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim例例5 5.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例例6 6.)3-1(lim120 xxx求求解解6063101)6(310)31(lim)3-1(lim)3-1(lim exxxxxxxx原式原式exxx )11(limexxx 10)1(lim 121)2(lim. 2 xxx求极限求极

5、限xxx10)21(lim. 1 求极限求极限22210221010)21(lim)21(lim)21(lim. 1exxxxxxxxx 22111121)1(1lim)2(lim. 2exxxxxx exxx )11(limexxx 10)1(lim2)1(lim. 3 xxxk求极限求极限kxkkxxkkxxexkxkxk 22)1(lim)1(lim)1(lim. 3两个重要极限两个重要极限 . 1sinlim0 xxxexxx )11(limexxx 10)1(lim._3cotlim20 xxx、._sinlim10 xxx 、._2sinlim3 xxx、练练 习习 题题._)1(

6、lim42 xxxx、3102e 问题的提出问题的提出(Introduction)0T(时间）时间）温度温度C41424一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性一天的气温是连续地变化着，体现函数的连续性1.6.1 函数的增量函数的增量.)()()()()(0010011010点点的的增增量量数数在在为为函函函函数数值值的的差差点点的的增增量量为为自自变变量量在在则则称称自自变变量量差差变变到到相相应应的的函函数数值值从从时时变变到到终终值值从从初初值值若若自自变变量量函函数数设设定定义义xxxfxfy，xxxx，xfxf，xxx，xfy xy00 x1x)(xfy x y 例例1 1。xxy

7、处的增量处的增量在在求函数求函数12 xx，x一增量一增量给给处处在在1 222)(21)1()1()1(xxxfxfy 解解xy02xy y x00的极限为的极限为时时当当y，x 例例2 2解解。xx时的增量时的增量处处求函数在求函数在01 1111xxxxyxxfxfy 2111)1()1()1(，x时时当当0 xy000的极限不为的极限不为时时当当y，x 定定 义义 1 1 设设 函函 数数)( xf在在 x x0 0的的 邻邻 域域 内内 有有 定定 义义 , ,如如 果果 当当 自自 变变 量量 的的 增增 量量x 趋趋 向向 于于 零零 时时 , ,对对 应应 的的函函 数数 的的

8、 增增 量量y 也也 趋趋 向向 于于 零零 , ,即即0lim0 yx 或或 0)()(lim000 xfxxfx, ,那那 末末 就就 称称 函函 数数)( xf在在 点点0 x连连 续续 , ,0 x称称 为为)( xf的的 连连 续续 点点 . . ,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是1.6.2 函数的连续与间断函数的连续与间断即即必必须须同同时时满满足足三三个个条条件件处处连连续续在在函函数数看看出出由由定定义义，xxxfy，0)(2 。xxxfyxxxfyxxxfy处处极极限限值值等等于于函函数数值值在在处处有有极

9、极限限在在处处有有定定义义在在000)()3(;)()2(;)()1( 例例3 3.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 单侧连续单侧连续;)(),()(lim,()(0000处处左左连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfxaxfxx 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()(lim,),)(

10、0000处处右右连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfbxxfxx )lim()()(lim000 xfxfxfxxxx ，x，连续时连续时在在这表示这表示0。以以交交换换顺顺序序极极限限符符号号与与函函数数符符号号可可例例4 4.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf连续函数与连续区间连续函数与连续区间.,)(,

11、),()(上上连连续续在在闭闭区区间间则则称称函函数数处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续并并且且在在左左端端点点内内连连续续在在开开区区间间如如果果函函数数baxfybxaxbaxfy 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.),()(,),()(内内连连续续在在开开区区间间则则称称函函数数内内每每一一点点都都连连续续在在开开区区间间如如果果函函数数baxfybaxfy :)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim

12、)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只xfxxxf(1)第一类间断点第一类间断点.,称称为为第第一一类类间间断断点点右右极极限限都都存存在在的的间间断断点点左左例例5 5.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy, 0)(lim-0 xfx1)(lim0 xfx(2)可去间断点可去间断点.为可去

13、间断点为可去间断点极限相等的间断点，称极限相等的间断点，称第一类间断点中，左右第一类间断点中，左右例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例6中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxx

14、f跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点. .特点特点.0处处的的左左、右右极极限限都都存存在在函函数数在在点点 xoxy112(3)第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例7 7.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy.1为为函函数数的的第第二二类类间间断断点点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间, 0)(lim-0 xfx )(lim0 xfx

15、例例8 8.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间例例9 9.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a1.函数在一

16、点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点: 左右极限都存在，左右极限都存在， 如：可去型如：可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点: 左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个不存在 如如 无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,

17、cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx1.6.3 初等函数的连续性初等函数的连续性定理定理.)(,)()()(0000处也连续处也连续在在则复合函数则复合函数处连续处连续在相应的在相应的函数函数处连续处连续在在若函数若函数xxxgfyxguufy，xxxgu )()(lim)()(;)()(lim)(000000000ufuf，xguufyu，uxx，xgxg，xxxguuuxx 得到得到处连续处连续在在又由又由时时也可记作也可记作得到得到处连续处连续在在由由)()()(lim)(lim0000 xgfufufxgfuuxx 。xxxgfy处也连续处也连续在在故故0)( 例

18、例1010.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解)(lim)()(lim2000 xgfxgfxgf，xxxx 可知可知由定理由定理。，可以变换可以变换极限与复合步骤的顺序极限与复合步骤的顺序这表明这表明一切初等函数在其有定义的区间上都是连续的一切初等函数在其有定义的区间上都是连续的. .)()()(lim000定定义义区区间间 xxfxfxx例例1111.1coslim0 xxe求求11cos0 e原原式式例例1212.13lim423 xxx求求解解解解01)3(3)3(lim13lim423423 xxxx闭区间上连续函数一定有最大值、最小值闭区间上连续函数一定有最大值、最小值.)()(,11xffba )()(,22xffba ab1 2 上上连连续续，如如图图：在在区区间间函函数数,)(baxf1.6.4 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定理定理3(3(最值定理最值定理) )定理定理4(4(介值定理介值定理) ).)(),()()()()(,)(Ccf，bacC，b、faf，bfaf，baxf 使使之间的任意数之间的任意数则对于则对于且且上连续上连续在闭区间在闭区间若函数若函数该定