建模竞赛终极版

1、10号队A题：降落伞在下落过程中安全性问题摘要研究降落伞在下降过程中安全性问题，在降落伞的质量可以保障的前提下，我们主要以人着陆时的速度为指标来评价，当着陆速度小于8m/s时，我们便可认为人员安全着陆。该问题可转化为降落伞下落高度h，下落速度v，与下落时间t之间的关系。并且h,v可以看做连续变化的，从而可用反应连续变量特点的微分方程予以描述。所以可把该实际问题转化为微积分方法的数学模型，根据牛顿第二定律列出微分方程，通过积分（运用Matlab 数学软件）得到相应的运动方程。假设1.开始便打开降落伞，建立模型一，经分析论证此模型确实可以使人安全着陆，但当下落高度较大时，人在空中滞留时间太长，与实

2、际情况不太吻合。进而提出假设2，当下落高度较大时，可以采取下落一定高度后再打开降落伞，以减少下落时间，建立模型二。经分析论证，该模型既可满足人员安全着陆条件，人员在空中滞留时间也不会太长，与实际情况相符。由于降落伞绳索承受拉力是一定的，为保障人身安全，人伞系统下降过程中不能超过绳索的极限拉力，防止绳子断开。考虑到这个问题，建立模型三，此模型约束了降落伞的承重极限和人伞下降的最大速度，从而弥补了模型一二的的缺陷，更加接近实际。上述模型可根据实际进一步改进，比如空气阻力与空气的稀薄程度有关，而海拔高度h会影响空气的稀薄程度，可以认为 k=k (h)，此时就考虑到了下落高度与空气阻力的关系，更加接近

3、实际问题。关键词：微积分方法 空气阻力 安全着陆速度 极限拉力一、问题的提出降落伞是利用空气阻力，依靠相对于空气运动充气展开的可展式气动力减速器，是人或物从空中安全降落到地面的一种航空工具，在航空航天、军事、抢险救灾等方面有着广泛的用途。降落伞性能好坏直接关系飞行员、设备物资的安全性，所以研究降落伞性能显得很有必要。结合实际我们考虑到，飞行员在空中滞留时间不宜过长，否则会对后续工作有影响；同时考虑使飞行员安全着陆，则要求落地速度在安全范围之内。那么，何时张伞比较适宜呢？二、问题分析我们现在分析降落伞下降的过程，将人和伞看做一个整体，很容易想到降落速度是时间的函数。在降落过程中，人伞主要受重力和

4、空气阻力的作用以及气流运动的影响，空气阻力与降落速度存在一定联系，这里认为空气阻力与降落速度成正比（在空气中运动的物体，受到空气的阻力，在空气中如果速度低于2.5 M（马赫），基本上认为其阻力f与阻力系数k，伞的面积S，速度v成正比 （f=ksv）,这时k一般可取为2.937。当其在空气中如果速度高于2.5 M（马赫），由于空气的摩擦， 开始出现气动加热现象。其空气阻力可视为f=(1/2)CSV2 ）。气流运动使降落伞产生水平位移，而我们主要关心降落速度的垂直分量的变化情况，所以忽略水平分量。对此模型我们只要保证：1.着地时的速度小于安全着陆速度。2.弹性绳的拉力不超出其最大限定值，并且降落时

5、间合理。满足上述两个条件即可使人伞系统安全着地。根据牛顿第二定律，在竖直方向列有关速度或降落高度的微分方程,并得出运动方程。而实际生活中有高空跳伞和低空跳伞，低空跳伞出仓后就立即打开伞，高空跳伞要确定不同高度的张伞速度，速度大小会影响绳的拉力。下面对不同情况建立数学模型。三、模型建立与解答模型假设1.人伞降落过程中只受重力和空气阻力作用，忽略气流流动的影响，只考虑在竖直方向上的运动。2.降落伞打开时，空气阻力与降落速度v成正比，与降落伞面积s成正比，即f=ksv成立，且k是与时间、空气稀薄程度无关的常数；降落伞未打开时，人在下降过程中，空气对人的阻力很小，忽略不计，近似为自由落体运动。3.降落

6、伞张开后面积不变。4.不计张伞所用时间。5.降落伞的质量忽略不计。6.降落伞始终保持轴对称形状，人体的重心和伞的形心保持在同一条竖直直线上。7.重力加速度不随高度变化，为一定值，取做9.8 m/。8.人伞在下降过程中，降落速度为连续变化的函数，并且降落伞绳不考虑突变。9.人伞系统安全着陆时的着陆速度小于（经查阅资料获得）。符号说明：飞行员的质量（题中指出忽略降落伞的质量）：重力加速度:人伞系统下落时的加速度：对降落伞的空气阻力：绳的拉力：绳与竖直方向夹角：飞行员出仓后降落的高度：从出仓到张伞时飞行员下落的高度：从张伞到落地下落的高度：飞行员降落速度：张伞时飞行员的速度：飞行员着陆速度：降落时间

7、：自由落体运动阶段降落的时间：张伞后降落所用时间：降落伞的面积：阻力系数（约为2.937）模型一：飞行员出仓后立即打开降落伞根据牛顿第二定律，可得又以及微分关系，得解得 取定参数：m=70kg,g=9.8m/,s=30,k=2.937绘制h-t图像如图1图1观察图像，我们发现，人出仓后立即打开伞，经过很短的时间加速到某一速度后，人伞基本上做匀速直线运动。结合运动方程 变形得分析，由图像可知，在给定参数下，当t不断增大时（即使不是无穷大）接近于零，h变成了t的一次函数， ，其斜率即为匀速直线运动时的速度，人伞也将以此速度着陆。在给定参数的前提下，落地速度为1.当参数改变时，由（其中g,k为常量）

8、，可得：若伞面积s一定，人的质量m增大时,落地速度v增大，相同高度下下降时间t减小，反之v减小，t增大。若m一定，s增大时，v减小，时间t增大，反之v增大，t减小。所以，我们考虑的整体影响。2.查阅资料知：当人以8的速度着陆时，可保障人身安全，即8重60kg的人，伞的面积为25即可安全着落重70kg的人，伞的面积为30即可安全着陆3.由h-t关系式，在最初给定参数下，我们列出下落高度h与所需时间表格如下h(m)1002003006008001000230030005000t(s)11.622.4336587108246322536从表格的数据中可以看出，降落高度为几百米时的降落时间较为合理，当

9、降落高度较高或过高时，降落时间过长，在实际生活中会延误后续的工作。所以，此模型适宜低空跳伞，当跳伞高度很高时，需重新考虑，由此建立模型二。模型二：飞行员下落某一高度时再打开降落伞降落伞未打开过程（打开时的速度为）人做自由落体运动，降落高度为降落伞打开后的过程根据牛顿第二定律即微分方程，得解得取定参数：m=70kg,g=9.8m/,k=2.937,s=30，取=350m/s绘制图像如图2图2由图形可以看出，伞打开后，在几秒之内减小到某一较小速度，之后以此速度匀速下降。经分析此速度为，与无关。所以跳伞者在打开伞后需减速到以后着陆，才能保障安全。此时，需讨论何时打开降落伞，即张伞高度。根据关系式，张

10、开伞后时间段内下落高度，可积分得 得飞行员降落的总高度为得 又 得运动方程当时间超过20秒后 非常接近零 因此对 近似计算 经图像分析，即使=350 ，经过20后也完全可以保证人以<8 安全着陆，所以我们有理由相信只要人张开伞后有20的空中滞留时间，就可以安全着陆。将代入得到 空降总高度=+ 得=+ 得给定的一个空降高度，我们就可以合理的给出一个张开伞的速度，由即可求得从开始到打开伞所用的时间。对系统运动情况进行分析：给定参数，人的质量为70kg,伞的面积为30，k=2.937, g=9.8m/ 由=+ 得的关系图像如图3图3数据分析：当下落高度为2300米时，由图像可算得当速度达到20

11、0m/s时，张开伞比较合适。自由落体所用时间=20.4s，即人降落2000米后打开伞,张开伞到落地时间=20s,空降所用的总时间为40.4s,并且着陆速度<8m/s,也可以保障人员安全着陆。模型一中空降2300米所用的时间为246s,与之相比模型二在保障人员安全着陆的同时大大较减少了空中滞留时间，从而解决了高空降落的问题。如果过度的减少空降时间，则人张伞时的速度就会随之增大，这样可能会引起绳子断裂，从而提出模型三。模型三：考虑绳的拉力因素对于模型一，绳的最大拉力出现在近似匀速运动阶段，对人分析得：，所以只要满足绳的最大拉力大于即可保证绳子不会断裂。对于模型二，对降落伞（不计降落伞重力，即

12、重力为零，=0）受力分析,由牛顿第二定律可又，得的最大值在张伞时刻，而绳的最大拉也出现在此处，由于可能很大，所以对绳的要求更高。为保证绳的安全性，需控制最大速度，应使。对给定的降落伞，通过上式可得出张伞时的最大速度，当实际张伞速度小于此速度，即可保证绳的安全性四、模型结果分析综合考虑安全性问题和实际情况，我们得出以下结论：对模型一：低空跳伞，为使飞行员安全着陆，落地速度需达到8m/s或者更小，要求m与s的比值小于2.40，绳的最大拉力大于。对模型二：高空跳伞时，当张开伞后需要一定的张伞降落高度，才能保证落地之前就接近匀速运动阶段，此时的速度近似为，并且8m/s,不会威胁人身安全。降落过程为保证

13、绳不断裂，张伞速度应满足五、模型不足及改进方向1在实际问题中，空气的阻力系数与空气的稀薄程度有关，空气的稀薄程度又和海拔高度有一定关系，可以认为。此时可以考虑降落速度与海拔高度之间的关系。假设降落伞在时张开伞，此时相应的速度为，由于则由牛顿第二定律有，两式连立可得此时k与h可根据具体情况分析得到它们的关系，带入上式即可得到h与v的关系。2上述模型中，忽略了伞张开的过程，即张伞所用的时间。而现实生活中，张伞需要一定的时间，在此段时间内降落伞会下降一段高度。3在现实问题中，人伞在下降过程中，不仅有竖直方向的影响，还有水平方向的影响，例如：风。风在水平方向会使人获得一个速度，人在着陆时的速度不仅是竖

14、直方向的速度，而是竖直与水平方向的合速度。因此在实际生活中，人在竖直方向的着陆速度应该小于根据上述模型计算得到的速度。4上述模型中考虑的降落伞绳子拉力是连续变化的，而在实际生活中当人打开绳子的瞬间绳子的拉力会瞬间增大，而后减小。因此应考虑绳子因为冲量获得的瞬间拉力。此时应根据动量定理和微积分方法计算出绳子的最大拉力。因此，实际问题中的降落伞的绳子承重极限应该比上述模型计算得到的大。六、相关计算机程序方程解答程序：速度程序>>v=dsolve('Dv+k*s*v/m-g=0','v(0)=a','t')v =g/k/s*m+exp(-k

15、*s/m*t)*(-g*m+a*k*s)/k/s高度程序>>h=dsolve('D2h+k*s/m*Dh-g=0','h(0)=0,Dh(0)=0','t')h=g/k/s*m*t-g*m2/k2/s2+g*m2/k2/s2*exp(-k*s/m*t)绘图程序：图1h=dsolve('D2h+2.937*30/70*Dh-9.8=0','h(0)=0,Dh(0)=0','t')h =68600/8811*t-480200000/77633721+480200000/77633721*ex

16、p(-8811/7000*t)>>t=0:0.01:60;>>h=68600/8811*t-480200000/77633721+480200000/77633721*exp(-8811/7000*t);>>plot(t,h)图2>>v=dsolve('Dv+2.937*v*30/70-9.8=0','v(0)=350','t') v =68600/8811+3015250/8811*exp(-8811/7000*t)>>t=0:0.01:20;>>v=68600/8811+3015250/88