向量的不合常理性质的研究

1、 向 量 的 不 合 常 理 性 质 的 研 究 何新江向量以其既能体现“形”的直观的位置特征，又具有“数”的良好的运算性质，为广大师生所喜欢。但向量又不同于数量，也不同于线段，它是多方的综合体。对于初学者来讲，向量的难度就在于它存在着多条与我们已经接受和应用了十几年的数量的运算及几何变换格格不入的法则，存在着一些不合学生以往逻辑的性质；对于使用向量时出现的各种错误也往往出现在这几条与我们固有的、想当然的不相一致的性质、定理上，不妨把这些性质、定理称为“不合常理的性质”。本文根据笔者的日常教学工作，结合学生的学习情况，对向量的“不合常理”的性质罗列研究，敬请同仁斧正。 不合常理1 向量不是有向

2、线段，却用有向线段表示。 根据向量的定义，向量是既有大小又有方向的量，它可以用有向线段来表示，但有向线段又不等同于向量，有向线段有起点、大小、方向三要素，而向量只有大小和方向，与起点 无关。一个向量可用多条有向线段表示，自由向量的可移动性决定了多条不同起点的有向线 段表示的可能是同一个向量，从而有向线段与向量就如同“形”与“神”的关系，不管“形” 的位置如何变动，但“神”始终不变，使得利用向量在解题过程中可以有众多的选择机会，在利用某个向量进行证明及运算时，可使用它的多个不同“外壳”，以达到解题目的，当然就更需要学生有较强的转化思想和化归能力。 向量与有向线段的区别还体现在平行（共线）的关系上

3、，有向线段有平行和共线之分，这符合学生的平面几何中对直线的理解，但向量共线即平行，平行即共线，使“三点共线”成为证明三点共线的好方法，也使“是平行四边形=”是一个错误的结论。 常见错误：（1），（错误应用平行直线的传递性）； （2）按平移得新向量（对向量的自由理解不深）。 不合常理2 向量有大小，却不可比较大小。 向量是一个有大小的量，它可用数来表示它的大小（模），但它却不可以比较大小，不存在诸如或。同时向量又在一个特殊的时候可以比较大小，既同向又模相等的情况下，存在，这真是有点矛盾，不合常理啊。 不合常理3 零向量方向任意，却可平行不可垂直。 零向量是一个特殊的向量，它的模是0，但它却不同于

4、0，而是，不仅在书写上有区别，在性质上更有区别。有方向，它的方向是任意的，因此可以作任何向量平行，却不可以与任何向量垂直，因此是错误的，必须加上都是非零向量。前述常见错误1，也是对零向量认识不清的一种错误体现，有关与0的常见判断题如：（）；若，则或（）；若，则且（）；等等，都是考查师生对与0的辨别能力。 不合常理4 向量运算满足交换律，分配律，却不满足结合律、消去律。 向量运算满足，却不满足；，它满足完全平方公式、平方差公式，却又不同于简单的完全平方公式。虽然，但却是正确的。 错误分析： 例1 已知为非零向量，为实数，设，当取最小值时，求证：。 错解：由， 又=， 又由，得当时，取到最小值。

5、所以。 于是得。 这是学生较多出现的解法，一般学生都认为自己的证明简捷明了，而且水到渠成，无懈可击，而实际上是漏洞百出，不堪一击，其错误主要在于中利用了消去律，把和混为一谈，在中忽略了，不能得出。 不合常理5 向量有坐标，但坐标却与向量无关。 向量有坐标，可以进行坐标运算，使向量具有了数的运算的简捷性，这也是之所以大部分同学爱用向量解题的重要原因之一，但向量，却不一定说明向量经过了点，只是说明了向量的终点坐标减去起点坐标为，若要使向量的终点是，则必须的起点为，如上文常见错误2就是对向量与坐标的关系认识不清，而所谓自由向量的可移动性，这使得向量要过原点有点可遇而不可求，这就增添了已知条件作图的难

6、度，当然我们可以不顾一切把向量的起点都放在原点。 不合常理6 ，但。 ，因为之间的夹角为0，但任意的两个向量和的夹角却不一定为0，因此，但却时常转化为，再转化为，从而利用向量的数量积进行运算。 常见错误：。 正确判断：；。 不合常理7 书上写a、b、c,我却不可写a、b、c。 向量的使用书写过程中，学生最容易忘记的是向量字母上的“”，特别是利用单个小写英文字母的时候，如a,b,c,l,j,k,因为书本或试卷中采用的是黑体，所以往往不加，但学生书写时必须写成这种形式，虽然这只是书写的细节问题，但如果不加注意就会出现类似于a·b=ab这种形式，从而把向量的数量积与数的乘积混淆起来。 不合

7、常理8 ，但却表示不出来。 向量的加减法满足平行四边形法则，但在具体的想象中，显然，但却不能得到直接的答案，只有通过具体的题目才能得到正确的结果。虽然向量的加和减所得的结果恰好是利用平行四边形法则得到的平行四边形的两条对角线，所得结果为O指向另一端点，能够直接确定，但的向量从哪到哪却是不少同学经常搞错的问题之一，不少同学就认为。 不合常理9 ，不等介于。 向量不等介于，是因为若为零向量，为非零向量，则不存在这样的实数，但，虽然最初的证明是从不为零向量开始的，但最终经过验证却对为零向量也成立；虽然来源于，但却不能推出。 不合常理10 直线的方向向量的夹角，却不一定是直线的夹角。 对于两条直线求夹

8、角的问题，可以转化为求两条直线所在的方向向量的夹角，但两条直线方向向量的夹角却不一定是两条直线的夹角，可能是直线夹角的补角，因为两条直线的夹角的取值范围是，而两向量的夹角的取值范围是，特别是在三角形中，遇到如“在中，”这个条件时，要牢记这三个向量中每两个向量的夹角是三角形的外角而不是内角。ABCDA1B1C1D1MN例2 如图，已知正方体的棱长为2，M、N分别为、的中点，求CM和所成角的余弦值。解：建立以D为坐标原点、DA为轴，DC为轴，为轴的直角坐标系。由正方体的棱长为2，得，。所以。又两条直线的夹角取值范围是，其余弦值为非负数。于是，CM和所成角的余弦值为。 对于以上罗列的十条“不合常理”的