第一章整式的乘除

1、第一章 整式的乘除1. 1 同底数幂的乘法专题一 与同底数幂有关的探究题1我们约定a&b=10a10b，如2&3=102103=105，那么4&8为（）A32 B1032 C1012 D12102已知10a=3，10b=5，10c=7，试把105写成底数是10的幂的形式_3小丽给小明出了一道计算题：若(-3)x(-3)2(-3)3=(-3)7，求x的值，小明的答案是-2，小亮的答案是2，你认为_的答案正确（请填“小明”或“小亮”），并说明理由.4我们规定：a*b=10a10b，例如：3*4=103104=107（1）试求12*3和2*5的值；（2）想一想（a*b）*c与a*（b*c）相等吗？如

2、果相等，请验证你的结论5阅读理解并解答：为了求1+2+22+23+24+22013的值，可令S=1+2+22+23+24+22013，则2S=2+22+23+24+22013+22014，因此2S-S=（2+22+23+22013+22014）-（1+2+22+23+22013）=22014-1所以S=22014-1即1+2+22+23+24+22013=22014-1请依照此法，求1+4+42+43+44+42013的值【知识要点】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.即aman=am+n(m，n都是正整数).am表示m个a相乘，an表示n个a相乘，aman表示m个a相乘与n

3、个a相乘，根据乘方的意义可得aman=am+n.【温馨提示】laman =am+n（m，n都是正整数），反之也成立例如：若am=2,an=8，则aman =am+n=28 =16.2当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即amanap=am+n+p（m，n，p都是正整数）例如：553 52=51+3+2=56【方法技巧】此法则中，相乘的幂必须底数相同，若不相同，需调整，化为同底数幂，才可应用法则答案：1C 【解析】4&8=104108=1012故选C210a+b+c 【解析】105=357，而3=10a，5=10b，7=10c，105=10a10b10c=10a+b+c.故应填10a

4、+b+c3解：小亮的答案是正确的理由：（-3）x（-3）2（-3）3=（-3）x+2+3=（-3）7，x+2+3=7，解得x=2故填小亮4解：（1）12*3=1012103=1015，2*5=102105=107；（2）相等（a*b）*c=（10a10b）*c=10a+b10c=10a+b+c，a*（b*c）=a*（10b10c）=10a+b+c （a*b）*c=a*（b*c）5解：为了求1+4+42+43+44+42013的值，可令S=1+4+42+43+44+42013，则4S=4+42+43+44+42014，所以4S-S=（4+42+43+44+42014）-（1+4+42+43+44

5、+42013）=42014-1，所以3S=42014-1，S=(42014-1)，即1+4+42+43+44+42013=(42014-1)1.2 幂的乘方与积的乘方专题一 与幂的乘方有关的探究题l已知1624326=22x-1，(102)y=1012，求2x+y的值2已知an=3，am=12，ap=6试问m,n,p之间的关系，并说明理由.3阅读下列解题过程，试比较2100与375的大小解：2100=（24）25=1625，375=（33）25=2725,而1627,2100375.请根据上述解答过程解答：若a=2555，b=3444，c=4333，d=5222，试比较a，b，c，d的大小（写

6、出过程）.专题二 与积的乘方有关的探究题4计算：（-4）20130.252013+（-0.125）201382014.5同学们，我们学习了“幂的乘方与积的乘方”这个知识点，知道（3b)2=9b2，请你用几何图形直观解释上述式子【知识要点】1幂的乘方是指几个相同的幂相乘.法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即(am)n=amn（m，n都是正整数）2积的乘方是指底数是乘积形式的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab)n=anbn（n是正整数）【温馨提示】1幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不

7、变例如：(a3)2=a6，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“a2”，指数相乘是指“32”2幂的乘方的指数中若有多项式，指数相乘时要带括号3同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆4式子(a+b)2不可以写成a2 +b2，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系5应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于系数是负数的要多加注意.【方法技巧】1幂的乘方：(am)np=amnp（m，n，p都是正整数）例如：（x2)34=x234=x24这一性质由乘方运算降为乘法运算（指数相乘）2注意逆用幂的乘方法则，例如：amn=(am)n=(an)m逆

8、用积的乘方法则有anbn=(ab)n，即指数相同的幂相乘，可将底数相乘，相同的指数作为共同的指数. 答案：1解：1624326=22x-1，（102）y=1012，282626=22x-1，102y=1012，2x-1=20，2y=12解得x=10.5，y=62x+y=210.5 +6=21+6=272解：m+n=2p,理由：312=62 ,aman=(ap)2,am+n=a2p,m+n=2p.3解:a=2555，b=3444，c=4333，d=5222，a=（25）111，b=（34）111，c=（43）111，d=（52）111，a=32111，b=81111，c=64111，d=2511

9、181643225，81111641113211125111，bcad4解:原式=（-40.25）2013+（-0.1258）20138=-1+（-1）8=-9.5解：S正方形ABCD=(3b)2，S正方形ABCD=9b2，（3b）2=9b21.3 同底数幂的除法专题一 与同底数幂除法相关的探究题1若xm=4，xn=8，求x3m-n的值2若3292a+127a+1=81，求a的值专题二 科学记数法有关的运算321世纪，纳米技术被广泛应用，纳米是长度计算单位，1纳米=10-9米VCD光碟的两面有用激光刻成的小凹坑，已知小凹坑的宽度只有0.4微米（1微米=10-6米），试将小凹坑的宽度用纳米作为计

10、算单位表示出来（结果用科学记数法表示）4若3x-2y+2=0,求8x4y的值.专题三 与0指数幂的相关问题5若（|x|-1)0=1,求x的值.6若（5-x)x-2=1,求x的值【知识要点】1同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减即aman=am-n（a0，m，n都是正整数，且mn)2零指数幂与负整数指数幂的意义在进行同底数幂除法运算中，特别地，还规定：（1）a0=l（a0），即任何一个非零数的零次幂都等于1；（2）（a0，p是正整数），即任何一个非零数的-p次幂(p为正整数),等于这个数的p次幂的倒数3用科学记数法表示绝对值较小的数一般地，一个小于l的正数可以表示为a10n，其中

11、1a10,n是负整数【温馨提示】1在运用公式aman=am-n时，特别要注意除数不等于零2同底数幂乘除法不同：乘指数加，除指数减.3用科学记数法表示数，把数写成a10n的形式，要注意两点：一是a的取值要符合要求；二是注意n值不能错【方法技巧】1在进行同底数幂的除法运算中，底数可以是一个不等于0的数，也可以是一个不等于0的式子，且法则的应用可正用，也可逆用.2用科学记数法把绝对值大于1和小于1的数x表示成x=al0n的形式时，n的取值规律：（1）当|x|1时，n是一个非负整数，n等于x的整数部分的位数减去1；（2）当|x|l时，n是一个负整数，|n|为x的第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数

12、点前面的那个零）.答案：1解:由题意，得x3m=64，故x3m-n=x3mxn=648=82. 解:原式可化为3232（2a+1）33（a+1）=34，即2+2(2a+1)-3(a+1)=4，解得a=33解:0.4微米1纳米=（410-7米）10-9米=410-7-（-9）=41024解:3x-2y+2=0，3x-2y=-2，原式=23x22y=23x-2y=2-2=0.255解:根据非零数的0次幂为1，得|x|-10，x1且x-16解:当5-x0,x-2=0,即x=2时，（5-x)x-2=1；当5-x=1即x=4时x-2=2，（5-x)x-2=1；当5-x=-1,即x=6时x-2=4,（5-

13、x)x-2=1x的取值为2或4或6. 1.4 整式的乘法专题一 与单项式乘单项式的相关计算1已知单项式9am+1bn+1与-2a2m-1b2n-1的积与5a3b6是同类项，求nm的值专题二 与单项式乘多项式的相关计算2一个长方体的长，宽，高分别是3x-4，2x和x，则它的表面积是_3某同学在计算一个多项式乘以-3x2时，因抄错运算符号，算成了加上-3x2，得到的结果是x2-4x+1，那么正确的计算结果是多少？专题三 与多项式乘多项式的相关计算4（1）计算：（x+1）（x+2）=_，（x-1）（x-2）=_，（x-1）（x+2）=_,（x+1）（x-2）=_（2）你发现（1）小题有何特征，会用公

14、式表示出来吗？（3）已知a，b，m均为整数，且（x+a）（x+b）=x2+mx+12，则m的可能取值有多少个?【知识要点】1单项式与单顶式相乘法则：单项式与单项武相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式2. 单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加3多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【温馨提示】1单项式乘单项式结果仍是单项式.2单项式与单项式相乘时，相同字母的幂相乘是同底数幂的乘法，底数不变，指数相加3根据分配律将单

15、项式分别乘多项式的各项，可归结为单项式的乘法4单项式乘多项式的每一项时，不能漏乘某些项；多项式中的每一项都包括其前面的符号，计算时应注意符号问题.5单项式与多项式相乘的结果是一个多项式，在没有合并同类项前，其项数与因式中的多项式的项数相同6要防止两个多项式相乘，直接写出结果时“漏项”检查的方法是两个多项式相乘，在没有合并同类项之前积的项数应该是这两个多项式项数的积7在计算时一定要注意确定积中各项的符号，多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号【方法技巧】1先利用乘法交换律和乘法结合律，再利用同底数幂的乘法法则可完成单项式乘法对于法则不要死记硬背，要注意以下几点：（1）积的系数等于各单项式的系

16、数的积，应先确定符号后计算绝对值（2）要注意只在一个单项式里含有的字母要连同它的指数写在积里，不能将这个因式丢掉（3）单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘也适用.2单项式与多项式相乘就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即：m（a+b+c）= ma+mb+mc，实际上就是根据乘法对加法的分配律进行计算，也就是将单项式与多项式相乘转化为若干组单项式与单项式的乘法运算3多项式乘多项式的法则是将原式转化为单项式乘多项式的法则求出，因此两个多项式相乘只要把其中一个多项式看作单项式即可如(a+b)(c+d)可以将(a+b)看成单项式，转化为单项式乘多项式法则去计算4对于形如（x+a）(x+

17、b)的积要注意它的特殊性，即(x+a)(x+b)=x2+bx+ax+ab=x2+(a+b)x+ab，这就是说，含有一个相同字母的两个一次二项式相乘，得到的积是同一个字母的二次三项式.答案：1解：9am+1bn+1（-2a2m-1b2n-1）=9（-2）am+1a2m-1bn+1b2n-1=-18a3mb3n，因为与5a3b6是同类项，所以3m=3，3n=6，解得m=1，n=2nm=21=2 2 22x2-24x 【解析】长方体的表面积=22x（3x-4）+（3x-4）x+2xx=2（6x2-8x+3x2-4x+2x2）=2（11x2-12x）=22x2-24x3解：这个多项式是（x2-4x+1

18、）-（-3x2）=4x2-4x+1,正确的计算结果是（4x2-4x+1）（-3x2）=-12x4+12x3-3x24解：（1）（x+1）（x+2）=x2+3x+2，（x-1）（x-2）=x2-3x+2，（x-1）（x+2）=x2+x-2，（x+1）（x-2）=x2-x-2；（2）可以发现题（1）中，左右两边式子符合（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq结构（3）因为12可以分解以下6组数，ab=112，26，34，（-1）（-12），（-2）（-6），（-3）（-4）， 所以m=a+b应有6个值 1.5 平方差公式专题一 与平方差公式有关的计算1用乘法公式计算：20132-201220

19、14=_；（2+1）（22+1）（24+1）（22n+1）=_；（x+y）（x2+y2）（x-y）（x4+y4）=_.专题二 与平方差公式有关的规律探究题2观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1；（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1. 你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+x2+x+1）=_； 根据求出1+2+22+262+263的结果.专题三 与平方差公式有关的图形问题3已知把正方形按不同的方式划分，计算其面积，便可得到不同的数学公式按图1所示划分，计算面积，便

20、得到一个公式：(x+y)2=x2+2xy+y2若按图2那样划分，大正方形则被划分成一个小正方形和两个梯形，通过计算图中的面积，请你完成下面的填空（1）图2中大正方形的面积为_；（2）图2中两个梯形的面积分别为_；（3）根据（1）和（2），你得到的一个数学公式为_专题四 平方差公式的逆用4如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”.（1）28和2012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k是非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的 倍数

21、吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？【知识要点】1平方差公式：(a+b)（a-b）=a2-b2用语言叙述为：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差2平方差公式的几何意义：左边：S阴=a2-b2；右边=(a+b)(a-b).上图可验证平方差公式：(a+b)（a-b）=a2-b2.【温馨提示】1这个公式是由多项式乘法直接计算得到的.2公式的特征：左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是乘式中两项的平方差，相同的项的平方减去符号相反的项的平方，只要符合这一特征，可运用公式进行计算.3平方差公式也可逆用，即a2-b2=（a+b）（a

22、-b）.（1）运用平方差公式计算时，一定要注意公式中相同的项为a，互为相反数的项为b，同时含有系数项的不要忘记给系数平方（2）进行计算时，用平方差公式计算出的结果一定要带上括号再与其他项进行加、减、乘、除等运算.【方法技巧】用公式时，找a与b的简便方法：(1)由于（a+b）（a-b）可看作（a+b）a+（-b），所以在这两个多项式中，a是相同的，而b与-b是互为相反数的，那么a2-b2就可看作是符号相同的项(a)的平方减去符号相反的顶（b与-b）的平方(2)运用平方差公式进行运算，是找出两个相乘的二项式中相同的项作为a，互为相反数的项作为b平方差公式常用的几种变形形式：(1)位置变化：(b+a

23、)(-b+a）=(a+b)(a-b）=a2 -b2；(2)符号变化：（-a-b）（a-b）=-（a+b）（a-b）=-(a2-b2)；(3)系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2；(4)指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4；(5)增项变化：（a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2；答案：1 1 24n-1 x8-y8 【解析】20132-20122014=20132-（2013-1）（2013+1）=20132-20132+1=1.（2+1）（22+1）（24+1）（22n+1）=（2-1）（2+1）（22+1）（22n+1）=（2

24、2-1）（22+1）（22n+1） =24n-1原式=（x+y）（x2+y2）（x-y）（x4+y4）=（x2-y2）（ x2+y2）（x4+y4）=（x4-y4）（x4+y4）=x8-y82解：（x-1）（xn-1+xn-2+xn-3+x2+x+1）=xn-1； 原式=（2-1）（263+262+22+2+1）=264-13（1）x2 （2）（x+y）（x-y），（x+y）（x-y）（3）x2-y2=（x+y）（x-y）【解析】（1）图中大正方形的面积为x2；（2）两个梯形的面积分别为（x+y）（x-y）；（3）x2-y2=2（x+y）（x-y），即x2-y2=（x+y）（x-y）4解：（1

25、）28=214=（8-6）（8+6）=82-62；2012=21006=(504-502) =(504+502)5042-5022，所以是神秘数（2）是，理由：（2k+2）2-（2k）2=（2k+2-2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），由2k+2和2k构造的神秘数是4的倍数（3）是，理由：设两个连续奇数为2k+1和2k-1，则（2k+1）2-（2k-1）2=8k=42k，两个连续奇数的平方差不是神秘数1.6 完全平方公式专题一 运用完全平方公式进行计算1计算：.专题二 与完全平方公式有关的规律探究题2观察下面各式规律：12+（12）2+22=（12+1）2；22+（23）2+32=（23

26、+1）2；32+（34）2+42=（34+1）2写出第n个式子，并证明你的结论专题三 与完全平方公式有关的图形问题3图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形 （1）图2中的阴影部分的面积为_；（2）观察图2，三个代数式（m+n)2，（m-n)2，mn之间的等量关系是_，若x+y=-6，xy=2.75，则x-y=_；(3）观察图2，你能得到怎样的代数恒等式呢?（4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2.专题四 利用完全平方公式通过配方变形解题4阅读下列材料并解答后面的问题：利用完全平方公

27、式（ab）2=a22ab+b2，通过配方可对a2+b2进行适当的变形，如a2+b2=（a+b）2-2ab或a2+b2=（a-b）2+2ab从而使某些问题得到解决例：已知a+b=5，ab=3，求a2+b2的值解：a2+b2=（a+b）2-2ab=52-23=19问题：（1）已知a+a-1=6，则a2+a-2 =_；（2）已知a-b=2，ab=3，求a4+b4的值【知识要点】4完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.语言叙述：两数和（或差）的平方等于它们的平方和，加上（或者减去）它们的积的2倍这两个公式叫做完全平方公式，它们也可以合写在一起，即（ab)2=

28、a22ab+b2.可简记为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”.【温馨提示】1公式的特征：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍2应用完全平方公式时，要先观察题目特点是否符合公式条件，若不符合，应先变形为符合公式的形式，再利用公式进行计算；若不能变为符合公式结构的形式，则应运用多项式乘法法则进行计算3公式中的字母可以是单项式，也可以是多项式，只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式【方法技巧】1在进行两数和或两数差的平方时，应注意将两数分别平方，避免出现(2-3x)2 =4-12x+3x2的错误2在

29、应用完全平方公式的过程中，常有以下几种变形形式：（1）a2+b2=(a+b)2-2ab;（2）a2+b2=(a-b)2+2ab；（3）2ab=(a+b)2-(a2+b2);（4）2ab=(a2+b2)-(a-b)2；（5）(a+b)2=(a-b)2+4ab:（6）(a+b)2-(a-b)2=4ab.我们可以根据这些变形公式来解决相应的问题答案：1解：设20142013=x，则原式=.2解：第n个式子：n2+n（n+1）2+（n+1）2=n（n+1）+12，证明：因为左边=n2+n（n+1）2+（n+1）2=n2+（n2+n）2+（n+1）2=（n2+n）2+2n2+2n+1=（n2+n）2+2

30、（n2+n）+1=（n2+n+1）2，而右边=（n2+n+1）2，所以左边=右边，等式成立3解：（1）（m-n）2（2）（m-n）2+4mn=（m+n）25（3）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；（4）答案不唯一： 例如：4解：（1）(a+a-1 )2=a2+2+a-2 ，a2+ a-2 =(a+a-1 )2-2=34；（2）a-b=2，ab=3，a2+b2=（a-b）2+2ab=4+23=10，a2b2=9，a4+b4=（a2+b2）2-2a2b2=100-29=821. 7 整式的除法专题一 与单项式除以单项式相关的运算1计算：（1）(-3m2x2y3)2(-2mxy2)3；（2）(2x+y)4（-2x-y）2（2x+y）.专题二 与整式除法相关的规律探究题2观察下列单项式：x，-2x2，4x3，-8x4，16x5，（1）计算这里任意一个单项式与它前面相连的单项式的商是多少？据此规律请你写出第n个单项式；（2）根据你发现的规律写出第10个单项式3观察下列各式：（x2-1）（x-1）=x+1；（x3-1）（x-1）=x2+x+1；（x4-1）（x-1）=x3+x2+x+1；（x5-1）（x-1）=x4+x3+x2+x+1； （1）写出（x6-1）（x-1）的结果；（2）将x6-1表示成两个多项式乘积的形式专题三 与乘除互逆运算相关的问题4已知一个多项式与单项式-