八年级数学一元二次方程

1、 中考网 第2章一元二次方程目录2.1 一元二次方程（1）22.1一元二次方程（2）42.2一元二次方程的解法（1）62.2一元二次方程和解法（2）82.2一元二次方程的解法（3）102.3一元二次方程的应用（2）142.1 一元二次方程（1）教学目标1、经历一元二次方程概念的发生过程。2、理解一元二次方程的概念。3、了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项。教学重点与难点教学重点：一元二次方程的概念，包括一般形式。教学难点：例1第4题计算容易产生差错，是本节教学的难点。教学过程一、 合作学习1、 列出下列问题中关于未知数x的方程正方形的面积为80，边长为

2、x，则可列出方程 。某村的粮食年产量，在两年内从60万千克增长到72万千克，问平均每年增长的百分率是多少？设年平均增长率为x，则可列出方程 。二、 引入新课观察方程x2=80 和两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程，能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）练一练：1、判断下列方程是否为一元二次方程： 2（3x+2）=x2 +x+3=0 2、判断未知数的值、是否是方程的根。一般地，任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为的形式，我们把形如（、为常数，）称为一元二次方程的一般形式，其中、分别称为二次项、一次项和常数项。、

3、分别称为二次项系数和一次项系数。思考：为什么，、可以为零吗？三、范例讲解：例1：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。 解： 移项，整理，得这个二次项系数为，一次项系数为，常数项为。 移项，整理，得 这个二次项系数为，一次项系数为，常数项为。 移项，整理，得 这个二次项系数为，一次项系数为，常数项为。 移项，整理，得 这个二次项系数为，一次项系数为，常数项为。我们在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的系数从高到低排列，先写二次项，再写一次项，最后是常数项。四、练习巩固：1、方程 中是一元二次方程的为 （填序号）。2、关于的一元二次方程的一个解是，

4、则 3、判断下列各方程后面的两个数是不是它的解。 （ ） （ ） (3 , 1) （ ） () （ ）五、小结：1、 记住一元二次方程的一般形式，并会判断方程是否为一元二次方程；2、 化成一元二次方程的一般形式后，能说出二次项系数，一次项系数和常数项；3、 能判断的值是不是方程的解。 作业：见作业本2.1一元二次方程（2）【教学目标】1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.2.会用因式分解法解一元二次方程.【教学重点与难点】教学重点：用因式分解法解一元二次方程.教学难点：例3方程中含有无理系数，需将常数项2看成，才能分解因式，是本节教学的难点.【教学过程】一. 复习引入1、将下列各式分解因

5、式：教师指出：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.2、你能利用因式分解解下列方程吗？请中等程度的学生上来板演，其余学生写在练习本上，教师巡视.之后教师指出：像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。（板书课题）二. 新课学习1、 归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：教师首先指出：当方程的一边为0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤：（板书） 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； 将方程的左边分解因式； 根据若M·N=0，则M=0或N=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。2、讲解例2.（1）解

6、下列一元二次方程：教师在讲解中不仅要突出整体的思想：把x-2及3x-4和4x-3看成整体，还要突出化归的思想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演，示范表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要用“或”，而不能用且。（2）想一想：将第（1），（2），（3）题的解分别代人原方程的左、右两边，等式成立吗？ （3）归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型：先变形成一般形式，再因式分解：移项后直接因式分解.在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式，然后再考虑化简后能否分解因式。2、 讲解例3.解方程在本例中出现无理系数，要注意引导学生将将常数项2看成，另外对

7、于方程中出现两个相等的根，教师要做好板书示范。3、补充例4 若一个数的平方等于这个数本身，你能求出这个数吗？首先让学生设出未知数，列出方程（），再让学生求解.根据学生的求解情况强调：对于此类方程不能两边同时约去x，因为这里的x可以是0。三、巩固练习：课本第32页课内练习。四、体会和分享能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？先由学生自由发言，教师再投影演示：1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为零；（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每一个因式为零，得到

8、两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.3. 用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0.4、用分解因式法解一元二次方程的注意点：1.必须将方程的右边化为零；2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.5、数学思想：整体思想和化归思想.五.课后作业1.书本作业题2.作业本【板书设计】屏幕2.1一元二次方程（二）因式分解法解一元二次方程1. 用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为零；（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，

9、它们的解就是原方程的解. 2. 数学思想：整体思想和化归思想.2.2一元二次方程的解法（1）【教学目标】1. 理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义.2. 会用开平方法解一元二次方程.3. 理解配方法.4. 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.【教学重点与难点】教学重点：开平方法.教学难点：配方法有一个比较复杂的过程，无论从理解和运用上，对学生来说都有一定的难度.【教学手段】用多媒体powerpoint和黑板的形式。【教学过程】 (一)引入新课问题1： 在修建甬(宁波)金(金华)高速公路时，遇到高山，需要开掘隧道，为了预计这座山隧道的长度，工程人员测量了山的高度约AB=3千米，坡

10、面的长度约AC=5千米。请你估算开掘这座山的隧道约有多少千米？从甬金高速公路入手引出 型的一元二次方程，体现方程与几何图形性质的应用，对一元二次方程概念的理解、方程根的检验等起着复习巩固的作用。 （二）由问题1可得 即 再利用因式分解法得出方程的根。 如果把 变形为 ，进而可以理解为x是16的平方根，引出求这种方程的根可以用两边直接开方的方法进行，再得出开平方法的概念。 通过让学生观察体会得出开平方法的两个特征：1、它适合于什么样的方程？(左边是一个关于x的完全平方，右边为一个非负常数即 )。2：用什么样的方法来解？(方程的两边直接开平方的方法)然后通过一系列、连续的例题来巩固用开平方法解一元

11、二次方程，既突出本节课的重点，又比较自然的过渡到用配方法解一元二次方程。例1、(1 ) (2) (3) (4)通过第4个例题的讲解学生已经了解到，如果左边不是一个直接的完全平方，那么通过观察、变形，把它配成完全平方，就可以用开平方法来解一元二次方程。（三）、问题2：把方程变形：左边是一个含有x的式子的完全平方，而右边是一个非负数。1：先移项：含有未知数的项移到左边，含有常数的项移到右边。2：方程两边同加上一个合适的数。3：左边是一个完全平方，右边是一个非负常数。4：最后用开平方法来解即可引出配方法的概念。像这样，把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这

12、种解一元二次方程的方法叫做配方法。然后让学生回答：用配方法解一元二次方程关键在哪里？(就是如何在方程左、右两边同加上一个合适的数使左边配成一个完全平方。)为了弄清楚在方程的左右两边究竟应加上一个什么样的合适的数，可以通过专门的3个练习来得出。即突破本节课的难点。(1)(2)(3)最后让学生得出结论：1：加上一次项系数一半的平方；2：前提条件：二次项系数为1例2、 (1) (2)再次总结：形如（二次项系数为1时），可以用配方法来解一元二次方程。具体的步骤有：第一：移项。第二：等式两边同加上一次项系数一半的平方。第三：再用开平方法来解方程。（四）提出挑战题：当二次项系数不是1时，怎么办？为下节课的

13、教学打下了基础。例3、一、 课堂小结让学生回答1：用开平方法、配方法解一元二次方程的概念。2：用这两种方法解方程时，方程的特点。3：用这两种方法解方程时的步骤。4：让学生回答在解方程过程中应注意的事项。六、布置作业。2.2一元二次方程和解法（2）【教学目标】1. 巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤.2. 会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程.【教学重点与难点】教学重点：用配方法解二次项的系数的绝对值不是1的一元二次方程.教学难点：当二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程.【教学过程】一.复习旧知用适当的方法解下列方程： 1、（x-2）2=3 2、 x2+3x+1=0

14、请学生上来板演，老师点评归纳。二.新课讲授1.出示引例：用配方法解方程5x2=10x+1提出问题：当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时，怎样用配方法来解？经学生讨论后，指定一名学生（中等程度）回答。教师总结：对于二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程，只要将方程的两边都除以二次项系数，就转化为我们已经能解决的问题。即用配方法解二次项系数是1的一元二次方程。2.讲解例题例3：用配方法解下列一元二次方程（1）2x2+4x-3=0(2) 3x2-8x-3=0评注（1）本例讲解可由上一课时的复习来引入，先给出方程x2+2x-1=0,让学生解答，并板书过程，同时解答方程3x2+6x-3=0,让学生

15、作比较，学生容易发现，两个方程同解。再把6x改成4x,并提出问题：方程3x2+4x-3=0又应该如何解？从而把问题化归。（2）本例中两个小题的解法是相通的，在讲解时，需要让学生明确配上去的值到底应该是多少，即解决的一半是多少这一问题，常用的解决方法是把该数乘以。教师总结：1：用配方法解系数为1的一元二次方程x2+px+q=0时，一般步骤为：（1）x2+px=-q(移）；（2）x2+px+() 2=-q+() 2(配)；（3）（x+）2= (化）；（4）解得x=- (解)2、当二次项系数不为1时，则在 “移”之前先要有个“除”，即两边同除以二次项系数，使二次项系数为1.练习：用配方法解下列方程1

16、.2x2-7x+5=02.-3n=13.x2-x-=0练习：一个长方形牧场的面积为8100平方米，长比宽多19米。这个牧场的周长是多少米？ 三：小结1. 本课时的重点用配方法解答各种一元二次方程。2. 本课时的难点是对二次项系数的处理。四：布置作业课本”“作业本”及习题精选中对应的练习。2.2一元二次方程的解法（3）【教学目标】知识教学点：理解一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程能力训练点：1通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性2培养学生快速而准确的计算能力.德育渗透点：1通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识2让学生体验到所有一元二次方程都

17、能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感【教学重点与难点】教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程.教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解.【教学过程】（一）复习引入1用配方法解下列方程（1）x27x110，（2）9x212x14（通过两题练习，使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤，为本节课求根公式的推导做第一次铺垫）2用配方法解关于x的方程 x22pxq0解：移项，得x22px-q配方，得x22pxp2-qp2即（x+p）2p2-q （教师板书，学生回答，此题为求根公式的推导做第二次铺垫）3用配方法推导出一元二次方

18、程ax2bxc0（a0）的根解：因为a0，所以方程的两边同除以a， a0， 4a20 当b24ac0时从上面的结论可以发现：（1）一元二次方程a2+bx+c0（a0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b24ac0的前提下，把a、b、c的值代入上式中，可求得方程的两个根的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法（二）师生互动，应用新知 互动1 师：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式中，要求b2-4ac0，那么b2-4ac<0时会怎样呢？ 生：当b2-4ac<0时，没有意义，此时一元二次方程ax2+

19、bx+c=0（a0）无实数解明确: b2-4ac0是公式的一个重要组成部分，是求根公式成立的前提条件，这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件当b2-4ac<0时，此方程无解，也是判断一元二次方程无解的一个前提条件 互动2.例1 用公式法解一元二次方程：x23x20 解：  a1，b-3，c2又  b24ac（-3）24×1×210，  x1=2，x2=1在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”不要边代边算引导学生总结步骤 1确定a、b、c的值2算出b2-4ac的值3代入求根公式求出方程的根 例2不是一般形式，所以在

20、利用公式法之前应先化成一般形式，另外注意例2中的b24ac0，方程有两个相同的实数根，应写成x1例3用公式法解一元二次方程：（1）X（x-1）=（X-2）2； （2） x2+x10其中第一题要先化简成一般形式,如系数是分数或小数,可以直接代公式,也可以先把系数化成整系数后再代公式,视实际清况而定.第二题b24ac0,方程无实数根.明确：运用公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）求出b2-4ac的值；（3）若b2-4ac0，把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b2-4ac<0，此时方程无解练习：P35课内练习1

21、。熟悉公式法的步骤，训练快速准确的计算能力 互动3 请同学们根据学习体会、小结一下解一元二次方程的几种方法，通常你是如何选择的？请同学们交流，教师鼓励发言明确: 解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法（1）当方程形如（x-a）2=b（b0）时，可用直接开平方法；（2）当方程左边可以直接简单因式分解时，可选用因式分解法；（3）配方法是一种重要的解法，尤其要熟悉配方法的整个过程，但解一般方程不选用这种解法；（4）公式法是一元二次方程最重要的、最常用的解法，任何一元二次方程都可以选用这种解法，我们有时也称它为万能公式练习：P35课内练习2。合理选择解法 (三)

22、达标反馈,深化新知 （1）用公式法解方程4x2+12x+3=0，得到 （A） Ax= Bx= Cx= Dx= （2）关于x的一元二次方程x2-2x+2+K=0有两个实数根，则k的取值范围是 （3）不解方程，你能说出下列方程解的个数吗：x2-2x-2=0 4x2-4x+1=0 2x2-x+2=0， （四）总结及布置作业引导学生从以下几个方面总结：0）（2）利用公式法求一元二次方程的解的步骤：化方程为一般式确定a、b、c的值算出b24ac的值代入求根公式求根公式法与配方法都是通法，前者较之后者简单2.求根公式是指在b24ac0对方程的解，如果b2-4ac0时，则在实数范围内无实数解渗透一种分类的思

23、想2.3一元二次方程的应用（2）【教学目标】1. 继续探索一元二次方程的实际应用，进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值2. 进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能.【教学重点与难点】教学重点：本节教学的重点是继续探索一元二次方程的应用.教学难点：合作学习的问题教为复杂，计算量大，是本节的难点.【教学过程】1复习提问，（1）列方程解应用题的基本步骤？答： 审题；找出题中的量，分清有哪些已知量，哪些未知量，哪些是要求的未知量；找出所涉及的基本数量关系；列方程；解方程；检验2新课讲解，列一元儿次方程解应用题在初中阶段主要有三类问题：（1）变化率问题；（2）市场营销中单价、销量、销售额以及利润之间的相互关系问题；（3）根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题而我们今天要解决的就是根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题如图2-4，有一张长40cm，宽25cm的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2-5那样的无盖纸盒若纸盒的底面积是450cm,那么纸盒的高是多少？分析 设纸盒的高为x (cm)，那么裁去的四个小正方形的边长也是x（