高考数学(文数)一轮复习考点测试48《抛物线》（教师版）

1、考点测试48抛物线高考概览本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题、解答题，分值为5分或12分，中、高等难度考纲研读1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)2理解数形结合的思想3了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用一、基础小题1抛物线yx2的准线方程是()Ay1 By2 Cx1 Dx2答案A解析依题意，抛物线x24y的准线方程是y1，故选A2设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线准线的距离为()A4 B6 C8 D12答案B解析依题意得，抛物线y28x的准线方程是x2，因此点P到该抛物线准线的距离为426，故选B3到定点A

2、(2，0)与定直线l：x2的距离相等的点的轨迹方程为()Ay28x By28x Cx28y Dx28y答案A解析由抛物线的定义可知该轨迹为抛物线且p4，焦点在x轴正半轴上，故选A4若抛物线y22px(p>0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于()A B1 C D2答案D解析由题意3x0x0，x0，则2，p>0，p2，故选D5过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，则|AB|等于()A4 B6 C8 D10答案C解析由抛物线y24x得p2，由抛物线定义可得|AB|x11x21x1x22，又因为x1x26，

3、所以|AB|8，故选C6若抛物线y4x2上一点到直线y4x5的距离最短，则该点为()A(1，2) B(0，0) C，1 D(1，4)答案C解析解法一：根据题意，直线y4x5必然与抛物线y4x2相离，抛物线上到直线的最短距离的点就是与直线y4x5平行的抛物线的切线的切点由y8x4得x，故抛物线的斜率为4的切线的切点坐标是，1，该点到直线y4x5的距离最短故选C解法二：抛物线上的点(x，y)到直线y4x5的距离是d，显然当x时，d取得最小值，此时y1故选C7已知动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_答案y24x解析设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与

4、其到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x8已知抛物线y24x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|MN|，则NMF_答案解析过N作准线的垂线，垂足是P，则有|PN|NF|，|PN|MN|，NMFMNP又cosMNP，MNP，即NMF二、高考小题9设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·()A5 B6 C7 D8答案D解析根据题意，过点(2，0)且斜率为的直线方程为y(x2)，与抛物线方程联立消去x并整理，得y26y80，解得M(1，2)，N(4，4)，又F(1，0)，所以(0，

5、2)，(3，4)，从而可以求得·0×32×48，故选D10已知F为抛物线C：y24x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|DE|的最小值为()A16 B14 C12 D10答案A解析因为F为y24x的焦点，所以F(1，0)由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，故直线l1，l2的方程分别为yk(x1)，y(x1)由得k2x2(2k24)xk20设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x21，所以|AB|·|x1x2|·&#

6、183;同理可得|DE|4(1k2)所以|AB|DE|4(1k2)411k284k284×216，当且仅当k2，即k±1时，取得等号故选A11.已知点M(1，1)和抛物线C：y24x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若AMB90°，则k_答案2解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以yy4x14x2，所以k取AB的中点M(x0，y0)，分别过点A，B作准线x1 的垂线，垂足分别为A，B因为AMB90°，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)因为M为AB的中点，所以MM平行于x轴因为M(1，1)，所以y01，则y1y22

7、，所以k212已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴若l被抛物线y24ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_答案(1，0)解析由题意得a>0，设直线l与抛物线的两交点分别为A，B，不妨令A在B的上方，则A(1，2)，B(1，2)，故|AB|44，得a1，故抛物线方程为y24x，其焦点坐标为(1，0)13设抛物线y24x的焦点为F，准线为l已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A若FAC120°，则圆的方程为_答案(x1)2(y)21解析由y24x可得点F的坐标为(1，0)，准线l的方程为x1由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为1，

8、圆的半径为1，CAO90°又因为FAC120°，所以OAF30°，所以|OA|，所以点C的纵坐标为所以圆的方程为(x1)2(y)21三、模拟小题14抛物线y4ax2(a0)的焦点坐标是()A(0，a) B(a，0) C D答案C解析将y4ax2(a0)化为标准方程得x2y(a0)，所以焦点坐标为，故选C15已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若3，则|MN|()A B8 C16 D答案A解析由题意F(1，0)，设直线PF的方程为yk(x1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)因为准线方程为x1，所以得P(1，2k)

9、所以(2，2k)，(1x1，y1)，因为3，所以23(1x1)，解得x1把yk(x1)代入y24x，得k2x2(2k24)xk20，所以x1x21，所以x23，从而得|MN|MF|NF|(x11)(x21)x1x22故选A16已知点P是抛物线x24y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8，7)，则|PA|PQ|的最小值为()A7 B8 C9 D10答案C解析延长PQ与准线交于M点，抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y1，根据抛物线的定义知，|PF|PM|PQ|1|PA|PQ|PA|PM|1|PA|PF|1|AF|111019当且仅当A，P，F三点共线时，等号成立，则|PA|P

10、Q|的最小值为9故选C17已知点A是抛物线C：x22py(p0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若APQ的面积为4，则实数p的值为()A B1 C D2答案D解析解法一：设过点A且与抛物线C相切的直线为ykx由得x22pkxp20由4p2k24p20，得k±1，所以得点Pp，Qp，所以APQ的面积为S×2p×p4，解得p2故选D解法二：如图，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)由题意得点A0，yx2，求导得yx，所以切线PA的方程为yy1x1(xx1)，即yx1xx，切线PB的方程为yy2x2(xx2)，即yx2xx，代入A0

11、，得点Pp，Qp，所以APQ的面积为S×2p×p4，解得p2故选D18已知抛物线y24x的一条弦AB恰好以P(1，1)为中点，则弦AB所在直线的方程是_答案2xy10解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由A，B都在抛物线上，可得作差得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)因为AB中点为P(1，1)，所以y1y22，则有2·4，所以kAB2，从而直线AB的方程为y12(x1)，即2xy10一、高考大题1设抛物线C：y22x，点A(2，0)，B(2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN解(1)

12、当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的坐标为(2，2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为线段MN的垂直平分线，所以ABMABN当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN综上，ABMABN2如图，已知点P是y轴左侧(不含y

13、轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；(2)若P是半椭圆x21(x<0)上的动点，求PAB面积的取值范围解(1)证明：设P(x0，y0)，Ay，y1，By，y2因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y2为方程24·即y22y0y8x0y0的两个不同的实根所以y1y22y0，因此，PM垂直于y轴(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2因此，PAB的面积SPAB|PM|·|y1y2|(y4x0)因为x1(x0<0)，所以y4x04x4x044，5因此，P

14、AB面积的取值范围是6，3已知抛物线C：y22px经过点P(1，2)过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值解(1)因为抛物线y22px过点(1，2)，所以2p4，即p2故抛物线C的方程为y24x，由题意知，直线l的斜率存在且不为0设直线l的方程为ykx1(k0)由得k2x2(2k4)x10依题意(2k4)24×k2×1>0，解得k<0或0<k<1又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2)从而k3所以直线l斜率的取值范围是(，

15、3)(3，0)(0，1)(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知x1x2，x1x2直线PA的方程为y2(x1)令x0，得点M的纵坐标为yM22同理得点N的纵坐标为yN2由，得1yM，1yN所以··2所以为定值二、模拟大题4)如图，已知抛物线x22py(p0)，其焦点到准线的距离为2，圆S：x2y2py0，直线l：ykx与圆和抛物线自左至右顺次交于A，B，C，D四点(1)若线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，求正数k的值；(2)若直线l1过抛物线焦点且垂直于直线l，l1与抛物线交于点M，N，设MN，AD的中点分别为P，Q，求证：直线PQ过定点

16、解(1)由题意可得p2，所以抛物线x24y，圆S的方程可化为x2(y1)21，其圆心S(0，1)，圆的半径为1，设点A(x1，y1)，D(x2，y2)由得x24kx40，所以x1x24k，所以y1y2k(x1x2)24k22，所以|AB|CD|AS|DS|BC|y11y212y1y24k222|BC|4，所以k(负值舍去)(2)证明：因为x1x24k，y1y2k(x1x2)24k22，所以Q(2k，2k21)当k0时，用替换k可得P，1，所以kPQ，所以PQ的直线方程为y(2k21)(x2k)，化简得yx3，过定点(0，3)当k0时，直线l1与抛物线只有一个交点，不符合题意，舍去5已知椭圆C1

17、，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是(3，2)，(2，0)，(4，4)，(1)求C1，C2的标准方程；(2)是否存在直线l满足条件：过C2的焦点F；与C1交于不同的两点M，N，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由解(1)设抛物线C2：y22px(p0)，则有2p(x0)，据此验证四个点知(3，2)，(4，4)在抛物线上，易得，抛物线C2的标准方程为y24x设椭圆C1：1(a>b>0)，把点(2，0)，代入可得a24，b21，所以椭圆C1的标准方程为y21(2)由抛物线的标准方程可得C2的焦点F(1，0)

18、，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1直线l交椭圆C1于点M1，N1，·0，不满足题意当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，并设点M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y，得(14k2)x28k2x4(k21)0，于是x1x2，x1x2，则y1y2k(x11)·k(x21)k2x1x2(x1x2)1k21由得x1x2y1y20将代入式，得0，解得k±2，所以存在直线l满足条件，且l的方程为2xy20或2xy206已知圆C：(xa)2(yb)2的圆心C在抛物线x22py(p0)上，圆C过原点且与抛物线的准线相切(1)求该抛物线的方程；(2)过抛物线焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，分别在A，B处作抛物线的两条切线交于点P，求PAB面积的最小值及此时直线l的方程解(1)由已知可得圆心C(a，b)，半径r，焦点F0，准线y，因为圆C与抛物线F的准线相切，所以b又因为圆C过原点，且圆C过焦点F，所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上，即b，所以，解