垂直于弦的直径公开课

1、24.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径(第一课时第一课时)24.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径(第一课时第一课时) 赵州桥坐落在河北省赵县。建于隋赵州桥坐落在河北省赵县。建于隋代，由著名匠师李春设计和建造，距今代，由著名匠师李春设计和建造，距今已有约已有约1300年的历史。是当今世界年的历史。是当今世界、的的石拱桥。被誉为石拱桥。被誉为。它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m, 37.4m, 拱高拱高( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱

2、的半径吗？第一步第一步:把圆对折把圆对折,使圆的两半部分重合使圆的两半部分重合.记折记折痕为痕为CD；第二步第二步:在在 O的圆周上任取一点的圆周上任取一点A，过点，过点A作作CD的垂线，沿垂线折叠的垂线，沿垂线折叠.两条折痕的交点是两条折痕的交点是E.第三步第三步:将纸打开将纸打开,新的折痕与圆交于另一点新的折痕与圆交于另一点B.OBEDCA 如图如图,AB是是 O的一条弦的一条弦,直径直径CDAB于于E.1.此图是轴对称图形吗？此图是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？它的对称轴是什么？2.你能发现图中有哪些相等的线段你能发现图中有哪些相等的线段? 图中有相等的弧吗？图中有相等的弧吗？线段：线

3、段：AE=BEAC=BCOBCDEAAD=BD,弧：弧：是是直线直线CD垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。所对的两条弧。题设题设结论结论（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧符号语言表达：符号语言表达：CD是直径且是直径且CDABAE=BE，AC=BCAD=BD连结连结OA,OB等腰三角形等腰三角形三线合一三线合一OBDCAE把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半圆重两侧的两个半圆重合，点合，点A与点与点B

4、重合，重合，AE与与BE重合，重合，AC与与BC重重合，合，AD与与BD重合重合因此因此 AE=BEAE=BE即即 直径直径CD平分弦，并且平分平分弦，并且平分AB及及ACBAC=BCAC=BCAD=BDAD=BDOBCDAE叠合法叠合法1、判断下列图形那些符合垂径定理？、判断下列图形那些符合垂径定理？不符合不符合不符合不符合符合符合符合符合ABCODABCOD符合符合符合符合OABCDOABCDOCDBAABCODEABCO符合符合例例1. 如图如图,已知已知AB是是 O的弦的弦, OCAB于于C,且且AB=8, OC=3,求求 O的半径。的半径。OACB 练习：练习：1. O的半径为的半径

5、为8，OC弦弦AB于于C， 且且OC=6，求弦长，求弦长AB.2. O的半径为的半径为6，弦，弦AB=8， 求圆心求圆心O到到AB的距离。的距离。注意：圆心注意：圆心到弦的距离到弦的距离叫弦心距叫弦心距小结：计算弦长，半径和弦心距等问题的方法是构造直角三角形。技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线或连接半径。因此只要知道圆中半径(或直径),弦,弦心距中任意两个量，就可以求出第三个量。 rda2r2 =d2 +a22OAB 若下面的弓形高为若下面的弓形高为h,则则r,d,h之间有怎样的关系？之间有怎样的关系？hr=d+h是多少是多少? 跨度跨度拱高拱高主桥拱半径主桥拱半径 赵州桥的主桥拱是圆弧形赵州

6、桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所弧所对的弦的长对的弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距弧的中点到弦的距离离)为为7.2m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?O是多少是多少? 赵州桥的主桥拱是圆弧形赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距弧的中点到弦的距离离)为为7.2m,你能求出赵州桥主桥你能求出赵州桥主桥拱的半径吗拱的半径吗?CBAD37.4m7.2m1.（2014佛山）如图，佛山）如图， O的直径为的直径为10cm,弦弦AB=8cm,P是弦是弦AB上的一个动点，求上的一

7、个动点，求OP的长度范围的长度范围OABP2.如图，已知在以点如图，已知在以点O为圆心的两个为圆心的两个同心圆中，大圆的弦同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点交小圆于点C、D（1）求证：）求证：AC=BD(2)若大圆的半径若大圆的半径R=10，小圆的半径，小圆的半径r=8,且且 O到直线到直线AB的距离为的距离为6，求，求AC的长的长DCOAB圆是轴圆是轴对称图对称图形形垂径定理的应用垂径定理与勾股定理结合垂径定理垂径定理课堂小结课堂小结 1.圆的轴对称性：圆的轴对称性：2.垂径定理：垂径定理： 圆是轴对称图形圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。都是它的对称

8、轴。 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。的两条弧。3.在计算题中，在计算题中，经经常结合常结合勾股定理勾股定理一起使用。一起使用。r2 =d2 +a22rdOACB a24.在计算过程中，要结在计算过程中，要结合合解题解题.今天作业今天作业:作业本作业本(2)P21-22再见再见下列图形是否适用于垂径定理？下列图形是否适用于垂径定理？适用适用不适用不适用适用适用不适用不适用OEDCAB注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（过圆心，垂直于弦）（过圆心，垂直于弦）缺缺一不可！一不可！DCOABDOABcECOABCOAB适用适用判断判断（1）

9、垂直于弦的直线平分弦，并且平分）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧。弦所对的弧。 ( )（2）一条过圆心的直线垂直于弦，必平）一条过圆心的直线垂直于弦，必平分这条弦。分这条弦。 ( )（3）平分弦的直径垂直于弦，并且平分）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。 ( )CDABO ABCD O不是直径不是直径 下列命题是真命题还是假命题？下列命题是真命题还是假命题？ECOA求下列圆的半径求下列圆的半径弦心距：圆心到弦之间的距离弦心距：圆心到弦之间的距离注意：注意：在解决有关弦的问题中，连接在解决有关弦的问题中，连接半径半径和和作圆心到弦作圆心到弦之间的垂线段之间的垂线段是常用的辅助线，为应用