菱形基础知识点及同步练习、含答案

1、学科：数学菱形【基础知识精讲】定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形定理 1：四边都相等的四边形是菱形定理 2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形【重点难点解析】1菱形的性质(1) 菱形具有平行四边形的一切性质；(2) 菱形的四条边都相等；(3) 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；(4) 菱形是轴对称图形2菱形的面积=底×高 =对角线乘积的一半A重点、难点提示1理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）2经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；3

2、了解菱形的现实应用和常用的判别条件；4体会特殊与一般的关系B考点指要菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形是特殊的平行四边形， 具有平行四边形的一切性质 除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：菱形的四条边都相等；两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）每一条对角线都平分一组内角（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）菱形的判别方法： （学会利用轴对称的方法研究菱形）一组邻边相等的平行

3、四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形【难题巧解点拨】例 1：如图 4-24，在 ABC 中， BAC=90 °， AD BC 于 D ，CE 平分 ACB ，交 AD于 G，交 AB 于 E， EF BC 于 F求证：四边形AEFG 是菱形思路分析由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等证明： BAC=90 °， EFBC ，CE 平分 ACB ， AE=EF ， CEA= CEF（这是略证，并不是完整的证明过程） AD BC， EF BC， EF AD ，（垂直于同一条直线的两

4、条直线互相平行） CEF= AGE ，（两直线平行，内错角相等） CEA= AGE ， AE=AG ， EF AG ，且 EF=AG ，四边形 AEFG 是平行四边形 （一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）又 AE=EF ，平行四边形AEFG 是菱形AEFG例 2：已知菱形的周长为20cm，一条对角线长为5cm，求菱形各个角的度数已知：菱形ABCD 中， AB+BC+CD+DA=20cm，对角线 AC=5cm 求 ADC 、 ABC 、BCD 、 DAB 的度数思路分析利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25解： 在菱形 ABCD 中， AB=BC=CD=DA

5、，又 AB+BC+CD+DA=20cm ， AB=BC=CD=DA=5cm ，又 AC=5cm ， AB=BC=AC ， CD=DA=AC ， ABC 和 DAC 都是等边三角形，（本题将边之间的长度关系转化为角的关系） ADC= ABC=60 °， BCD= DAB=120 °例 3：如图 4-26，在平行四边形 ABCD 中， BAE= FAE ， FBA= FBE求证：四边形 ABEF 是菱形证法一： AF BE， FAE= AEB（两直线平行，内错角相等）又 BAE= FAE， BAE= AEB ， AB=BE （等角对等边）同理， AB=AF ， BE=EF ，

6、AB=BE=EF=AF ，四边形 ABEF 是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）证法二： AF BE， FAE= AEB ，又 BAE= FAE， BAE= AEB ， AB=BE 又 FBA= FBE ， AO=OE ， AE FB ，（等腰三角形三线合一）同理， BO=OF ，四边形 ABEF 是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）例 4：菱形的两邻角之比为 1： 2，边长为 2，则菱形的面积为 _思路分析本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：解法一：如图4-27， B： A=1 ： 2，四边形 ABCD 是菱形， AD BC， A+ B=180

7、 °， B=60 °， A=120 °，过A作AEBC于E， BAE=30 °，BE1 AB1，（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）2AEAB2BE 222123 ，（勾股定理）S菱形 ABCDBC AE2 3（平行四边形的面积计算方法是：底乘以高）解法二：如图4-28， B A=1 2，四边形 ABCD 是菱形， AD BC， A+ B=180 °， B=60 °， A=120 °，连结 AC 、 BD 交于点 O，ABD1B 30 ，AC BD 2（菱形的性质：对角线平分一组对角，对角线互相垂直

8、）在 RtABO 中， AO1 AB1，2BOAB2AO 222123 ， AC=2 ， BD2 3 ，菱形11223 2 3SABCD2AC BD2答：菱形的面积为2 3【典型热点考题】例 1如图 4-13 ，已知菱形ABCD中， E、F 分别是 BC、CD上的点，且 B= EAF=60°， BAE=18°，求 CEF的度数点悟： 由 B=60°知，连接AC得等边 ABC与 ACD，从而 ABE ADF，有 AE=AF，则 AEF为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求CEF解： 连接 AC四边形 ABCD为菱形，B= D= 60 °， AB

9、=BC=CD=DA，ABC与 CDA为等边三角形 AB=AC， B= ACD= BAC=60°， EAF=60°， BAE= CAF AE=AF 又 EAF=60°，EAF为等边三角形AEF=60°，AEC= B+ BAE=AEF+ CEF， 60 ° +18° =60° +CEF， CEF=18°例 2 已知如图 4-14 ，在 ABC中， BAC=90°， AD BC 于 D， CE 平分 ACB，交 AD 于 G，交 AB于 E， EF BC于 F，求证：四边形 AEFG为菱形点悟： 可先证四边形A

10、EFG为平行四边形，再证邻边相等( 或对角线垂直) 证明： BAC=90°， EF BC， CE平分 BCA， AE=FE ， AEC= FEC EF BC， AD BC， EF ADFEC= AGE， AEC= AGE AE=AG，四边形 AEFG为平行四边形又AE=AG四边形 AEFG为菱形点拨： 此题还可以用判定菱形的另两种方法来证例 3 已知如图 4-15 ，E 为菱形 ABCD边 BC上一点，且 AB=AE，AE 交 BD于 O，且 DAE=2BAE求证： EB=OA证明： 四边形 ABCD为菱形，ABC=2 ABD， AD BC，DAE= AEB， AB=AE ， ABC

11、= AEB DAE=2 ABD DAE=2 BAE，ABD= BAE， OA=OBBOE= ABD+ BAE， BOE=2 BAEBEA= BOE， OB=BE， AO=BE说明： 利用菱形性质证题时，要灵活选用，选不同性质，就会有不同思路例 4已知菱形的一边与两条对角线构成的两角之比为点悟： 先作出菱形ABCD和对角线AC、 BD(如图 4-16)5： 4，求菱形的各内角的度数解：四边形 ABCD是菱形， AC BD， 1+ 2=90°，又 1=40°， 2=50°， 1： 2=4： 5，DCB= DAB=2 2=100°，故CBA= CDA=2 1=

12、80°【同步达纲练习一】一、选择题1已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为(A)45 °，135 °(B)60°，120 °(C)90 °，90 °(D)30°，150 °()2若菱形的一条对角线长是另一条对角线的2 倍，且此菱形的面积为S，则它的边长为()(A)S(B)1S(c)13S(D)15S222二、填空题3已知：菱形ABCD中， E、 F 是 BC、 CD上的点，且AE=EF=AF=AB，则 B=_.4已知：菱形的两条对角线长分别为a、b，则此菱形周长为_，面积为 _.5菱形具有

13、而矩形不具有的性质是_.6已知一个菱形的面积为8 3 平方厘米，且两条对角线的比为1：3 ，则菱形的边长为 _.三、解答题7已知： O为证：四边形DNBM是菱形对角线BD的中点， MN过O且垂直BD，分别交CD、AB于M、N求8如图 4-17 ，已知菱形ABCD的对角线交于点O， AC=16cm， BD=12cm，求菱形的高【同步达纲练习二】1在菱形ABCD 中，若 ADC=120 °，则 BD ：AC 等于 ()A 3:2B3 : 3C1：2D 3:12已知菱形的周长为40cm，两对角线的长度之比为3：4，则两对角线的长分别为 ()A 6cm， 8cmB 3cm， 4cmC 12c

14、m， 16cmD 24cm， 32cm3菱形的对角线具有()A 互相平分且不垂直B互相平分且相等C互相平分且垂直D互相平分、垂直且相等（掌握菱形对角线的性质，注意不要增加性质）4已知菱形的面积等于160cm2 ，高等于 8cm，则菱形的周长等于_5已知菱形的两条对角线的长分别是6 和 8，那么它的边长是_ 6菱形的周长是40cm，两邻角的比是1： 2，则较短的对角线长是_cm 7如图 4-29，在 ABC 中， BAC=90 °， BD 平分 ABC ，AG BC ，且 BD 、 AG 相交于点 E， DF BC 于 F求证：四边形 AEFD 是菱形于点8如图 4-30，平行四边形E

15、、 F、 O求证：四边形ABCD 的对角线AFCE 是菱形AC的垂直平分线与AD 、BC 、AC分别交参考答案【同步达纲练习一】一、 1 B；2 D；二、 3 80°； 4 2 a2b 2 ，1 ab ；25对角线互相垂直，各边长相等6 4 厘米三、 7由已知MN为 BD的垂直平分线，有 DM=BM， DN=BN，又由 DOM BON，得 DM=BN， DM=BM=BN=DN四边形DNBM是菱形 .8过点 D 作 DH AB 于 H，则 DH为菱形的一条高又AC 、 BD互相垂直平分于O，OA11BD 6厘米AB 8厘米， OB22由勾股定理，得ABAO2BO 210 ( 厘米)又

16、1AB DH1BD OA，22 110 DH112 8 ， DH=9.6 厘米22【同步达纲练习二】1 B；2 C；3C； 4 80cm；5 5；6 10；7证法一：在 Rt ABD 和 Rt FBD 中， BD 为 ABC 的平分线， ABD= FBD ， DAB= DFB=90 °，又 BD=BD ， RtABD Rt FBD AD=DF ， ADE= EDF又 DFBC ，AG BC ， DF/AE ， EDF= DEA ， ADE= DEA ， AD=AE ， AE=DF ，四边形 AEFD 是平行四边形 AD=DF ，四边形 AEFD 为菱形证法二：同证法一得 DF=DA=AE ， RtABD Rt FBD ， AB=BF ， ABE FBE ， AE=EF ， DF=DA=AE=EF ，四边形 AEFD 是菱形证法三：同证法一： Rt ABD Rt FBD ， AB=BF ， ABE FBE ， GA