一维随机变量及其分布

1、第二章 一维随机变量及其分布（一）作业设随机变量X的分布列为 P=k= k=1,2,.求： (1)参数a. (2)PX4 (3)Y=2X+1的分布列。2一批产品包括10件正品, 3件次品, 不放回地抽取, 每次一件, 直到取得正品为止, 假定每件产品被取到的机会相同, 求抽取次数的分布列和分布函数.3服从柯西分布的随机变量的分布函数是，求（1）常数；（2）；（3）概率密度。4服从拉普拉斯分布的随机变量的概率密度 , 求（1）系数A；（2）分布函数F(x)；（3）5设随机变量的分布列为2 1 0 求：及标准差。6抽样调查表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩72分，已知90分以

2、上的考生站2.3%，试求考生成绩在60至82分之间的概率。7设，求的分布密度。8.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停工。若一周5个工作日无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍能获利5万元；发生两次故障所获利润0元；发生3次或3次以上故障就要亏损2万元，求一周内期望利润是多少？ 9某工厂制造某种润滑油，如在一段时间不用，将损失某些特性。设是该厂一年内卖出的单位数（1单位等于1000千克），它在200，400上服从均匀分布，又设每卖出一个单位，工厂可获得3000元利润，而因卖不出去油失效每单位将损失1000元，问工厂在每年开工前应决定生产多少单位的润滑油，才能使期望

3、利润最大？（二）练习题一、填空题1随机变量的分布函数是事件 的概率。2已知随机变量只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是，则 3当的值为 时，才能成为随机变量的分布列。4一实习生用一台机器接连独立地制造3个相同的零件，第个零件不合格的概率，以表示3个零件中合格品的个数，则。5知的概率分布为，则的分布函数 .6随机变量服从参数为的泊松分布，则的分布列为 ；若，则 。7随机变量服从参数为的泊松分布，且，则 。8已知离散型随机变量可能取到的值为：-1，0，1，且，则对的概率分布是 。9若随机变量在1，6上服从均匀分布，则方程有实根的概率为 。10用随机变量来描述掷一枚硬币的试验结果. 则

4、的分布函数为 .11设随机变量的概率密度为，若使得，则的取值范围是 。12设离散型随机变量的分布函数为： 且，则。13设，当时，= 。14设随机变量，则的分布密度 ； 。若，则的分布密度 ； 15设，则 。16随机变量，且，则的概率密度函数为 。17若随机变量服从均值为3，方差为的正态分布，且则 。18若随机变量，且，则。19设，若，则 。20设某批电子元件的寿命，若，欲使，允许最大的= 。21若随机变量的分布列为，则的分布列为 。22已知随机变量的概率分布为：01234p1/31/61/61/121/4则= ，= ，= 。二、选择题1设是一个离散型随机变量，则（ ）可以作为的概率函数。（）

5、(为任意实数) （） （）2已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布的参数的值为（ ）。 （）； （）；（）； （）。3若函数是一随机变量的概率密度，则（ ）一定成立。的定义域为0,1; 非负；的值域为0,1; 在内连续。4设随机变量，则的分布函数为（ ） 5已知随机变量服从参数为2的泊松分布，则随机变量的数学期望为（ ）。 （）10； （）4； （）-2 ； （）-1/2 。6设与分别是随机变量与的分布函数，为了使是某一个随机变量的分布函数，在下列各组值中应取（ ） ； ； ； 。7设随机变量X的密度函数为，且，是X的分布函数，则对任意实数，有（ ）。()； ()；()； ()。8 设随机变

6、量的密度函数为，且为偶函数，设是其分布函数，则（ ） （）为偶函数 （B）为奇函数 （C） 9设随机变量服从正态分布，则随的增大，概率应（ ）(A) 单调增大； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D)增减不定。10设，其密度函数为，分布函数为，则（ ） （A） (B) (C) (D) 11设随机变量，其概率密度的最大值为（ ）。 0； 1； ； 12设随机变量与均服从正态分布，；记，则有（ ）对任何实数，都有；对任何实数，都有 ；只对个别值，才有；对任何实数，都有。13设随机变量，且，则c= ( ) 0 ； ； ； 14设服从参数为的指数分布，为其分布函数，则（ ） ； ； ； 15设

7、随机变量满足，则对于任意常数，都有（ ）。 （）； （）； （）； （）。三、计算1一批产品20个, 其中有5个次品, 从这批产品中随意抽取4个, 求这4个产品中的次品数的分布列.2一批产品包括10件正品3件次品，如果随机地从中抽取，每次取出一件后，总放回一件正品，直到取出正品为止，求抽取次数的分布列。3一批产品分一、二、三级, 其中一级品是二级品的两倍, 三级品是二级品的一半, 从这批产品中随机地抽取一个检验质量, 用随机变量描述检验的可能结果, 写出它的分布列及分布函数.4投掷一枚不均匀的硬币，正面出现的概率是p（0p1），以表示直至两个面都出现时的试验次数，求的分布列。5已知某单位一天内

8、烧坏灯泡的个数服从泊松分布，且一天内不烧坏灯泡的概率为1/e,求一天内烧坏灯泡多于2个的概率。6设离散型随机变量的分布列为：-10123p0.150.25求：（1）求的分布列；（2）7.一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药。若每组成功的概率都是0.40，而当第一组成功时，每年的销售额可达40000元，而当第二组成功时，每年的销售额可达60000元，若失败则分文全无，以记这两种新药的年销售额，求的分布列及药厂的期望利润。8设随机变量的分布密度函数为 ，且，求。9续型随机变量的分布函数为试求：（1）系数、；（2）求）；（3）的分布密度函数。10设连续型随机变量的分布函数为：，求：（

9、1）常数和； （2）的概率密度函数；（3）。11设随机变量的概率密度为：，求（1）常数；（2）；（3）分布函数。12设随机变量的分布密度函数为试求：（1）系数；（2）；（3）的分布函数.13设连续型随机变量的概率密度为试求（1）系数; （2）分布函数； （3） 14设随机变量在2，5上服从均匀分布，现对进行三次独立观测，试求有两次观测值在于是的概率。15某高校入学考试的数学成绩服从正态分布，如果85分以上为优秀，问数学成绩优秀的考生大致占总人数的百分之几？16在边上的高为的中取一点，到的距离为，求的分布函数。17设随机变量,求的分布函数与概率密度。18某银行开展定期定额有奖储蓄，定期一年，定额

10、60元。按规定10000全户头中，头奖一个，奖金500元；二奖10个，各奖100元；三奖100个，各奖10元；四奖1000个，各奖2元，某人买了5个户头，他期望得奖多少元？19某保险公司对顾客进行人身保险，如果在一年内投保人死亡，保险公司赔偿10000元，若投保人受伤，保险公司赔偿5000元，已知一年内投保人死亡的概率为0.002，受伤的概率为0.005，为使保险公司的期望收益不低于保费的10%，该公司应该要求顾客至少交多少保险费？20一台设备由三大部件构成，在设备运转中，各部件需调整的概率分别为，假设各部件状态相互独立，以表示同时需调整的部件数，试求的数学期望与方差 21QUICKTUNE公

11、司的广告声称完全清洗一辆汽车只需34.98美元，而且公司保证，如果不能在30分钟内完成，将免收费用. 已知清洗一辆汽车所需时间服从（分钟），（分钟）的正态分布，清洗总成本为24美元. 求清洗200辆汽车公司的期望利润是多少？22某企业准备通过招聘考试招收300名职工，其中正式工280人，临时工20人；报考人数1657人，考试满分400分，考试后，考试总平均成绩=166分，360分以上的高分考生31人，某考生的成绩是256分，问他能否被录取？能否被聘为正式工？ 23游客乘电梯从底层到电视塔观光，电梯每个整点的5分钟、25分钟和55分钟从底层起行，假设一游客在早上8点的第分钟到达底层电梯处，且在0

12、，60上服从均匀分布，求该游客等候时间的数学期望。（三）附加练习X是一个随机变量，试证明对任意常数C，有，并由此证明：对取值于区间内的随机变量X，有2设某种产品每周需求量取1、2、3、4、5是等可能的，生产每件产品的成本是3元，每件产品售价9元，没有销售出去的产品以每件1元的费用存入仓库，问生产者每周生产多少件产品获得的期望利润最大？3设和都有是分布函数，又是两个常数，且，试证明也是分布函数。4设为曲线与轴所围成的区域，在中任取一点，设该点到轴的距离为，求的分布函数和分布密度。5某服装商店销售某种时装，每出售一件获得纯利润5元，如果到季节末尚有积压，则降价处理，每件净损失2元。据以往估计该商店出售