中误差传播定律

1、子学习情境5-2 误差传播定律根据衡量精度的指标可以对同精度观测值的真误差来评定观测值精度。但是，在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其得，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B的高程HB，是由起始点A的高程HA。加上从A点到B点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差h1、h2、hn求和得出的。这时未知点B的高程HB是各独立观测值（诸观测高差h1、h2、hn）的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？由于直接观测值有误差，故它的函数也必然会有误差。研究观测值函数的精度评定问题，实质上就是研究观测值函数的中误差与观测值中误差的关系问题。这种关系又称误差传播定律。（一）倍数

2、函数的中误差设有函数 Z=KX （5-2-1）式中 X观测值；K常数（无误差）。用X与Z分别表示X和Z的真误差，则Z+Z=K（X+X）上式减式（5-2-1）得Z=KX这就是函数真误差与观测值真误差的关系式。设对X进行了n次观测，则有Z1=KX1Z2= KX2ZN= KXN将上列各式平方，并求其总和，得2Z1=K22X12Z2=K22X22ZN=K22XN2Z=K22X=K2z22xnn两边同除以n，得按中误差定义，上式可表示为 m2Z=K2m2X或 mZ=KmX (5-2-2)可见，倍数函数的中误差等于倍数（常数）与观测值中误差的乘积。例3 用比例尺在1：1000的图上量得长度L=168 mm

3、，并已知其中误差mi=±0.2 mm，求相应地面上的水平距离S及中误差mS。解：相应地面上的水平距离S=1000L=168 m中误差mS=1000mi=±0.2 m最后写成S=168±0.2 m（二）和、差函数的中误差设有函数Z=X+Y和Z=Z-Y，为简单起见，合并写成Z=X±Y （5-2-3）X、Y为独立观测值，所谓“独立”，是指观测值之间相互无影响，即任何一个观测值产生的误差，都不影响其他观测值误差的大小。一般来说，直接观测的值就是独立观测值。 令函数Z及X、Y的真误差分别为Z、X、Y。显然Z+Z=（X±X）±（Y+Y）将上式减去

4、式（5-2-3），得Z=X±Y观测n次，则有Z1=X1±Y1Z2=X2±Y2Zn=Xn±Yn将上列各式两边平方并求和，得2Z=2X+2Y ±2XY两边同除以n，得=+±2z2x2yxynnnn （5-2-4）式中X与Y均为偶然误差，其正、负误差出现机会相等。因为X、Y两者独立，故X的误差X为正为负，与Y的误差Y之为正为负无关（这种误差关系又称误差独立）；X为负时，Y也可能为正或为负。这样，X与Y随机组合的结果，其乘积XY也有正有负，根据偶然误差第四特性，则limnXY=0n故式（5-2-4）可写成=+2z2x2Ynnn据中误差定义，即

5、得m2Z=m2X+m2Y或 mZ=±mx+my （5-2-5） 式中，mZ、mX、mY分别为函数Z和观测值X、Y的中误差。不难证明，当函数Z为： 22Z=X1±X2±.±Xn函数Z的中误差m2Z=m2X1+m2X2+m2Xn222或 mZ=±mx1+mx2+.mxn （5-2-6）可见，n个观测值代数和的中误差的平方等于n个观测值中误差的平方和。当n个独立观测值中，各个观测值的中误差均等于m时，则m2Z=n·m2或 mZ=nm即n个同精度观测值代数和的中误差，等于观测值中误差n倍。例4 在ABC中，直接观测A、B，其中误差分别为

6、77;6和±15，求三角形另一个角的中误差。解：因为C=180-A-B180为常数，无误差，根据式（5-2-5）有m2C= m2A+ m2B将mA=±6、mB=±15代入上式，得22mC=±mA+mB=±62+152=±16''例5水准测量计算公式h=a-b，高差h是水准尺读数a、b的函数，若a、b的中误差分别为ma、mb，求H的中误差mh。解：据式（5-2-5）22mh=±ma+mb由于a、b读数中误差相等，即ma = mb = m，则mh=±2m若m=±1 mm，则mh=±2

7、=±1.4mm（三）线性函数的中误差设有函数Z= K1 X1±K2 X2 ±±Kn Xn （5-2-7）式中K1、K2、Kn为常数；X1、X2、Xn均为独立观测值，它们的中误差分别为m1、m2、mn。函数Z与各观测值X1、X2、Xn的真误差关系式为Z= K1X1±K2X2 ±±KnXn根据式（5-2-2）、式（5-2-6），得mZ2= K21m12+ K22m22+ K2n mn2 （5-2-8）可见常数与独立观测值乘积的代数和的中误差平方，等于各常数与相应的独立观测值中误差乘积的平方和。例6对某一直线作等精度观测。往测距离

8、为L1，返测距离为L2，其中误差均为m。求该直线的最后结果及其中误差。解；最后结果L为L1+L22设L的中误差为mL，依式（8-14）有 L=2mL=121212m+m=m442即mL=（四）一般函数的中误差设有一般函数 m2Z=f（X1，X2，Xn） （5-2-9） 式中，X1，X2，Xn为具有中误差mX1，mX2，mXn的独立观测值 。各观测值的真误差分别为X1、X2、Xn，其函数Z也将产生真误差z.。现对式(5-2-9)取全微分,得dZ=fffdX1+dX2+ +dXnX1X2Xn（5-2-10） 一般说来,测量中的真误差很小，故可用真误差代替上式中的微分，即得z=fffX1+X2+ +

9、XnX1X2Xn（5-2-11） 式中 fff、为函数对各个变量所取得的偏导数，将其中的变量以观测值X1X2Xn代入，所算出的值即相当于线性函数式(5-2-7)中的常数K1、K2、Kn，而式(5-2-11)就相当于线性函数式(5-2-7)真误差的关系式。按线性函数中误差与真误差的关系式，可直接写出函数中误差的关系式，即2mz=(f22f22f22)mX1+()mX2+ +()mXnX1X2Xnf=Kixi或 （5-2-12）mz=(f22f22f22)mX1+()mX2+ +()mXnX1X2Xn可见，一般函数的中误差之平方，等于该函数对每个独立观测值所求的偏导数与相应的独立观测值中误差乘积的

10、平方和。例7 设沿倾斜地面上A、B两点丈量，得倾斜距离L=22.992 m，测得A、B两点间高差h=2.05m，若测量L、h的中误差分别为±0.003 m和±0.05 m，求水平距离s及其中误差ms。解：水平距离s=L2-h2=29.9922-2.052=29.922根据式(5-2-12)，有S2S2ms2= mL+ mh Lh式中 22S11=2L=22L2L-hLL2-h2=L SS11hh=(-2h)=-=- h2L2-h2SL2-h2将L、H和S值代入，得S2.05=-=-0.0685 h29.922S29.992=-=1.0023 L29.9222mS=1.002

11、320.0032+0.068520.052则mS=±(1.00230.003)2+(0.06850.05)2=±0.005m最后写成 S=29.922 m±0.005 m公式(5-2-12)表达了一般函数的误差传播定律，它概括了前述三种函数中误差公式。因为对于和、差函数而言，f，此时式(5-2-12)就写成式(5-2-6)。=1（i =1、2、n）xif=1、2、n），此时式(5-2-12)就可写成式(5-2-2)=Ki（i xi对于倍数函数、线型函数，或式(5-2-8)。必须着重指出，应用误差传播定律时，函数中作为自变量的各观测值，必须是独立观测值，也即各自变量

12、之间不存在依赖关系，否则将导致错误，下面举例说明。例8水平视线视距测量时，只观测了一个尺间隔l值。依其视距计算公式，则有s=100l如同本章例3那样，s之中误差 ms与l之中误差ml的关系为ms=100 ml这样计算ms的方法无疑是正确的。若将公式s=Kl写成s=l+l+. （加至K个l）依式(5-2-6),有ms=Kml这样的计算是错误的。因为若写成s= l+l+（加至K个 l ），各l值必须是直接观测的独立观测值，而实际上l只是一个独立的，从而导致了错误。（五）若干独立误差综合影响的中误差一个观测值的中误差，往往受许多独立误差的综合影响。例如，经纬仪观测一个方向时，就受目标偏心、仪器偏心（仪器未真正对中）、照准、读数等误差的综合影响。这些独立误差都属于偶然误差。可以认为各独立真误差1、2、n的代数和就是综合影响的真误差F，即F=1+2+n这相当于和、差函数真误差的关系式，故可得m2F=m2122+m2n （5-2-13）