列方程(组)解应用题的方法及步骤

1、列方程(组解应用题的方法及步骤:(1审题:要明确已知什么,未知什么及其相互关系,并用 x 表示题中的一个合理未知数。(2根据题意找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 (关键一步(3根据相等关系,正确列出方程,即所列的方程应满足等号两边的量要相等;方程两边的代数式的单位要相同。(4解方程:求出未知数的值。(5检验后明确地、完整地写出答案。检验应是:检验所求出的解既能使方程成立,又能使应用题有意义。2. 应用题的类型和每个类型所用到的基本数量关系:(1等积类应用题的基本关系式:变形前的体积(容积=变形后的体积(容积 。(2调配类应用题的特点是:调配前的数量关系,调配后又有一种新的数量关系。(

2、3利息类应用题的基本关系式:本金×利率=利息,本金+利息=本息。(4商品利润率问题:商品的利润率 ,商品利润=商品售价-商品进价。(5工程类应用题中的工作量并不是具体数量,因而常常把工作总量看作整体 1,其中,工作效率=工作总量÷工作时间。(6行程类应用题基本关系:路程=速度×时间。相遇问题:甲、乙相向而行,则:甲走的路程+乙走的路程=总路程。追及问题:甲、乙同向不同地,则:追者走的路程=前者走的路程+两地间的距离。环形跑道题:甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发:快的必须多跑一圈才能追上慢的。甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发:两人相遇时的总路程为环形跑道

3、一圈的长度。飞行问题、基本等量关系:顺风速度=无风速度+风速逆风速度=无风速度-风速航行问题,基本等量关系:顺水速度=静水速度+水速逆水速度=静水速度-水速(7比例类应用题:若甲、乙的比为 2:3,可设甲为 2x ,乙为 3x 。(8数字类应用题基本关系:若一个三位数,百位数字为 a ,十位数字为 b ,个位数字为 c ,则这三位数为:。1学校组织植树活动,已知在甲处植树的有 27人,在乙处植树的有 18人 . 如 果要使在甲处植树的人数是乙处植树人数的 2倍,需要从乙队调多少人到甲队? 答:从乙处调 3人到甲处 .2变题 学校组织植树活动,已知在甲处植树的有 23人,在乙处植树的有 17人

4、. 现调 20人去支援, 使在甲处植树的人数是乙处植树人数的 2倍多 2人, 应调往甲、 乙两处各多少人?分析 设应调往甲处 x 人, 题目中涉及的有关数量及其关系可以用下表表示: 得 x =17. 20-x =3.答:应调往甲处 17人,乙处 3人 .3某中学组织同学们春游,如果每辆车座 45人,有 15人没座位,如果每辆车座 60人,那么空出一辆车,其余车刚好座满,问有几辆车,有多少同学?4某车间一共有 59个工人, 已知每个工人平均每天可以加工甲种零件 15个, 或乙 种零件 12个, 或丙种零件 8个, 问如何安排每天的生产, 才能使每天的产品配套? (3个甲种零件, 2个乙种零件,

5、1个丙种零件为一套5 一张方桌由一张桌面和四根桌腿做成, 已知一立方米木料可做桌面 50个或桌腿 300根,现在 5立方米木料,恰好能做桌子多少张?解:设在这 5立方米木料中,用 x 立方米木 料做桌面,用 y 立方米木料做桌子腿, 由题意可得:x y x y +=514503002( ( 解之可得:x y =32 即用 3立方米木料做桌面, 2立方米木料做桌腿。 3501502300600= 答:能做成桌子 150张。6某班有 50名学生,在一次数学考试中,女生的及格率为 80%,男生的及格率为 75%,全班的及格率为 78%,问这个班的男女生各有多少人?7一份试卷共有 25道题,每道题都给

6、出了 4个答案,其中只有一个正确答案,每 道题选对得 4分,不选或错选倒扣 1分,如果一个学生得 90分,那么他做对了多 少道题。8有人问毕达哥拉斯,他的学校中有多少学生,他回答说:“一半学生学数学,四 分之一学音乐,七分之一正休息,还剩 3个女学生。 ”问毕达哥拉斯的学校中多少 个学生。9有一些分别标有 5,10,15,20,25的卡片, 后一张卡片上的数比前一张卡片上 的数大 5,小明拿到了相邻的 3张卡片,且这些卡片上的数之和为 240。(1小明拿到了哪 3张卡片?(2你能拿到相邻的 3张卡片,使得这些卡片上的数之和是 63吗?10个连续整数的和为 72,则这三个数分别是11:(准备小勇

7、 6年后上大学的学费 5000元,他的父母现在就参加了教育储蓄,下面有两种储蓄方式。(1直接存一个 6年期,年利率是 2.88%; (2先存一个 3年期的, 3年后将本利和自动转存一个 3年 期。 3年期的年利率是 2.7%。 你认为哪种储蓄方式开始存人的本金比较少 ? 分析:要解决“哪种储蓄 方式开始存入的本金较少” ,只要分别求出这两种储蓄方式开始存人多少元,然后再比较。 设开始存入 x 元。 . 如果按照第一种储蓄方式,那么列方程:x ×(1十 2.88%×6 =5000 解得 x 4263(元 如果按照第二种蓄储方式, 可鼓励学生自己填 上表, 适当时对学生加以引导

8、, 对有困难的学生复习:本利和=本金十利息 利息:本金 X 利率 X 期数 等 量关系是:第二个 3午后本利和=5000所以列方程 1.081x ·(1十 2.7%×3 =5000 解得 x 4279 这就是说,大约 4280元, 3年 期满后将本利和再存一个 3年期, 6年后本利和达到 5000元。 因此第一种储蓄方式 <即直接存一个 6年 期 开始存人的本金少。13答下列各问题: (1据北京日报 2000年 5月 16日报道:北京市人均水资源占有 300立方米,仅是 全国人均占有量的 81,世界人均占有量的 321,问全国人均水资源占有量是多少立方米 ? 世界人均

9、水资源占 有量是多少立方米 ?(2北京市一年漏掉的水相当于新建一个自来水厂,据不完全统计,全市至少有 6×l05个水龙头, 2×l05个抽水马桶漏水,如果一个关不紧的水龙头,一个月能漏掉 a 立方米水,一个漏水马桶,一个月漏掉 b 立方 米水,那么一个月造成的水流失量至少有多少立方米 ?(用含 a 、 b 的代数式表示 (3水源透支令人担忧,节约用水迫在眉睫,针对居民用水浪费现象,北京市将制定居民用水标准,规 定三口之家楼房每月标准用水量,超标部分加价收费,假设不超标部分每立方米水费 1.3元,超标部分每立 方米水费 2.9元,某住楼房的三口之家某月用水 12立方米,交水费

10、 22元,请你通过列方程求出北京市规定 三口之家楼房每月标准用水量是多少立方米 ?14 伐木队按计划每天应采伐 48m 3的木材,因每天采伐 543m ,故提前 3天完成任务,且比原计划多伐 1383m ,求原计划采伐多少木材? 解:方法 1:以实际工作量为中介量,可得方程 54483138(x x -=+ 方法 2:以实际采伐时间为中介量,可得方程 x x +=-13854483 方法 3:以计划时间为中介量,可得方程 x x +=13854348 x =2400,即原计划采伐木材 24003m .15某市按以下规定收取每月水费:若每月每户用水不超过 20立方米,则每立方米水价按 1.2元收

11、费;若超过 20立方米,则超过部分每立方米按 2元收费。如果某户居民在某月所交水费 的平均水价为每立方米 1.5元, 那么他这个月共用了 _立方米的水。(贵州省, 199916国家规定个人发表文章,出版图书获得稿费的纳税计算办法是:(1稿费不高于 800元 的不纳税; (2稿费高于 800元又不高于 4000元的应缴纳超过 800元的那一部分稿费的 14%的税; (3稿费高于 4000元的应缴纳全部稿费的 11%的税。今知丁老师获得一笔稿费,并缴 纳个人所得税 420元,问丁老师的这笔稿费有 _元。(黄冈市, 199917工人师傅制作了一个容积是 843cm ,高为 6cm 的长方体盒子,已知

12、盒子底面的长比宽多 5cm ,那么盒子底面的宽是 _cm。18、乙两队学生绿化校园,如果两队合作, 6天可以完成;如果单独工作,乙队比甲队多用 5天,两队单独工作各要多少天?19一个水池装有甲、乙、丙三个进水管,单开甲管 45分钟注满水池,单开乙管 60分钟注满 水池,单开丙管 90分钟可注满水池。如果三管一齐开 _分钟注满 水池。说明:商家将一件成本是 100元的夹克 , 按成本价提高 50%后 , 标价 150元 , 后按标价的 8折出 售给某顾客 , 请算一算 , 在这笔交易中商家有没有赚钱 ?成本价 _标价 _售价 _利润 _利润率 _1、某商品的进价为 150元 , 销 售价为 18

13、0元 , 此商品的利润率是 _.2、 某商场有一件商品 需要降价处理, 现把它降价 25%后售价 75元, 设这件商品降价前的原价 卖 x 元 , 列 方 程 为 .3、某商品的进价为 200元 , 标价为 300元 , 打折销售时的利润为 5%,此 商品是按几折销售的 ?20理一批图书, 由一个人做要 40小时完成, 现在计算由一部分人先做 4小时, 再 增加 2人和他们一起做 8小时,完成这项工作,假设这些人的工作效率相同,具 体先安排多少人工作?分析:1、这里把什么看作单位 1;2、由一个人独做要 40小时完成,那么每人做 1小时的工作量是多少?3、一个人独做 4小时的工作量是多少?4、

14、本题的等量关系是什么?如何列出一元一次方程?140 2(8404=+x x21种货物,连续两次均以 10%的幅度降价后,售价为 486元,则降价前的售价为 _元。22家商店里某种服装每件的成本价是 50元,按标价的 8折(即按标价的 80% 优惠卖出。 (1 、如果每件仍获利 14元,这种服装的标价是多少元?(2 、如果利润率为 20%,这种服装的标价是多少元?商场将一件成本价为 100元的夹克,按成本价提高 50%后,标价 150元,后按标价的 8折出售给某顾客, 请算一算,在这笔交易中商家有没有赚?学生计算,同桌之间交流后,教师提问 检查:150×80%-100=20(元每件夹克

15、商家赚了 20元。23商店积压了 100件某种商品,为使这批货物尽快脱手,该商店采取了如下销售 方案, 将价格提高到原来的 2.5倍, 再作三次降价处理:第一次降价 30%, 标出 “ 亏 本价 ” ;第二次降价 30%,标出 “ 破产价 ” ;第三次降价 30%,标出 “ 跳楼价 ” 。三 (1跳楼价占原价的百分比是多少?(2该商品按新销售方案销售,相比原价全部售完,哪一种方案赢利多?24商品按定价销售,每个可获利 45元,现在按定价的 8.5折出售 8个所能获得的 利润与按定价每个减价 35元出售 12个所获得利润一样。 问这种商品每个的进价、 定价各是多少元?思考题:(1 、据了解,个体

16、服装销售只要高出进价的 20%便可盈利,但老板常以 高出进价的 50% 100%标价。 假如你准备买一件标价为 200元的服装, 应在什么 范围内还价?25、 乙两相距 6千米, 两人同时出发, 同向而行, 甲 3小时可追上乙; 相向而行, 1小时相遇,两人的平均速度各是多少?解:设甲的平均速度是每小时行 x 千米, 乙的平均速度是每小时行 y , 根据题意, 得: x+y=6 解这个方程组,得: x= 4y=2答:平均每小时甲行 4千米,乙行 2千米。26乙两人从相距 18千米的两地同时出发,相向而行, 1小时 48分相遇,如果甲比乙早出发 40分钟,那么在乙出发 1小时 30分相遇,求甲、

17、乙二人各自的速度。1. 解:设甲的速度为 x 公里 /小时,乙的速度为 y 公里 /小时,则根据题意:18181233232182. ( ( ( ( x y x y +=+=解之得:x y =4555. .27从甲地到乙地,先下山后走平路,某人骑自行车从甲地以每小时 12千米的速度下山,而以 每小时 9千米速度通过平路,到乙地 55分钟。他回来时以每小时 8千米的速度通过平路,而 以每小时 4千米速度上山,回到甲地用 112小时,求甲、乙两地的距离。分析: 根据“去时所走平路长 =回时所走平路长”列方程求解。解:设山路长为 x 千米,依题意列方程为:( ( -=-x x 解这个方程,得 x =

18、3。 代入方程左边,算得平路长为:911123126( -=千米 +=两地距离为 (千米 369答:甲乙两地距离为 9千米。28甲、乙两人在周长是 400米的环形跑道上散步.若两人从同地同时背道而 行,则经过 2分钟就相遇.若两人从同地同时同向而行,则经过 20分钟后两人相 遇.已知甲的速度较快,求二人散步时的速度. (只列方程,不求出 分析 :这个问题是环形线上的相遇、追及问题.其中有两个未知数:甲、乙 二人各自的速度.有两个相等关系,即(1背向而行:两次相遇间甲、乙的行程之和 =400米;(2同向而行:两次相遇间甲、乙的行程之差 =400米.(让学生自己设未知数,列方程组,教师请一名学生将

19、自己所列的方程组写在 黑板上. 解 :设甲人速度为每分钟 x 米,乙人速度为每分钟行走 y 米.依题意,得 29人骑自行车绕 800米长的环形跑道行驶,他们从同一地点出发,如果方向 相反,每 1分 20秒相遇一次.如果方向相同,每 13分 20秒相遇一次.求各人的 速度.30某一铁路桥长 1000米. 现有一列火车从桥上通过, 测得火车从开始上桥到 完全过桥共用 1分钟,整列火车完全在桥上的时间为 40秒钟.求火车速度.31地相距 280千米, 一艘轮船在其间航行. 顺流用了 14小时, 逆流用了 20小时. 求 这艘轮船在静水中的速度和水流速度甲、乙两相距 36千米两地相向而行,如果甲比乙先

20、走 2时,那么他们在乙出发 2.5时后相遇; 如果乙比甲先走 2时,那么他们在甲出发 3时后相遇,甲、乙两人每时各走多少千米? 解:设甲、乙两人每小时分别行走 x 千米、 y 千米。根据题意可得:x= 6解此方程可得 :y=4所以甲每小时走 6千米,乙每小时走 4千米。32乙两码头相距 60千米,某船往返两地,顺流时用 3小时,逆流时用 4小时,求船在静水中 的航速及水流速度。分析:复习船在顺流航行及逆流航行中的速度与船在静水中的速度、水流速度的关系。 顺流航行的船速 =在静水中的船速度 +水流速度逆流航行的速度 =在静水中的船速度 -水流速度师生共同分析两个相等关系 顺流航行的速度×

21、;3=60千米 逆流航行的速度×4=60千米解:设船在静水中的速度为x千米/时,水流速度为y千米/时。由题意得 (x +y =60 x -y =60 解这个方程组 ; 得答:略练习:P48 7.33. 两地之间的路程为 20千米,甲从 A 地,乙从 B 地同时出发,相向而行, 2小时侯在 C 点相 遇,相遇后甲原速反回 A 地,乙仍向 A 地前进。甲回到 A 地时,乙离 A 地还有 2千米,求甲 乙两地的时速。学生活动:独立分析、思考、找相等关系,一个学生板演。解:设甲速为每小时x千米,乙速为每小时y千米,根据题意,2(x +y =20 2x -2y =2 解得答:甲速为每小时 5.

22、5千米,乙速为每小时 4.5千米。甲、乙二人从 C 点同向而行,甲回到 A 地的时间是 2小时,在相同的时间内,乙到达D 点,距 A 地还有 2千米,从而可得相等关系:甲行程-以行程=2千米34乙两人由上午 8时自 A 、 B 两地同时相向而行,上午 10时相距 36公里,两人继续前进,到 12时又相距 36公里,已知甲每小时比乙多走 2公里,求 A 、 B 两地距离。 (108公里 35、 B 两地相距 5公里,一辆汽车与一辆自行车同时从 A 地出发,驶向 B 地,当汽车到达 B 地时,自行车才走完全程的41。汽车在 B 停留半小时后,以原速度返回 A 地,经过 24分钟与自 行车相遇。求汽

23、车、自行车的速度。分析:根据在汽车到达 B 地时自行车才走完全程的 41,得到汽车的速度是自行车的速度 的 4倍。剩下 43的路程,等于自行车行驶半小时加 24分钟所走过的距离加上汽车行驶 24分 钟走过的距离。 A 、 B 之间的路程全长是已知的,只需设自行车和汽车的速度分别为 x 公里 /小时, y 公里 /小时,就可列出方程。解:设自行车的速度为 x 公里 /小时。汽车的速度为 y 公里 /小时。 依题意列方程组:=+=43506024 602421(4y x x y 解此方程组得:=6015y x 答:自行车速度为 15公里 /小时,汽车速度为 60里 /小时。36辆汽车从甲地驶往乙地

24、,途中要过一桥。用相同时间,若 车速每小时 60千米,就能超过桥 2千米;若车速每小时 50千米,就差 3千米才到桥。问甲地与桥相距多远?用了多长 时间?37少先队夏令营到学校,先下山再走平路,一少先队员骑自行车以每小时 12公里的速度下山,以每小时 9公里的速度通过平路,到学校共用了 55分钟,回来时,通过平路速度 不变,但以每小时 6公里的速度上山,回到营地共花去了 1小时 10分钟,问夏令营到学校 有多少公里?分析:路程分为两段,平路和坡路,来回路程不变,只是上山和下山的转变导致时间的 不同,所以设平路长为 x 公里,坡路长为 y 公里,表示时间,利用两个不同的过程列 两个方程,组成方程

25、组解:设平路长为 x 公里,坡路长为 y 公里依题意列方程组得:=+=+60101696055129y x y x 解这个方程组得:=36y x经检验,符合题意x +y =9答:夏令营到学校有 9公里38一列快车长 168米,一列慢车长 184米,如果两车相向而行,从相遇到离开需 4秒,如果 同向而行,从快车追及慢车到离开需 16秒钟,求两车的速度。分析:如果两车相向而行,则其相对速度为速度之和,如果两车同向而行,则其相对速 度为速度之差,但是相对移动的距离则均为两辆火车的长度之和。解:设快车时速为 x 公里 /小时,慢车时速为 y 公里 /小时,据分析可以得到方程组将其化简得 x y x y +=-=8822解这个方程组得 x y =5533 答:快车每小时行驶 55公里,慢车每小时行驶 33公里。39余的两个角的比是 2:3,求这两个角各是多少度?分析:两角互余,和为 90 。解:设互余的