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1、1第九章微分方程与差分方程简介第九章微分方程与差分方程简介第一节微分方程的一般概念第一节微分方程的一般概念第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程第三节几种二阶微分方程第三节几种二阶微分方程第四节二阶常系数线性微分方程第四节二阶常系数线性微分方程在科学研究中,常常需要寻求变量间的函数在科学研究中,常常需要寻求变量间的函数关系,但有时这种关系不能直接得到,而只能建关系,但有时这种关系不能直接得到,而只能建立立待求变量间的导数或微分关系待求变量间的导数或微分关系,这类,这类含有未知含有未知函数的导数或微分的关系函数的导数或微分的关系,即是微分方程即是微分方程。通过解通过解微分方程微分方程才能得到所求函
2、数关系。才能得到所求函数关系。8-10学时学时2第一节微分方程的一般概念第一节微分方程的一般概念例例1.设曲线设曲线 y=f(x) 过点过点(1,2),且其上各点的切线,且其上各点的切线斜率等于该点横坐标的斜率等于该点横坐标的2倍,则有倍,则有xdxdy2 Cxy 2,C 212.12 xy故故xdxdy2 xdxdy2221CxCy xxf2)( 将将 x=1 时时 y=2 代入代入1 C3第一节微分方程的一般概念第一节微分方程的一般概念例例2.设设 s=s(t) 为作自由落体运动的物体在为作自由落体运动的物体在 t 时刻的时刻的下落距离,则有下落距离,则有gdtsd 22gdtsd 1Cg
3、tdtds 0)0(0)0(ss 0021CC221gts dtCgtds)(1gdtsd gdtsd1Cgts dtCgtds)(1 gts )(gs .21212CtCgts 4第一节微分方程的一般概念第一节微分方程的一般概念定义定义9 1(微分方程微分方程)含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程 微分方程的阶微分方程的阶 方程中出现的未知函数的各阶导数的最高阶数,称为微分方程的阶 定义定义9 2(微分方程的解微分方程的解) 如果一个函数代入微分方程后 方程两端恒等 则称此函数为该微分方程的解 5第一节微分方程的一般概念第一节微分方程的一般概念定义定义9 3(微分方程的通解和特解)微分
4、方程的通解和特解) 如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程的阶数 则此解称为微分方程的通解 初始条件初始条件 用于确定通解中的任意常数的条件称为初始条件 在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解称为特解 6第一节微分方程的一般概念第一节微分方程的一般概念1. 1.微分方程微分方程(ordinary differential equation)xxfdxdy2)( gtsdtsd )(22Cxy 212 xy21221CtCgts 221gts 0)0(0)0(ss21 xy2.2.微分方程的微分方程的阶阶(order)3.3.微分方程的微分方程的解解(solution)4.4.微分方
5、程的微分方程的通解通解(general solution)5.5.微分方程的微分方程的特解特解(particular solution)6.6.微分方程的微分方程的初始条件初始条件(initial condition)Cxy 212 xy21221CtCgts 221gts 7第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程(一)可分离变量的一阶微分方程(一)可分离变量的一阶微分方程 变量已分离的微分方程变量已分离的微分方程 0),( yyxFdxxfdyyg)()( 积分积分)()(ygxfdxdy Cdxxfdyyg )()(可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程dyyNxNdxyMxM)()()(
6、)(2121 分离分离变量变量dxxfygdy)()( dyyMyNdxxNxM)()()()(2211 分离变量分离变量 y(x0)y0或00|yyxx 8(一)可分离变量的微分方程(一)可分离变量的微分方程例例1.kNdtdN kdtNdN kdtNdNCktN lnktCCkteeeN ktCeeN CktNlnln .)(ktCetN ,00)(NtN ,00ktCeN .)()(00ttkeNtN .ktCeN 马尔萨斯人口模马尔萨斯人口模型型或或若若则有则有故故00kteNC CkteNln 解:解:9(一)可分离变量的微分方程(一)可分离变量的微分方程例例2.0)1(2 xydy
7、dxydxxdyyy1)1(2 dxxdyyy1)1(2Cxylnln)1ln(212 22)(1xCy 积分变量.)1(22Cyx 2221xCy xCln 解:解:10称它们为方程的奇解或包络。称它们为方程的奇解或包络。(一)可分离变量的微分方程(一)可分离变量的微分方程例例3. 21yy 时,时,当当1 yCxy arcsin1 y).sin(Cxy dxydy 21显然,显然,也是该方程的解,也是该方程的解,但它们不包含但它们不包含在方程的通解中,在方程的通解中,-6-4-2246-1-0.50.51(二)(二)齐次微分方程齐次微分方程解:解:11(二)(二)齐次微分方程齐次微分方程如
8、果方程 F(x, y, y ) 0 能够写成形如)(xyfdxdy 的形式 则方程 F(x, y, y ) 0 称为齐次微分方程 例如:例如: 22xxyydxdy (xyy2)dx(x22xy)dy0 22xxyydxdy 1)(2xyxydxdy (xyy2)dx(x22xy)dy0 xyxyxyxyxyxydxdy21)(2222 12(二)(二)齐次微分方程齐次微分方程齐次方程的解法:齐次方程的解法: 第一步 作变换xyu 将方程化为)(ufdxduxu 第二步 分离变量 得xdxuufdu)( 第四步 作逆变换xy代替 u xyu )(ufuxu )(xyfdxdy xuy uxuy
9、 uufux )( 第三步 两端积分 得cxdxuudu)( )(uf13(二)(二)齐次微分方程齐次微分方程例例. 22xxyyy ).ln(Cyxy xyu uxuy dxxduuu11 dxxduu1)11( Cxuulnlnln )ln(Cxuu 令令则则1)(2 xyxy,12 uuuxuuuuux 121)(22 uuuu1 uu14(三)一阶线性微分方程(三)一阶线性微分方程( linear first order differential equation)齐次齐次 (homogeneous)非齐非齐次次(inhomogeneous)()(xQyxPy 0)( yxPy.)(
10、dxxPCey dxxPxuey)()( dxxPdxyxQy)()(ln dxxPxuy)()(ln.)()( dxxPexCyCdxxPyln)(ln dxxPydy)( dxxPdxyxQydy)()( dxxPxueey)()(15(三)一阶线性微分方程(三)一阶线性微分方程对对)()(xQyxPy dxxPexCy)()( dxxPexQxC)()()(CdxexQxCdxxP )()()(求导求导 dxxPexCy)()(将将yy ,代入方程代入方程,可得,可得 dxxPexPxC)()()()()()(xQexCdxxP dxxPdxxPexPxCexC)()()()()( dx
11、xPexCxP)()()()(xQ 16(三)一阶线性微分方程(三)一阶线性微分方程将将 dxxPexCy)()(CdxexQxCdxxP )()()( dxxPdxxPeCdxexQy)()()( dxexQeCeydxxPdxxPdxxP)()()()(代入代入得得齐次通解非齐次特解返回17(三)一阶线性微分方程(三)一阶线性微分方程例例1.xexyysincos Cxylnsinln .sin xCey xexCysin)( xxeexCsinsin)( xeCxysin)( 0cos xyy1)( xC得得CxxC )(故故由由xdxydycos 常数变易常数变易代入非齐次方程,得代入
12、非齐次方程,得.sinsinxxxeCe .)(sin xexCy 将将解:解:18(三)一阶线性微分方程(三)一阶线性微分方程例例2.21xyxy 2)(1)(xxQxxP ,xx1lnln dxexQdxxP)()()ln(2)2(xeCxy dxxdxxP1)( dxexx1ln2, 22xxdx因因故故xCx)2(2 .23xCx dxxPdxxPeCdxexQy)()()(解:解:19(三)一阶线性微分方程(三)一阶线性微分方程例例3.0ln dyyyydxxdyyxydydxln11 0ln dxdyyyydxdyxydxdyyyx )ln(解:解:20(三)一阶线性微分方程(三)
13、一阶线性微分方程yxydydxln11 Cyxlnlnln yClnln yyCx)lnln( .lnlnyyCy 常数变易常数变易01 xydydxydyxdx Cyx yyCx)( yyyCln1)( yyyCln1)( dyyyyC ln1)(故故21(三)一阶线性微分方程(三)一阶线性微分方程yxydydxln11 yyQyyPln1)(1)( , dyydyyP1)(,yy1lnln dyeyQdyyP)()( dyeyy1lnln1 dyyyln1,ylnln )ln()lnln(yeCyx yyC)lnln( .lnlnyyCy 因因故故22(三)一阶线性微分方程(三)一阶线性微
14、分方程例例4. 设某种商品的设某种商品的供给量供给量QS与与需求量需求量QD是只依赖是只依赖于价格于价格P的线性函数:的线性函数:)(SDQQrdtdP ,bPaQS ,dPcQD 且且 a, b, c, d 都是已知的正常数都是已知的正常数当当 QS = QD 时,得时,得均衡价格均衡价格.dbcaP 当当 QS QD 时,价格将下降,时,价格将下降,当当 QS QD 时,价格将上涨,时,价格将上涨, 故价格是时间故价格是时间t 的函数的函数假设在时刻假设在时刻t价格价格P(t)的变化率与这时的过剩需求量的变化率与这时的过剩需求量SDQQ 成正比,即成正比,即PdcrbardtdP)()(
15、hkPdtdP ,则,则hk.)(0PePPPkt 0)0(PP 23第三节几种二阶微分方程第三节几种二阶微分方程(一)最简单(一)最简单的二阶微分方程的二阶微分方程.cos2xeyx 12sin21Cxeyx .cos41212CxCxeyx .)(21CxCdxdxxfy 1)(Cdxxfy )(xfy 解:解:例例1.求解微分方程求解微分方程24(二)不显含未知函数(二)不显含未知函数 y 的二阶微分方程的二阶微分方程令令),(yxfy )(xpy )(xpy ),(pxfp .312)1(002 xxyyyxyx,)(xpy )(xpy ,xppx2)1(2 dxxxpdp212 则则
16、于是于是例例2.求解微分方程求解微分方程解:解:设设则则代入方程得代入方程得),(1Cxp ),(1Cxy 21),(CdxCxy 25故故(二)不显含未知函数(二)不显含未知函数 y 的二阶微分方程的二阶微分方程由由dxxxpdp212 12ln)1ln(lnCxp )1(21xCp 3)0( y1)0( y. 133 xxy231)31(CxxCy 1)31(33 xxy)01(321 C231)0310(1CC y 31 C12 C)1(21xCy 代入代入代入代入即即26故故(二)不显含未知函数(二)不显含未知函数 y 的二阶微分方程的二阶微分方程或由或由dxxxpdp212 12ln
17、)1ln(lnCxp )1(21xCp 3)0( y1)0( y. 133 xxy233Cxxy 133 xxy)01(321 C230031C y 31 C12 C)1(32xy 代入代入代入代入即即233x 27(三)不显含自变量(三)不显含自变量 x 的二阶微分方程的二阶微分方程令令)(ypy dxydy ),(pyfdydpp . 1)0(1)0(2 yyyyy,)(ypy dydppy ,ypdydpp2 0)( ypdydppdxdydyydp )(dydpppdydp ),(yyfy 则则于是于是例例3.求解微分方程求解微分方程解:解:设设则则代入方程得代入方程得dxydp)(
18、0 p),(1Cyp ),(1Cyy 21),(CxCydy 28(三)不显含自变量(三)不显含自变量 x 的二阶微分方程的二阶微分方程 由由0 ypdydp1)0(1)0( yy,111 C21lnCxCy 1)0( y021eC xey 00yp1lnlnlnCyp yCy1 yCp1 y dxCydy1 xCeCy12 Cy 11 C12 Cydypdp 由由包含在上述通解中包含在上述通解中代入代入代入代入故故为所求特解为所求特解.29(三)不显含自变量(三)不显含自变量 x 的二阶微分方程的二阶微分方程 或由或由0 ypdydp1)0(1)0( yy,111 C2lnCxy 1)0(
19、y021eC xey 1lnlnlnCyp yy yCp1 y dxydy xeCy2 11 C12 Cydypdp 代入代入代入代入故故为所求特解为所求特解.而由而由00 yp与与1)0( y矛盾,矛盾,0 p即即30练习题及解答练习题及解答1.求解微分方程求解微分方程.1)0(0)0(12 yyyy法一法一.)(xpy )(xpy 21pp 111ln21Cxpp xeCpp2111 peCeCpxx21211 112121 xxeCeCp令令则则代入原方程代入原方程)01( 122 pdxpdpy 31练习题及解答练习题及解答1.求解微分方程求解微分方程.1)0(0)0(12 yyyy1
20、12121 xxeCeCy代入代入)01( 122 pdxpdp1)0( y11111 CC,1111 CC矛盾矛盾故故012 p1 py.2Cxy 代入代入0)0( y200C . xy 02 C因因1)0( y故故.xy 32yeCp2121 练习题及解答练习题及解答1.求解微分方程求解微分方程.1)0(0)0(12 yyyy)(ypy dydppy 21pdydpp )01( 122 pdyppdp2y 12ln)1ln(21Cyp yeCp2121 12ln2)1ln(Cyp 法二法二.令令则则代入原方程代入原方程33练习题及解答练习题及解答1.求解微分方程求解微分方程.1)0(0)0
21、(12 yyyy代入代入,1)0( y故故12 y1 y.2Cxy 代入代入0)0( y200C . xy 02 C因因1)0( y故故.xy )01( 122 pdyppdpyeCy2121 01211eC . 01 C0)0( y34练习题及解答练习题及解答2.0)4()5( yy0 zz则则)4(yz xeCy1)4( .3524321xCxCxCCeCyx ,dxzdz ,Cxzlnln ,xeCz1 解:解:令令故所求通解为故所求通解为35第四节二阶常系数线性微分方程第四节二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程0)( xf)(xfqyypy 0)( xf0
22、 qyypy齐次齐次非齐次非齐次二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程36(一)二阶常系数线性齐次方程(一)二阶常系数线性齐次方程叠加原理叠加原理)(1xy)(2xy)()(2211xyCxyCy 0 qyypy方程方程和和的解的解的线性组合的线性组合仍是该方程的仍是该方程的解解.证明:证明:,2211yCyCy ,2211yCyCy 2211yCyC 左左)(2211yCyCp )(2211yCyCq )(1111qyypyC )(2222qyypyC .0 37(一)二阶常系数线性齐次方程(一)二阶常系数线性齐次方程定理定理9.1 如果 y1、y2 是方程 yp y q y
23、0 的两个特解,而且 y1 / y2 不等于常数,则 y C1 y1 C2 y2 是该方程的通解,其中 C1 与 C2 为任意常数 (常数)(常数)kxyxy )()(21(常数)(常数)kxyxy )()(21线性无关:线性无关:线性相关:线性相关:)()(2211xyCxyCy .)()()(22112CxyxyCxy )()(2211xyCxyCy )()()(22112CxyxyCxy )(212CkCxy ).(2xCy 38(一)二阶常系数线性齐次方程(一)二阶常系数线性齐次方程将将0 qyypyxey 02 xxxqeepe 0)(2 xeqp 2422, 1qpp 02 qp
24、代入方程代入方程特征方程特征方程(characteristic equation)特征根特征根( characteristic root)39(一)二阶常系数线性齐次方程(一)二阶常系数线性齐次方程(1)当当 xey11 21 042 qpxey22 keyyx )(2121 .2121xxeCeCy .054的的通通解解求求微微分分方方程程 yyy,0542 0)5)(1( ,5121 xxeCeCy521 故为所求通解故为所求通解故所求通解为故所求通解为0 qyypy时,时,方程,方程的特解的特解和和线性无关线性无关例例1.解:解:特征方程特征方程特征根特征根40(一)二阶常系数线性齐次方
25、程(一)二阶常系数线性齐次方程(2)当当.1xey ,221p 042 qpkxuyy )(12.21xxxeCeCy 1y2yxueuyy 12,0)( xu故所求通解为:故所求通解为:,21)(kxkxu ,xxu )(时,时,方程方程的特解为的特解为0 qyypy为求与为求与线性无关的解线性无关的解,设,设得得代入方程代入方程0 qyypy中中0 xque xeuup )( xeuuu )2(2 u up )2( 0)(2 uqp xxey 2,02 p 41(一)二阶常系数线性齐次方程(一)二阶常系数线性齐次方程例例2.1)0(0)0(096的特解的特解,求方程求方程 yyyyy,09
26、62 0)3(2 . 321 ,代代入入初初始始条条件件因因xxxxeCeCeCy32323133 13)0(0)0(211CCyCy故为所求特解故为所求特解xxey3 解:解:特征方程特征方程特征根特征根xxxeCeCy3231 即即为所求通解为所求通解 1021CC42(一)二阶常系数线性齐次方程(一)二阶常系数线性齐次方程(3)当当042 qpipqip 2422, 1xie)( xie)( sincosiei xie)( ,xeeeyxxixi cos21)()(1 ,得,得时,时,0 qyypy的特解的特解和和得的方程得的方程由欧拉公式由欧拉公式)sin(cos)(xixeeeexx
27、ixxi xixee )sin(cosxixex 故有故有,xeeeiyxxixi sin21)()(2 43(一)二阶常系数线性齐次方程(一)二阶常系数线性齐次方程因因.054的的通通解解求求方方程程 yyy0542 .22, 1i 故为所求通解故为所求通解xeCxeCyxxsincos2221 xeCxeCyxx sincos21 kxxyy sincos21,故所求实数形式的通解为,故所求实数形式的通解为例例3.解:解:特征方程特征方程特征根特征根44(一)二阶常系数线性齐次方程(一)二阶常系数线性齐次方程例例4.3524321xCxCxCCeCyx 0)4()5( yy,045 0)1
28、(4 . 0154321 ,0 zz则则)4(yz 或令或令xeCy1)4( .3524321xCxCxCCeCyx ,dxzdz ,Cxzlnln ,xeCz1 解:解:特征方程特征方程特征根特征根故所求通解为故所求通解为,xe1,xxe0,xe0,xex02.03xex45(一)二阶常系数线性齐次方程(一)二阶常系数线性齐次方程例例5.0843)2()3()4()5( yyyy解:解:特征方程特征方程特征根特征根故所求通解为故所求通解为08432345 0)84)(1(22 .22105,432, 1i ,.2sin2cos2524321xeCxeCeCxCCyxxx 0)843(232
29、,xe0,xxe0,xe1 ,xex2cos2.2sin2xex46(一)二阶常系数线性齐次方程(一)二阶常系数线性齐次方程(练习题)练习题)如果如果 是方程的解,是方程的解,则则 a = ( ).iaaaa220222022 xeyx2cos 05 yyay2解:解:特征方程为特征方程为052 a 2220122aa. 2 a47(二)二阶常系数线性非齐次方程(二)二阶常系数线性非齐次方程定理定理9.2 (非齐次方程解的结构非齐次方程解的结构) 若若)()(2211xyCxyC )()(2211xyCxyCy 0)()( yxqyxpy)(xy )()()(xfyxqyxpy )()()(x
30、fyxqyxpy 是非齐次方程是非齐次方程的任意一个的任意一个特解特解,是对应的齐次方程是对应的齐次方程的的通解通解,则则是非齐次方程是非齐次方程的的通解通解.)(xy 48(二)二阶常系数线性非齐次方程(二)二阶常系数线性非齐次方程(1)(1)()(xPexfmrx .)(次多项式次多项式的一个的一个是是为常数,为常数,其中,其中,mxxPrm.)(次次多多项项式式是是待待定定的的 mxQm)(xQexymrx k是特征方程的重根是特征方程的重根,是特征方程的单根是特征方程的单根,不是特征方程的根不是特征方程的根, rrr210k)(xfqyypy 0 qyypy02 qp 00)(2 qp
31、qyypyxfqyypy 例例1 149(二)二阶常系数线性非齐次方程(二)二阶常系数线性非齐次方程)(xPeqyypymrx )1(2 xeqyypyxxeqyypy2 12 xqyypy)1(20 xex)2(0 xex 1 qyypy)(00 xex 50(二)二阶常系数线性非齐次方程(二)二阶常系数线性非齐次方程)(xPeqyypymrx rxexxy)12(3 rxexy)23(2 rxrexx)12(3 rxerrxxrx)223(23 )(?xQeyrx 51)(xQrerx )(xQrerx )(2xQrerx (二)二阶常系数线性非齐次方程(二)二阶常系数线性非齐次方程)(x
32、Qeyrx )(xQreyrx )(xQerx )(2xQeryrx )(xQerx )(xQerx )(xPeqyypymrx )(xQeyrx 得:得:约去约去rxe)()()()()2()(2xPxQqprrxQprxQm 52(二)二阶常系数线性非齐次方程(二)二阶常系数线性非齐次方程)()()()()2()(2xPxQqprrxQprxQm 不是特征方程的根不是特征方程的根当当r0 k0)(2 qprr)()(xQxQm )(xQeymrx )(xQexymrx k53(二)二阶常系数线性非齐次方程(二)二阶常系数线性非齐次方程)()()()()2()(2xPxQqprrxQprxQ
33、m 是特征方程的单根是特征方程的单根当当r1 k 0202prqprr)()(1xQxQm )(xQxeymrx )(xQexymrx k0)()()2()(xPxQprxQm 54(二)二阶常系数线性非齐次方程(二)二阶常系数线性非齐次方程)()()()()2()(2xPxQqprrxQprxQm 是特征方程的重根是特征方程的重根当当r2 k 0202prqprr)()(2xQxQm )(2xQexymrx )(xQexymrx k0)()(xPxQm 55(二)二阶常系数线性非齐次方程(二)二阶常系数线性非齐次方程)(xPeqyypymrx .)(次多项式次多项式的一个的一个是是为常数,为
34、常数,其中,其中,mxxPrm.)(次多项式次多项式是待定的是待定的 mxQm)(xQexymrx k是特征方程的重根是特征方程的重根,是特征方程的单根是特征方程的单根,不是特征方程的根不是特征方程的根, rrr210k002 qpqyypy 56(二)二阶常系数线性非齐次方程(二)二阶常系数线性非齐次方程例例1.例例1.解解:.652的的通通解解求求微微分分方方程程xxeyyy .3206506532212xxeCeCyyyy 其其通通解解为为:;,其其特特征征根根为为,其其特特征征方方程程为为,对对应应的的齐齐次次方方程程为为 的的特特解解为为故故令令非非齐齐次次方方程程是是特特征征方方程
35、程的的单单根根,因因xxeyyyr2652 ).(2baxxeyx 57(二)二阶常系数线性非齐次方程(二)二阶常系数线性非齐次方程,)()(222bxaxebaxxeyxx )(222bxaxeyx )222(222bbxaxaxeyx )2(2baxex ,)222(22bbxaxaxex )224(2baaxex ,)42484(22babxaxaxex 58(二)二阶常系数线性非齐次方程(二)二阶常系数线性非齐次方程xxeyyyyyy265 代代入入非非齐齐次次方方程程,将将xbaax 22 02 12baa. 121 ba)121(2 xxeyx.)2(2123221xxxexxeC
36、eCy 得得:59(二)二阶常系数线性非齐次方程(二)二阶常系数线性非齐次方程(2)(2)sin)(cos)()(xxPxxPexfnmx .)()(次次多多项项式式次次与与的的分分别别是是与与为为常常数数,、其其中中,nmxxPxPnm .)()(,max次多项式次多项式是待定的是待定的、,lxRxQnmlll sin)(cos)(xxRxxQexyllx k是特征方程的根是特征方程的根,不是特征方程的根不是特征方程的根, ii10k60(二)二阶常系数线性非齐次方程(二)二阶常系数线性非齐次方程例例2.例例2.解:解:.cos的的通通解解求求微微分分方方程程xyy .sincos 010212xCxCyiyy 其其通通解解为为:;,其其特特征征根根为为其其特特征征方方程程为为对对应应的的齐齐次次方方程程为为 的的特特解解为为故故令令非非齐齐次次方方程程是是特特征征方方程程的的根根,因因xyyiicos0 ).sincos()sincos(0 xcxbxxcxbxeyx 61(二)二阶常系数
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