第三节：向量的内积与施密特正交化过程

1、二次型二次型二次型化标准型二次型化标准型一一.向量的内积与施密特正交化过程向量的内积与施密特正交化过程cos 123123( ,) ,( , , )TTa a ab b b2221231 12 23 3,aaaababab 1 12 23 3222222123123cosaba babaaabbb 0,0引言：在几何空间，我们学过向量的长引言：在几何空间，我们学过向量的长两向量夹角的概念，并由此定义两向量两向量夹角的概念，并由此定义两向量的数量积的数量积利用坐标分别有下面计算公式：设利用坐标分别有下面计算公式：设，（设则则设设为了今后应用的需要，将这些概念为了今后应用的需要，将这些概念及公式推

2、广到及公式推广到n维向量。维向量。1212( , , , ) ,( , , , )TTnna aab bb1 122( ,)TTnna ba ba b nR 1. 向量的内积向量的内积定义定义1 n维向量空间维向量空间中任两个向量中任两个向量的内积定义为的内积定义为并称定义了内积的向量空间为欧氏空间并称定义了内积的向量空间为欧氏空间(1)( , )( , ) (2)(,)(,)(,)(3)(,)(,)(,)(,)(,)(,)kkk (4)(,)0; (,)0 0内积具有下列性质：内积具有下列性质： （交换性）（交换性）;k为数为数（性质（性质(2)，(3)称单线性）称单线性） （当且仅当当且仅

3、当。以上证明留给读者。以上证明留给读者。12(,)Tnaaa22212(,)naaa 001定义定义2 设设， 称向量称向量的长度。长度为的长度。长度为1的向量称单位向量。的向量称单位向量。，即为一单位向量。称将，即为一单位向量。称将单位化。单位化。设设0;00kk( ,) 向量的长度有下列性质：向量的长度有下列性质：。当且仅当当且仅当；(2).齐次性：齐次性：； (3).三角不等式：三角不等式： 以上性质证明留给读者。以上性质证明留给读者。证略证略。(1).非负性：非负性：(4).柯西不等式：柯西不等式：(,)1(,)a rc c o s( ,)cos 由柯西不等式得由柯西不等式得：由此可定

4、义两非零向量的夹角：由此可定义两非零向量的夹角：； 或, 2( , ) 0 , ( , )0 (,)0, 对于两非零向量对于两非零向量当当时，称两向量正交。这里显然等价于时，称两向量正交。这里显然等价于又零向量与任何向量看作是正交的，且又零向量与任何向量看作是正交的，且中只要有一个为零向量，必有中只要有一个为零向量，必有因此可利用内积定义两向量正交。因此可利用内积定义两向量正交。称称正交，记正交，记。定义定义3 若若因此可利用内积定义两向量正交。因此可利用内积定义两向量正交。定义定义4 设向量组设向量组12,r 为两两正交的非零向量，为两两正交的非零向量，称其为正交向量组。称其为正交向量组。如

5、果正交向量组中。每个向量还是单位向量如果正交向量组中。每个向量还是单位向量量则称其为标准正交向量组或正交规范向量则称其为标准正交向量组或正交规范向量组。如它们还是向量空间的基底则分别称量组。如它们还是向量空间的基底则分别称其为正交基或标准（规范）正交基。即正交其为正交基或标准（规范）正交基。即正交规范组（基）满足规范组（基）满足1( , )1 ,2, ,0iji jiri j12,r 12,r 定理定理1 设设为正交向量组，则为正交向量组，则是线性无关的。是线性无关的。12(1,1,1,1) ,(1,0,1,0)TT12, 1234( ,)Txx x x x10Tx20Tx例例1 求与向量求与

6、向量都正交的向量集。都正交的向量集。都正交的向量为都正交的向量为由由得齐次线性方程组得齐次线性方程组解：设与解：设与123413400 xxxxxxx12( 1,0,1,0)( 1,0,0,1)TTx kk12,即为与即为与解得解得都正交的向量集都正交的向量集12,r12,r12,r 2.施密特正交化方法施密特正交化方法是线性无关的向量组，寻找一个标准正交向量组是线性无关的向量组，寻找一个标准正交向量组使其与使其与等价。等价。，设设其作法分两步其作法分两步(1).正交化，令正交化，令112122111(,)(,)313233121122(,)(,)(,)(,)121121112211(,)(,

7、)(,)(,)(,)(,)rrrrrrrrr ， ， 121212,rrr12, , ,r 12,r12,r 是正交规范向量组，且是正交规范向量组，且等价。上述过程称等价。上述过程称Schmidt（施密特）正交（施密特）正交化过程。（方法）化过程。（方法）仍与仍与显然显然(2). 单位化（规范化）：取单位化（规范化）：取123(1,0,1) ,(1,1,0) ,(0,1,1)TTT11(1,0,1)T2122111(,)1111(1,1,0)(1,0,1)( ,1,)(1,2, 1)(,)2222TTTT 313233121122(,)(,)111(0,1,1)(1,0,1)(1,2, 1)(

8、,)(,)232TTT 2( 1,1,1)3T例例2 设设用用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。正交化过程将其化为标准正交组。解：取解：取11111(1,0,1)222211(1,2,1)633311(1,1,1)3单位化得单位化得TAAI1TAA3. 正交矩阵与正交变换正交矩阵与正交变换定义定义5方阵方阵A满足满足则称则称A为正交矩阵。由定义不难得到：为正交矩阵。由定义不难得到：A为正交矩阵为正交矩阵。1212(,)TTnTnA1,(,)0.TTijijij 1,(,)0.ijijij 令令由上式不难得到：由上式不难得到：A为正交矩阵为正交矩阵即即A的行（列）向量是两两正交的单位向

9、量的行（列）向量是两两正交的单位向量的正交规范基）的正交规范基） 即是即是nR110022110022110022110022A例例3令令验证验证A为正交矩阵为正交矩阵解：因列向量组为两两正交解：因列向量组为两两正交的单位向量，故为正交矩阵的单位向量，故为正交矩阵。,nX YRYAXcossinsincos定义定义6 设设则称线性变换则称线性变换是正交变换。是正交变换。是正交变换。是正交变换。例例4 证明线性变换证明线性变换cossinsincosxxyyxy 解：线性变换的矩阵为解：线性变换的矩阵为其行（列）向量是两两正交的单位向量其行（列）向量是两两正交的单位向量故为正交矩阵，故上述线性变换是正交故为正交矩阵，故上述线性变换是正交变换。上述线性变换代表平面上的一个变换。上述线性变换代表平面上的一个坐标旋转，因此平面上的坐标旋转变换坐标旋转，因此平面上的坐标旋转变换是正交变换是正交变换 下面介绍正交变换的性质：下面介绍正交变换的性质：1）.设设YC X为一正交变换，则为一正交变换，则XY即正交变换保持向量长度不变。即正交变换保持向量长度不变。2）设）设YCX为一正交变换，对任意为一正交变换，对任意12,nX XR1122,YCX YCX1212(,)( ,)XXY Y则有则有即正交变换下向量内积不变。由于