线性代数基础知识点

1、0的特征向量aEbAr(aE bA)(aE bA)x=-旦n有非零解线性代数基础知识点A可逆r（A） nA的列（行）向量线性无关A的特征值全不为0Ax 只有零解x ，AxA 0Rn,Ax总有唯一解ATA是正定矩阵A EA pi p2 Ps Pi是初等阵 存在n阶矩阵B,使得AB E或AB E（注注：全体n维实向量构成的集合 Rn叫做n维向量空间.A不可逆r（A） nA 0A的列（行）向量线性相关0是A的特征值Ax有非零解,其基础解系即为A关于具有 反身性、对称性、传递性向量组等价 矩阵等价（） 矩阵相似（：） 矩阵合同（；）v 关于 e,e2, ,en: 称为？ n的标准基，？ n中的自然基，

2、单位坐标向量; e,e2, ,en线性无关； e,e2, ,en 1 ； trE= n ；任意一个n维向量都可以用e, 62, ,en线性表示行列式的定义V行列式的计算:a11C12LC21C22LMMCn1an2Laina2nMannDn()(如2 "如羣 L anjn jL jn行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零若A与B都是方阵（不必同阶），则A OO BO AB O上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积A|b（拉普拉斯展开式）1

3、)mn Al BC1 nO%a2n 1a2n 1NNan1Oan1O关于副对角线:n(n 1)1)c!na2nKan1所有取自不同行不同列的 n个元素的乘积的代数和）范德蒙德行列式:X12X1Mn 1X1X22X2M1矩阵的定义个数排成的ACijmn 或 A伴随矩阵 AAjAI1A12MA1nV逆矩阵的求法nX2A21A22MA2nXn2XnMn 1XnXiXja11a!2a1 n列的表a21Ma22Mam2C2n称为mMn矩阵.记作:An1An2,Aj为A中各个元素的代数余子式M jAnnA 1 AAa(® ：cbd(AME)初等行变换(EMA1)a11 1a21a31a3V方阵的

4、幕的性质：AmAn AmnV设Am n, Bn s, A的列向量为1, 21 d b主L换位ad bc c a副L变号1a1a2a3111(Am)n (A)mnn , B的列向量为1 ,2 , s ,则 AB Cm sLb1sb21b22Lb2s1 j2 ,j nC1 j C2 ,LMMMbn1bn2LbnsA ici(i 1,2 ,L ,s)为Ax CiA nA,AC1，p2，L ，CsCnC?丄,Cs 可由 1, 2线性表示.即：C的列向量能由A的列向量线性表示,B为系数矩阵a12L91 n1C1即:921922L92n2C2MMMMM9n1an2LnCmV用对角矩阵困乘一个矩阵,相当于用

5、同理:C的行向量能由B的行向量线性表示,用对角矩阵(右右乘一个矩阵，相当于用a111 9122L91n 2q9211 9222L92n 2C2LLL9m11am22L9mn 2CmA为系数矩阵的对角线上的各元素依次乘此矩阵的V两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘V分块矩阵的转置矩阵:分块矩阵的逆矩阵:ATBatCTCDbtdtA1A1BB 1B1A 1A11 1A 1CB 1A1B 1CA 1分块对角阵相乘：AAI1A22,BB22ABAI1B11，AnA22 B22A1A；分块对角阵的伴随矩阵:1)mn*BA(1)mn*AB矩阵方程的解法（A 0）:设法化成（I）AXB 或(II

6、)XA零向量是任何向量的线性组合，零向量与任何同维实向量正交单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关部分相关，整体必相关；整体无关，部分必无关（向量个数变动）（向量维数变动）原向量组无关，接长向量组无关；接长向量组相关 ，原向量组相关.两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关向量组1, 2,n中任一向量i （1 < i w n）都是此向量组的线性组合向量组n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示向量组n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n 1个向量线性表示.m维列向量组2， n线性相关r(A) n ；m维列向量组2， n线性无关r(A) n.n

7、线性无关，而线性相关，则可由1,2， n线性表示，且表示法唯矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为0;每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素非零.当非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在列的其他元素都是0时，称为行最简形矩阵 ? 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩，且不改变列向量间的线性关系;矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩，且不改变行向量间的线性关系 即：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩V矩阵的初等变换和初等矩阵的关系:对A施行一次初等(行行变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵(左左乘A

8、 ;对A施行一次初等d少变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵 乘A.矩阵的秩如果矩阵A存在不为零的r阶子式，且任意r 1阶子式均为零，则称矩阵A的秩为r .记作r(A) r向量组的秩向量组2，L ， n的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩记作r( 1，2，L ， n)矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：A%B向量组等价1，2， n 和1 , 2,n可以相互线性表示记作:? 矩阵A与B等价PAQ B ,P，Q 可逆 r( A)r(B),代B为同型矩阵A,B列(行)向量组等价，即:秩相等的向量组不一定等价矩阵A与B列向量组等价r(n) r( 1,2,n) r (1，2,1，2，

9、 n )矩阵A与B等价.? 向量组1,2,s可由向量组n线性表示AX B有解r(n)= r(2， s)r(1，2，s) w r(? 向量组2,s可由向量组n线性表示,且s n，则s线性相关向量组2,s线性无关，且可由2， n线性表示，则s w n ? 向量组2,s可由向量组n线性表示，且r(r(1，2，n)，则两向量组等价;? 任一向量组和它的极大无关组等价向量组的任意两个极大无关组等价 ? 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一确定若r(A) n , A的列向量线性无关，即: 1, 2,n线性无关V矩阵的秩的性质：若AOr(A) > 1若 A Or(A) 00 w r(

10、Am n) w min( m,n) r(A)r(AT) r(ATA) r(kA)r(A)若 k 0若Amn，Bns，若r(AB) 0B的列向量全咅:是AX0的解? 设A是m n矩阵，若r(A)m， A的行向量线性无关; r(AB) < min r(A),r(B)? 若两个线性无关的向量组等价则它们包含的向量个数相等-若 A可逆r(AB) r(B)若 B 可逆r(AB) r(A)即：可逆矩阵不影响矩阵的秩Ax只有零解若 r(Am n) nr(AB) r(B)A在矩阵乘法中有左消去律AB O B OAB AC B C若r(A) rA与唯一的ErO0等价称O为矩阵A的等价标准型 r(A B)

11、< r(A) r(B)max r(A), r(B) < r(A, B) < r(A) r(B)r(A) r(B)r(A) r(B)可由1, 2丄，n线性表示Ax 有解r(A) r(AM )Ax有无穷多解表示法不唯一当A为方阵时A 01, 2,L , n线性相关Ax0有非零解Ax有唯一组解当A为方阵时A 0克莱姆法则表示法唯一1, 2,L , n线性无关Ax只有零解r(A) r(AM )不可由1, 2,L , n线性表示Ax 无解r(A) r(AM )r(A) 1 r(AM )有无穷多解有唯一解其导出组有非零解其导出组只有零解a11a12Lai nx1a21a22La2nX2b

12、2A,xJMMMMMam1am2Lamnxbm线性方程组的矩阵式Ax向量式XiX2LXn n1jM1,2，L，nmj(1,2 丄n)Xn矩阵转置的性质：(At)t A(ab)t btat(kA)TkATatIA(A B)T AT BT(A1)T (AT)1(AT ) (A )T矩阵可逆的性质：1 1(A )A1 1 1(AB)B A1 1 1(kA)k AA1IA11 1 1(A B)AB(A1)k (Ak)1 Ak伴随矩阵的性质：(A ) An 2 A(AB) B A(kA) kn1AA|IAn1* * *(A B) A B(A1) (A)1 存(Ak)(A)kn若 r(A)nr(A)1若

13、r(A)n10若 r(A)n1|ab A b|kA kn|AAkIAka B IA IBAA AA |AE （无条件恒成立）方程个数 向量维数向量个数"判断 1, 2,L , s 是 Ax的基础解系的条件:(2)是Ax的解,对任意k, k也是它的解齐次方程组(3)1, 2丄,)是Ax的解,对任意k个常数11 , 2 ,L ,k,1 12 2 k k也是它的解线性方程组解的性质：(4)是Ax的解，是其导出组Ax 的解，是Ax的解(5)1, 2是Ax的两个解，12是其导出组Ax 的解(6)2是Ax的解,则1也是它的解12是其导出组Ax 的解(7)1, 2丄,k是Ax的解，则1 12 2k

14、 k也是Ax的解12k11 12 2k k是Ax 0的解1 2k0V设A为m n矩阵,若r(A)mr(A) r(AM )Ax一定有解,1 , 2是AX的解，！2也是它的解当m n时,一定不是唯一解未知数的个数则该向量组线性相关m是r(A)和r(AM )的上限. 1, 2,L , s线性无关； 1, 2,L , s都是Ax 的解;s n r(A)每个解向量中自由未知量的个数V 个齐次线性方程组的基础解系不唯一.V若 是Ax的一个解，1, ,L , s是Ax的一个解1, ,L , s,线性无关V Ax与Bx同解(代B列向量个数相同)，则： 它们的极大无关组相对应，从而秩相等; 它们对应的部分组有一

15、样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系 V两个齐次线性线性方程组 Ax与Bx同解r(A) r(B)."两个非齐次线性方程组 Ax 与Bx都有解，并且同解r AM r(A) r(B) BM"矩阵Am n与Bl n的行向量组等价齐次方程组 Ax 与Bx 同解 PA B (左乘可逆矩阵 P ); p教材仙矩阵Amn与Bl n的列向量组等价AQ B (右乘可逆矩阵Q ).V关于公共解的三中处理办法： 把(I)与(II)联立起来求解； 通过(I)与(II)各自的通解，找出公共解；当(I)与(II)都是齐次线性方程组时，设1, 2, 3是的基础解系，4, 5是(II)的基础解系，则

16、(I)与(II)有公共解基础解系个数少的通解可由另一个方程组的基础解系线性表示即：r( 1,2,3) r( 1,2,3MC1 4 勺 5)当(l)与(II)都是非齐次线性方程组时，设1 0 1 c2 2是(I)的通解，2 c3 3是(II)的通解，两方程组有公共解 2 Q 31可由1, 2线性表示 即：r( 1, 2) r( 1, 2M2 c3 31) 设(I)的通解已知，把该通解代入(II)中，找出(I)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求公共解。1.naib 一 印“a?b2La.mi 1标准正交基 n个n维线性无关的向量，两两正交，每个向量长度为亠=TT向量a1,a2,L ,a

17、n 与 db,L , bn 的内积与正交(，)0.记为:n向量a1,a2,L ,an t 的长度 | | J(,)a； L2an11(,)1.即长度为1的向量正定性：(,)0,且(，)0对称性：(,)(,)双线性：(,1 2) ( , 1)(12, ) ( 1,)(是单位向量V内积的性质:2 ,2)2 aii 1(c , ) c()(,c )A的特征矩阵| E A.|A的特征多项式| E A ().()是矩阵A的特征多项式(A) OA的特征方'程E A 0.Ax x ( x为非零列向量)Ax与x线性相关nV A 1 2L ni tr A , tr A称为矩阵A的迹.1V上三角阵、下三角

18、阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素V若A 0,则0为A的特征值，且Ax的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量a1V r(A) 1A -疋可分解为a2A=2Mb, b2, L2,0、A(aQ a?b2 L anbn) A,从而A的特征值为:an1 tr Aa1b1a2b2 Lanbn ,23 Ln0P 指南 358 .囲印总,L,anT为A各行的公比，d,b2,L ,bn为A各列的公比.V若A的全部特征值1, 2,L , n, f (A)是多项式,则： 若A满足f(A) OA的任何一个特征值必满足 f( i) 0 f(A)的全部特征值为 f( i), f( 2), L ,f( n) ；

19、 I f(A) f( i)f( 2)L f( n).V初等矩阵的性质:|E(i,j)|1|Ei(k)| kEi,j(k)| 1E(i, j)T E(i, j)Ei(k)T Ei(k)Ei, j(k)T Ej,i(k)1E(i, j)E(i,j)Ei(k) 1 Ei(4)1Ei, j(k)Ei, j( k)E(i, j)*E(i, j)Ei(k)*kEi(“Ei, j(k)* Ei, j( k)V 设 f(x) amXm am iXm 1 La°，对 n 阶矩阵 A规定：f (A) amAm am iAm 1 La°E 为 A的一个多项式kAkbaA bEAtaV是A的特征值

20、,则：A 1分别有特征值1AIA1 2L 3A22AmmkAkaA bEabA 11Vx是A关于 的特征向量，则x也是关于IA|L的特征向量A|A1 2L 3A22AmmV A2,Am的特征向量不 -定是 A的特征向量V A与A有相同的特征值，但特征向量不一定相同A与B相似1P AP B （ P为可逆矩阵）记为：A: B 1A与B正交相似 P AP B（P为正交矩阵）A可以相似对角化A与对角阵相似.记为：A:（称是A的相似标准形）V A可相似对角化n r（ jE A） kj K为i的重数A恰有n个线性无关的特征向量.这时，P为A的特征向量拼成的矩阵,P 1AP为对角阵，主对角线上的元素为 A的

21、特征值设i为对应于i的线性无关的特征向量则有:A( 1， 2 丄，n) (A 1, A 2 ,L , A1 44 2 4 43pn)( 11，22，L ，n n) ( 1， 2，L ， n)1 44 2 4 43p12On1 4 442 4 4 令囲：当j 0为A的重的特征值时，A可相似对角化i的重数 n r(A)Ax基础解系的个数V若n阶矩阵A有n个互异的特征值A可相似对角化V若A可相似对角化，则其非零特征值的个数（重根重复计算）r(A).g( i)"若 A:Ak=P kP 1, g(A) Pg( )Pg( 2)OP 1g( n)V相似矩阵的性质: E A E B ,从而代B有相同

22、的特征值，但特征向量不一定相同(注注x是A关于0的特征向量，P 1x是B关于0的特征向量. tr A tr B A B 从而 代B同时可逆或不可逆 r(A) r(B)At : Bt ； A1 : B 1 (若代B均可逆)；A : B Ak : Bk( k 为整数)；f (A) : f (B)， f(A) f (B) A： B,C : D 前四个都是必要条件V数量矩阵只与自己相似.V实对称矩阵的性质： 特征值全是实数，特征向量是实向量; 不同特征值对应的特征向量必定正交；建：对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 一定有n个线性无关的特征向量.若A有重的特征值，该特征值i的重数=n r

23、( iE A)； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形; 与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形；两个实对称矩阵相似有相同的特征值正交矩阵| aA EV A为正交矩阵 A的n个行（列）向量构成 ？ n的一组标准正交基V正交矩阵的性质：A A 1 ； aat A a e ； 正交阵的行列式等于 1或-1; A是正交阵,则AT , A 1也是正交阵; 两个正交阵之积仍是正交阵；A的行（列）向量都是单位正交向量组二次型f(X1,X2,L ,Xn) XTAXnajXiXjaij aji ,即A为对称矩阵，xj 1(X1,X2,L , Xn)TA与B合同CTAC B .记作:A；（A,B为实对称矩阵,C为可逆矩阵正惯性指数 二次型的规范形中正项项数负惯性指数二次型的规范形中负项项数q或者r-p符号差p-q或者（2p-r ） （ r为二次型的秩两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别对应相等两个矩阵合同的必要