线性代数笔记

1、线性代数笔记第一章 行列式 1第二章 矩阵 5第三章 向量空间 32第四章 线性方程组 49第五章 特征值与特征向量 . 错误! 未定义书签。第一章 行列式1.3.1 行列式的性质给定行列式, 将它的行列互换所得的新行列式称为 D 的转置行列式，记为性质 1 转置的行列式与原行列式相等。即（ 这个性质表明 : 行列式对行成立的性 质 , 对列也成立 , 反之亦然 ）性质 2 用数 k 乘行列式 D 的某一行（列）的每个元素所得的新行列式等于kD。推论 1 若行列式中某一行（列）的元素有公因数，则可将公因数提到行列式之外。推论 2 若行列式中某一行（列）的元素全为零，则行列式的值为0。可以证明：

2、任意一个奇数阶反对称行列式必为零。性质 3 行列式的两行（列）互换，行列式的值改变符号。以二阶为例推论 3 若行列式某两行（列），完全相同，则行列式的值为零。性质 4 若行列式某两行（列）的对应元素成比例，则行列式的值为零。性质 5 若行列式中某一行（列）元素可分解为两个元素的和，则行列式可分解为两个 行列式的和，注意 性质中是指某一行（列）而不是每一行。性质 6 把行列式的某一行（列）的每个元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式 的值不变。范德蒙德行列式例 10 范德蒙行列式=(x2-x1)(x3-x1)(x3-x2)1.4 克莱姆法则定理 1.4.1 对于 n 阶行列式定理 1.4.2

3、 惟一的解 :如果n个未知数，n个方程的线性方程组 的系数行列式 Dm 0,则方程组有定理143如果n个未知数n个方程的齐次方程组 的系数行列式 Dm 0,则该方程组只有零 解，没有非零解。推论 如果齐次方程组有非零解,则必有系数行列式D=0。第二章 矩阵一、矩阵的运算1 、矩阵的加法设 A= ( aij ) mMi , B= ( bij ) mn，则A+B= ( aij +bij ) mXn矩阵的加法适合下列运算规则：( 1 )交换律： A+B=B+A( 2)结合律： ( A+B) +C=A+( B+C)(3) A+0=0+A=A此处0表示与A同型的零矩阵，即 A= (aj ) mn , 0

4、=0mM1(4) 矩阵A= (aij ) m,规定-A= (-a j ) m ,(称之为A的负矩阵)，则有A+ (-A) = (-A )+A=0 2、矩阵的数乘设A= (aj ) m, K为数，则KA=( Kaij ) m n 矩阵的数乘适合下列运算规则：( 1) K( A+B) =KA+KB(2) (K+L)A=KA+LA(3) (KL)A=K(LA)( 4) 1*A=A0,而右端的“ 0”表示一个与A行数列数相同的零矩阵。(5) 0*A=0 (左端的零是指数3、矩阵的乘法设 A=( aij )mn, B=( bjk ) nl ,则A*B=C=( cik ) ml其中 C=2 aij bjk

5、 (j=1 , n)注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数； 矩阵乘法不满足交换律 , 即AB不一定等于 BA矩阵乘法有零因子，即 AM 0 (零矩阵)，BM 0 (零矩阵)，但有可能 A*B=0 (零矩阵)矩阵的乘法适合以下法则：( 1)结合律： ( AB)C=A( BC)( 2)分配律( A+B)C=AC+BCC ( A+B) =CA+CB(3) k (AB = ( kA) B=A ( kB),此处 k 是一个数。由于矩阵乘法的结合律，故对于方阵A来说，A的方幕是有意义的，即Ak=A*AA共k个A相乘,从而有k l k+l( 1) AkAl =Ak+l(2)(Ak)l=

6、Akl( 3) I nA=AIn=A4、矩阵的转置将矩阵A的行变成列，列变成行得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作 AT或A注意A是m n矩阵，则A为n m矩阵矩阵的转置适合下列运算法则：(1) (AT)T=A(2) (A+B)T=AT+BT(3) (kA)T=kAT(4) (AB)T=BTAT5、方阵的逆矩阵设A, B为同阶可逆矩阵。常数k丰0。则1.可逆，且2.AB 可逆，。 AA -1=A-1A=E3.也可逆，且-1 k k -1A-1）k=（Ak）-14.kA 也可逆，且 。（注： K 不能为 0）5.消去律 设P是与A, B同阶的可逆矩阵，若 PA=PB则A=Bo若 a丰0, ab=ac

7、 贝U b=c。,并定6. 设A是n阶可逆方阵。定义则有7. 设 A 是 n 阶可逆方阵，则，其中 k，l 是任意整数。2.3.1 逆矩阵的定义定义设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B使得则称A是可逆矩阵，也称非奇异阵。并称若这样的B不存在，则称A不可逆。 定理2.3.1 可逆矩阵A的逆矩阵是惟一的。定理 2.3.2 n 阶方阵 A 可逆的充分必要条件是，且当时，o推论设A, B均为n阶方阵，并且满足 AB=E则A,B都可逆，且2.4.1 分块矩阵的概念对于行数列数较高的矩阵 A,为运算方便，经常采用分块法处理。即可以用若干条横线和竖线将其分成若干个小矩阵。 每个小矩阵称为 A的子块，以子

8、块为元素的形式上的矩 阵称为分块矩阵。2.4.3 几个特殊的分快矩阵的运算（1）准对角矩阵方阵的特殊分块矩阵形如的分块矩阵称为分块对角阵或准对角阵，其中，均为方阵。2）两个准对角（分块对角）矩阵的乘积均为可逆3）准对角矩阵的逆矩阵若阵。可逆，且4）准上（下）三角矩阵的行列式可以证明 （1） 用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换！（2）在求矩阵的秩时，可以只用初等行变换，但也允许用初等列变换，而且不必化成简化 行阶梯形矩阵定义 2.5.1 （线性方程组的初等变换） 称下列三种变换为线性方程组的初等变换。（ 1）两个方程互换位置； （2）用一个非零的数乘某一个方程；（ 3）把一个方程的

9、倍数加到另一个方程上。 显然，线性方程组经初等变换后所得的新方程组与原方程组同解。 事实上，上述解线性方程组的过程，只要对该方程组的增广矩阵做相应的行变换即可。二、矩阵初等变换的定义定义 2.5.2 分别称下列三种变换为矩阵的第一、第二、第三种行（列）初等变 （1）对调矩阵中任意两行（列）的位置；（2）用一非零常数乘矩阵的某一行（列）；（ 3）将矩阵的某一行（列）乘以数k 后加到另一行（列）上去。把行初等变换和列初等变换统称为初等变换。定义如果一个矩阵 A经过有限次的初等变换变成矩阵B,则称A与B等价，记为AB。等价具有反身性 即对任意矩阵A,有A与A等价； 对称性若A与B等价，则B与A等价

10、传递性 若A与B等价，B与C等价，则A与C等价。三、矩阵的行最简形式和等价标准形简单地说， 就是经过行初等变换可以把矩阵化成阶梯型， 进而化成行最简形， 而经过初 等变换（包括行和列的）可以把矩阵化成等价标准形。阶梯形矩阵的定义：满足（1）全零行（若有）都在矩阵非零行的下方；（2） 各非零行中从左边数起的第一个非零元（称为主元）的列指标j 随着行 指标的增加而单调地严格增加的矩阵称为阶梯形矩阵。（每个阶梯只有一行） 行最简形式以称满足（ 1）它是阶梯形； （ 2）各行的第一个非零元都是 1；（ 3）第一个非零元所 在列的其它元素均为零的矩阵为行最简形式。若允许再作初等列变换可继续得这最后的式子

11、就是 A的等价标准形。一般，任何一个矩阵的等价标准形都是分块对角阵也可能为2.5.2 初等方阵定义 2.5.4 对单位阵施行一次初等变换所得到的矩阵称为初等方阵。 以三阶方阵为例第一种：第二种：第三种 :显然，初等阵都是非奇异阵。2.5.3 用初等变换法求逆矩阵因为任意非奇异阵只经行初等变换就可化成单位阵，即则。于是有求逆矩阵这表明，当对A作初等行变换将 A变成单位矩阵E时，若对单位矩阵做完全相同的初等变换则单位矩阵 E 将变成的初等变换法 :写出分块矩阵作初等行变换，A化成单位阵时， E 就化成为2.5.4 用初等变换法求解矩阵方程一元一次方程的标准形ax=b （a丰0）矩阵方程的三种标准形

12、AX=BXA=B(3) AXB=C则解法：对第一类作分块矩阵对 A 作初等行变换，成 单 位 阵 时 ， 由 于 B 做 的 是 同 样 的 初 等 行 变 换 ， 则 得 到A变的是对于第二类的可先转化为第一类的即由进而求出 X按上例的方法求出. 初等变换的性质定理 2.5.1 设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为为增广矩阵的方程组同解。定理 2.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换 （包括行及列） 化成等价标准形。 且其标准形由原矩阵惟一确定， 而与所做的初等变换无关。定理设A是一个mx n阶的矩阵，贝U（1） 对A做一次初等行变换，就相当于用

13、一个与这个初等变换相应的m阶初等矩阵左乘 A；（2） 对A做一次初等列变换，就相当于用一个与这个初等变换相应的n阶初等矩阵右乘 A；推论 1 方阵经初等变换其奇异性不变。定理对于任意的mx n阶矩阵A,总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵 Q使得推论 2 n 阶可逆阵（非奇异阵）必等价于单位阵。 因为否贝，其等价标准形不可逆。定理2.5.5 n阶方阵A可逆的充分必要条件是 A能表示成若干个初等阵的乘积。 证 充分性是显然的。下面证必要性。已知 A 为 n 阶可逆阵，贝 A 与等 价 ， 故 存 在有 限 个 n 阶初 等 阵，亦即 A 能表示成有限个初等矩阵的乘积。必要性得证。推论3任意可逆阵A

14、 （非奇异阵）只经过有限次的初等行 （列）变换就能化成单位阵。 对n阶方阵A初等变换不改变其奇异性。定义261 矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为该矩阵的秩。记为r（ A），有时也记为 秩（ A）。事实上，如果 A有一个r阶子式不等于零，而所有 r+1阶子式都等于零，则 r（A）第三章 向量空间一、n维向量线性运算的定义和性质定义 ：设是一组 n 维向量构成的向量组。使得如果存在一组不全为零的数则 称向 量 组线性相关。否则，称向量组线性无关。向量线性运算的性质：向量的运算满足卜列 8条运算律：设a,3, 丫都是n维向量，k， l 是数，则1)a + 3 =3+a；（加法交换律）2)(a +3)

15、+Y =a +(3 + Y）；（加法结合律）3)a +0=a；4)a +( -a)=05)1 Xa =a6)K(a +3)=ka +k3；（数乘分配律）7)(k+l )a=ka+l a；（数乘分配律）8)( kl )a=k(la)；(数乘向量结合律）二、n维向量组的线性相关性1. 向量组的线性相关性的定义和关于线性相关的几个定理（1） m个n维向量条件是至少存在某个线性相关的充分必要是其余向量的线性组合.线性无关的充分必要条件是其中任意 一个向量都不能表示为其余向量的线性组合 .线性无关,而2) 如 果向 量组线性相关，则 3 可由线性表示 , 且表示法唯一 .（3）线性相关的向量组再增加向量

16、所得的新向量组必线性相关 . （部分相关，则整体 相关；或整体无关，则部分无关）线性无关, 则接长向量（ 4） 若向量组组必线性无关2. 判断向量组的线性相关性的方法(1) 一个向量a线性相关2)含有零向量的向量组必线性相关；(3)向量个数=向量维数时，n维向量组线性相关4）向量个数 向量维数时 , 向量组必线性相关；5）若向量组的一个部分组线性相关，则向量组必线性相关；6）若向量组线性无关，则其接长向量组必线性无关；向量组的秩=所（7）向量组线性无关含向量的个数 ，向量组线性相关向量组的秩 所含向量的个数；（ 8）向量组必要条件是齐次方程组线性相关（无关）的充分有(没有)非零解 .向量组的秩

17、个向量组a 1 ,a 2，a m的部分组a i1 , a i2，a ir满足如下条件：(1) a ii , a i2，a ir线性无关(2) 该向量组任意一个向量添加到这个部分组后得到的向量组线性相关则称a ii , a i2，a ir为向量组a i ,a 2,a m的极大线性无关部分组。性质：(1) 一个向量组的任意向量可由极大无关组线性表示且表示式系数唯一；(2) 一个向量组的两个极大无关组所含向量个数相等。一个向量组a 1, a 2,a m的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩，记作 r (a 1 ,a 2,_a m)。一个nrK n矩阵A,其行向量组的秩称为矩阵 A的行秩；列向量组的秩

18、称为矩阵 A的列秩。 性质：(1) 一个mK n矩阵A的行秩等于列秩等于矩阵A的秩。(2) 对mx n矩阵进行初等变换不改变列向量之间的线性关系，进行初等列变换不改变 行向量之间的线性关系, 因此可以用初等行变换求一组列向量的极大无关组并将其余向量用 极大无关组线性表示。三、向量组的极大无关组及秩1. 极大无关组的定义2. 向量组的秩 求向量组的秩和极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的 的方法四、子空间的定义,基、维数、向量在一组基下的坐标341向量空间的概念定 义 3.4.1 n 维实向 量的 全体构成的 集合称 为实 n 维向 量 空间 , 记 作的一个非空子集，定义 3.4.2 设 V 是满足1）若1）若则