第七节 斯托克斯(Stokes公式、环流量与旋度

1、一、斯托克斯一、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式定理定理 设设 为分段光滑的空间有向闭曲线为分段光滑的空间有向闭曲线, , 是以是以 为边界的分片光滑的有向曲面为边界的分片光滑的有向曲面, , 的正向与的正向与 的侧符合右手规则的侧符合右手规则, , 函数函数),(zyxP, ,),(zyxQ, ,),(zyxR在包含曲面在包含曲面 在内的一个空间区域内具在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数有一阶连续偏导数, , 则有公式则有公式n 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正

2、向边界曲线 右手法则右手法则xyzo),(:yxfz xyD Cn证明证明设设与与平平行行于于z轴轴的的直直线线相相交交不不多多于于一一点点, , 并并取取上上侧侧, ,有有向向曲曲线线 C C 为为的的正正向向边边界界曲曲线线 在在xoy的的投投影影. .且且所所围围区区域域xyD. .如图如图思路思路曲面积分曲面积分二重积分二重积分曲线积分曲线积分12dSyPzPdxdyyPdzdxzP)coscos( 代入上式得代入上式得又又,coscos yf dSfzPyPdxdyyPdzdxzPy cos)( dxdyfzPyPdxdyyPdzdxzPy)( 即即,),(,dxdyyxfyxPyd

3、xdyyPdzdxzPxyD yfzPyPyxfyxPy ),(,1 cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy),(,),(,dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc ),(,即即根椐格林公式根椐格林公式平面有向曲线平面有向曲线2,),(dxzyxPdxdyyPdzdxzP 空间有向曲线空间有向曲线,),(dyzyxQdydzzQdxdyxQ 同理可证同理可证,),(dzzyxRdzdxxRdydzyR dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx.故有结论成立故有结论成立. RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdx

4、dsRQPzyx coscoscos另一种形式另一种形式cos,cos,cos n其中其中便于记忆形式便于记忆形式StokesStokes公式的实质公式的实质: : 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系上的曲线积分之间的关系. .斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形( (当是当是xoy面的平面闭区域时面的平面闭区域时) )例例 1 1 计计算算曲曲线线积积分分ydzxdyzdx , ,其其中中 是是平平面面1 zyx被被三三坐坐标标面面所所截截成成的的三三角角形形的的整整个个边边界界, ,它它的的正正向向与与这这

5、个个三三角角形形上上侧侧的的法法向向量量之之间间符符合合右右手手规规则则. .二、简单的应用二、简单的应用0 xyDxyzn111解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有dzyxdyzdx dxdydzdxdydz dxdydzdxdydz xyDd3xyo11xyD23 弦都为正，弦都为正，的法向量的三个方向余的法向量的三个方向余由于由于 再由对称性知：再由对称性知：如图如图xyDdzyxdyzdx 例例 2 2 计算曲线积分计算曲线积分dzyxdyxzdxzy)()()(222222 其中其中 是平面是平面23 zyx截立方体截立方体: :10 x, ,10 y, ,10 z的表面所得

6、的截痕的表面所得的截痕, ,若从若从 ox轴的正向看去轴的正向看去, ,取逆时针方向取逆时针方向. .解解取取为为平平面面23 zyx的的上上侧侧被被 所所围围成成的的部部分分. .则则1 , 1 , 131 nzxyo n 即即,31coscoscos dSyxxzzyzyxI 222222313131 dSzyx)(34 dS2334 xyDdxdy332.29 )23( zyx上上在在xyD23 yx21 yx空间曲线积分与路径无关的条件空间曲线积分与路径无关的条件斯托克斯公式的应用：空间曲线积分与路径无关斯托克斯公式的应用：空间曲线积分与路径无关的条件的条件问题问题：空间曲线积分在什么

7、条件下与路径无关？：空间曲线积分在什么条件下与路径无关？注意注意：空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭：空间曲线积分与路径无关相当于沿任意闭曲线的曲线积分为零曲线的曲线积分为零内恒成立内恒成立在在条件是等式条件是等式积分为零）的充分必要积分为零）的充分必要内任意闭曲线的曲线内任意闭曲线的曲线内与路径无关（或沿内与路径无关（或沿在在线积分线积分连续偏导数，则空间曲连续偏导数，则空间曲内具有一阶内具有一阶在在、是一维单连通域，函数是一维单连通域，函数设空间开区域设空间开区域定理定理GzPxRyRzQxQyPGGRdzQdyPdxGzyxRzyxQzyxPG ,),(),(),(1内恒成立内恒成立在

8、在件是等式件是等式的全微分的充分必要条的全微分的充分必要条成为某一函数成为某一函数内内在在连续偏导数，则表达式连续偏导数，则表达式内具有一阶内具有一阶在在、函数函数是空间一维单连通域，是空间一维单连通域，设区域设区域定理定理GzPxRyRzQxQyPzyxuGRdzQdyPdxGzyxRzyxQzyxPG ,),(),(),(),(2 ),(),(000),(zyxzyxRdzQdyPdxzyxu且且用定积分表示为用定积分表示为 zzyyxxdzzyxRdyzyxQdxzyxPzyxu000.),(),(),(),(000.),(),(000GzyxMGzyxM 点点内某一定点，内某一定点，为

9、为其中其中),(0000zyxM),(001zyxM),(02zyxM),(zyxMzxyO三、物理意义三、物理意义-环流量与旋度环流量与旋度.),(),(),(),(按所取方向的环流量按所取方向的环流量沿曲线沿曲线称为向量场称为向量场上的曲线积分上的曲线积分中某一封闭的有向曲线中某一封闭的有向曲线则沿场则沿场设向量场设向量场CARdzQdyPdxsdACAkzyxRjzyxQizyxPzyxACC 1. 1. 环流量的定义环流量的定义: :SdRQPzyxkjisdAC 环流量环流量利用利用stokesstokes公式公式, , 有有2. 2. 旋度的定义旋度的定义: :. )(ArotRQ

10、Pzyxkji为向量场的旋度为向量场的旋度称向量称向量 .)()()(kyPxQjxRzPizQyR RQPzyxkjiArot 旋度旋度斯托克斯公式的又一种形式斯托克斯公式的又一种形式其中其中,coscoscoskjin 的的单单位位法法向向量量为为kjit coscoscos 的的单单位位切切向向量量为为dSyPxQxRzPzQyRcos)(cos)(cos)( dsRQP)coscoscos( 斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 dstAdSnArot dsAdSArottn)(或或其中其中 cos)(cos)(cos)()(yPxQxRzPzQyRnArotArotn cos

11、coscosRQPnAAt Stokes公式的物理解释公式的物理解释:向量场向量场A沿有向闭曲线沿有向闭曲线 的环流量等于向量场的环流量等于向量场A的旋度场通过的旋度场通过 所张的曲面的通量所张的曲面的通量.(.( 的正的正向与向与 的侧符合右手法则的侧符合右手法则) ) dsASdArott环流量环流量Mv Lo例例 3 3 设设一一刚刚体体绕绕过过原原点点 O O 的的某某个个轴轴转转动动, ,其其角角速速度度),(321 , ,刚刚体体上上每每一一点点处处的的线线速速度度构构成成一一个个线线速速场场, ,则则向向量量OMr zyx, 在在点点M处处的的线线速速度度 rv zyxkji32

12、1 解解由力学知道点由力学知道点 的线速度为的线速度为M .22,2,2321 观察旋度观察旋度vrot由此可看出旋由此可看出旋度与旋转角速度与旋转角速度的关系度的关系.向量微分算子向量微分算子kzjyix .)Hamilton()Nabla(算子算子算子或哈密顿算子或哈密顿也称为也称为 运用向量微分算子运用向量微分算子),()1(zyxuu 设设则则kzujyuixuu ;gradu 定义定义uu 2gradu .222222uzuyuxu ,),(),(),()2(kzyxRjzyxQizyxPA 设设则则)()(kRjQiPkzjyixA ;divAzRyQxP .rotARQPzyxk

13、jiA 高斯公式可写成高斯公式可写成, dSAAdvn斯托克斯公式可写成斯托克斯公式可写成.)( dsAdSAtn四、小结四、小结斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式斯托克斯公式 RQPzyxdxdydzdxdydz dSRQPzyx coscoscos dstAdSnArot RdzQdyPdx一、一、 计 算计 算 dzyzxzdyydx23, , 其 中其 中 是 圆 周是 圆 周2,222 zzyx若从若从z轴正向看去轴正向看去, ,这圆周是这圆周是逆时针方向逆时针方向 . .二、二、 计 算计 算 dzxdyzdxy22

14、2, , 其 中其 中 是 球 面是 球 面2222azyx 和园柱面和园柱面axyx 22的交线的交线)0,0( za, ,从从x轴正向看去轴正向看去, ,曲线为逆时针方曲线为逆时针方向向 . .三、三、 求向量场求向量场jyxziyzA)cos()sin( 的旋度的旋度 . .练练 习习 题题四、利用斯托克斯公式把曲面积分四、利用斯托克斯公式把曲面积分 dsnArot化成曲化成曲 线积分线积分, ,并计算积分值并计算积分值, ,其中其中A, , 及及n分别如下分别如下: :kxzjxyiyA 2, , 为上半个球面为上半个球面221yxz 的上侧的上侧, , n是是 的单位法向量的单位法向量. .五、求向量