矩阵的初等变换及初等矩阵

1、第3章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 -附(初等矩阵)2018年年9月月课件制作：黄 明 定义定义1下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换: : ）；记记作作两两行行对对调调两两行行（对对调调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记作记作行乘行乘（第（第krkii , .3）行行上上记记作作倍倍加加到到第第行行的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行对对应应的的把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 变变换换”）换换法法变变换换（也也称称“调调行行变变换换”）倍倍法法变变换换（也也

2、称称“倍倍行行变变换换”）消消法法变变换换（也也称称“倍倍加加定义定义2 2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等列变换初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵.

3、 .E三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛用广泛. 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以数以数乘某行或某列；乘某行或某列；以数以数对调两行或两列；对调两行或两列；kk. 30. 2. 1，得，得左乘左乘阶初等矩阵阶初等矩阵用用nmijmaAjiEm )(),( mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第 i行行第第 j).( jirrjiAA行对调行对调行与第行与第的第的第把把：施行第一种初等行变换施行

4、第一种初等行变换相当于对矩阵相当于对矩阵1例例 56024135201010000125 3065142行对调行对调行与第行与第第第32，右乘矩阵右乘矩阵阶初等矩阵阶初等矩阵以以类似地，类似地，AjiEnn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().( jiccjiAA列对调列对调列与第列与第的第的第把把：施行第一种初等列变换施行第一种初等列变换相当于对矩阵相当于对矩阵2例例 010100001560241352235 124056列对调列对调列与第列与第第第32 乘某行或某列乘某行或某列、以数、以数02 k).()(0 kiEkriki

5、矩矩阵阵，得得初初等等行行乘乘单单位位矩矩阵阵的的第第以以数数 1111)(kkiE行行第第 i mnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111211)(行行第第 i类似地，类似地，左乘矩阵左乘矩阵以以AkiEm)(3例例 56024135210002000125 3284065；行行的第的第乘乘相当于以数相当于以数)(kriAki 2 4例例 100020001560241352210 31820125 ).( )(kciAkAkiEin 列列的第的第乘乘相当于以数相当于以数，其结果，其结果矩阵矩阵右乘右乘以以2 上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某某行行、以以数数)

6、()(03 k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk 1111)(kkijE行行第第i行行第第j，左乘矩阵左乘矩阵以以AkijEm)( mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121221111211)().(jikrrikjA 行上行上加到第加到第行乘行乘的第的第把把5例例 5602413521000102012713142065，加加到到第第一一行行上上去去行行乘乘以以将将第第232 ).()(jinkccikjAAkijE 列上列上加到第加到第列乘列乘的

7、第的第把把，其结果相当于，其结果相当于右乘矩阵右乘矩阵类似地，以类似地，以 mnmjmjmimnjjinjjinaakaaaaakaaaaakaaakijAE1222221111111)(6例例 10201000156024135285 35421065列上去列上去后加到第后加到第列乘以列乘以将矩阵的第将矩阵的第1232 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .nm mnAAAAA初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵 ),(),(1；则则的