浙大概率论与数理统计课件 概率7-4区间估计

1、数理统计数理统计 第四节第四节 区间估计区间估计置信区间定义置信区间定义置信区间的求法置信区间的求法单侧置信区间单侧置信区间小结小结数理统计数理统计 引言引言 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算它是用样本算得的一个值去估计未知参数得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷弥补了点估计的这个缺陷 .数理统计数理统计 引例引例 设某厂生产的灯泡使用

2、寿命设某厂生产的灯泡使用寿命XN（ ，1002），现），现随机抽取随机抽取5只，测量其寿命如下：只，测量其寿命如下：1455，1502，1370，1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为11455 1502 1370 1610 14301473.45x 可以认为该种灯泡的使用寿命在可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右。个单位时间左右。因此我们自然希望能确定一个区间，使我们能因此我们自然希望能确定一个区间，使我们能以比较高的以比较高的可靠程度可靠程度相信它包含真参数值相信它包含真参数值.区间估计区间估计但范围有多大呢？又有多

3、大的可能性在这但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右左右”呢？呢？数理统计数理统计 一、一、 置信区间定义置信区间定义 满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的两个统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平（置信度的置信水平（置信度 )为为 的的置信区间置信区间. 1和和 分别称为分别称为置信下限置信下限和和置信上限置信上限. 若由样本若由样本1P 12(,)n XXX 12(,)n XXX () ( , ) 数理统计数理统计 这里有两个要求这里有两个要求:可见，可见， 对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出两个作区间估计，就是

4、要设法找出两个只依赖于样本的界限只依赖于样本的界限(构造统计量构造统计量). 一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间 内内 . 12(,)n XXX 12(,)n XXX () ( , ) 数理统计数理统计 可靠度与精度是一对矛盾，一般是可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度的条件下尽可能提高在保证可靠度的条件下尽可能提高精度精度.1. 要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间 内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大 .即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠. ( , ) P 2. 估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高. 如要求区

5、间长度如要求区间长度 尽可能短，或能体现该要求的其它准则尽可能短，或能体现该要求的其它准则. 数理统计数理统计 个左右。真值的有个左右，不包含真值的有个区间中包含次，则在得到的这时重复抽样，即置信度为例如：若595100100%.951%5二点说明二点说明 ) 10(,121P通常，采用通常，采用95%的置信度，有时也取的置信度，有时也取99%或或90%。、的可能性表示该区间不包含真值的可靠程度值给出了该区间含真是一个随机区间区间1 ,),(1212、不同的、不同的置信水平，参数置信水平，参数 的置信区间不同。的置信区间不同。 数理统计数理统计 求置信区间的一般步骤如下求置信区间的一般步骤如下

6、:1. 明确问题明确问题, 是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间? 置信水平置信水平 是多少是多少? 12. 寻找参数寻找参数 的一个良好的点估计的一个良好的点估计T(X1,X2,Xn) 3. 寻找一个待估参数寻找一个待估参数 和估计量和估计量 T 的函数的函数 U(T, ),且其分布为已知且其分布为已知. 二、置信区间的求法二、置信区间的求法数理统计数理统计 4. 对于给定的置信水平对于给定的置信水平 ，根据，根据U(T, )的分布，确定常数的分布，确定常数a, b，使得，使得 1 1 P(a U(T, )b) = 5. 对对“aU(T, )b”作等价变形作等价变形,得到如下形式得到

7、如下形式:1P 即即 1 于是于是 就是就是 的的100( )的置信区间的置信区间. ( , ) 数理统计数理统计 N(0, 1)选选 的点估计为的点估计为 , ,X求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间. 例例1 设设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， ,2已知 ),(2 N 1nXU 取明确问题明确问题,是求什么是求什么参数的置信区间参数的置信区间?置信水平是多少？置信水平是多少？寻找未知参寻找未知参数的一个良数的一个良好估计好估计.解解 寻找一个待估参数和寻找一个待估参数和统计量的函数统计量的函数 ，要求，要求其分布为已知其分布为已知.有了分布，就可以求出有了分布

8、，就可以求出U取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率.数理统计数理统计 ,1 对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得,2 u对于给定的置信水平对于给定的置信水平, 根据根据U的分布，确定一的分布，确定一个区间个区间, 使得使得U取值于该区间的概率为置信水平取值于该区间的概率为置信水平. 1|2unXP使使为什么为什么这样取这样取？数理统计数理统计 122unXunXP从中解得从中解得,1 对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得,2 u 1|2unXP使使数理统计数理统计 ,22 unXunX也可简记为也可简记为2()Xun 122unXunXP于是

9、所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为 数理统计数理统计 可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个可见，确定区间估计很关键的是要寻找一个待估参数待估参数 和估计量和估计量T 的函数的函数U(T, ), 且且U(T, )的分布为已知的分布为已知, 不依赖于任何未知参数不依赖于任何未知参数 . 而这与总体分布有关，所以，而这与总体分布有关，所以，总体分布的形式是总体分布的形式是否已知，是怎样的类型，至关重要否已知，是怎样的类型，至关重要. 从例从例1解题的过程解题的过程数理统计数理统计 正态总体均值和方差的区间估计正态总体均值和方差的区间估计下节主要内容：下节主要内容：数理统计数理统计 三、单侧置

10、信区间三、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了过长没什么问题，过短就有问题了. 这时这时, 可将置信上限取为可将置信上限取为+ ，而，而只着眼于置信下限只着眼于置信下限 ，这样求得的，这样求得的置信区间叫置信区间叫单侧置信区间单侧置信区间.数理统计数理统计 于是引入单侧置信区间和置信限的定义：于是引入单侧置信区间和置信限的定义：

11、满足满足设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的单侧置的单侧置信区间信区间. 1定义定义12(,)n XXX 1P ,) 称为称为 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信单侧置信下限下限. 1 对于任意对于任意 ,数理统计数理统计 满足满足若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的单侧置的单侧置信区间信区间. 112(,)n XXX 1P (, 称为称为 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信单侧置信上限上

12、限. 1 对于任意对于任意 ,数理统计数理统计 设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均值求灯泡寿命均值 的的置信水平为置信水平为0.95的单侧置信下限的单侧置信下限. 例例2 从一批灯泡中随机抽取从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试只作寿命试验，测得寿命验，测得寿命X（单位：小时）如下：（单位：小时）如下：1050，1100，1120，1250，1280 ) 1(ntnSX 方差方差 未知未知2 解解 的点估计取为样本均值的点估计取为样本均值 , X数理统计数理统计 对给定的置信水平对给定的置信水平 ，确定分位点，确定分位点) 1( nt 1 1)1(ntnSXP使使即即 1) 1(nSntXP于是得到于是得到 的置信水平为的置信水平为 的单侧置信区间的单侧置信区间为为 1,) 1(nSntX 数理统计数理统计 将样本值代入得将