matlab线性方程组数值求解实验报告

1、湖南大学电气与信息工程学院 数值计算课程 上机实验报告姓名： 班级： 学号：日期：指导老师： 本次实验题号：第 2 次实验一.实验目的：了解gauss消去法和迭代法matlab算法实现求任意方程组的根。2. 实验内容：用gauss消去法和迭代法求解下列线性方程组：1. 求出gauss消去法的上三角矩阵和方程组的解，并在命令窗口显示；2. 显示迭代法求解过程中所有结果（）要求求解精度达到10-5.三.算法介绍或方法基础1) 消去法：消元过程：设，令乘数，做（消去第i个方程组的）操作第1个方程+第i个方程（i=2，3，.n）则第i个方程变为这样消去第2，3，。，n个方程的变元后。原线性方程组变为：

2、这样就完成了第1步消元。回代过程：在最后的一方程中解出，得：再将的值代入倒数第二个方程，解出，依次往上反推，即可求出方程组的解：其通项为 高斯赛德尔迭代法：由雅可比迭代公式可知,在迭代的每一步计算过程中是用的全部分量来计算的所有分量,显然在计算第i个分量时,已经计算出的最新分量没有被利用，从直观上看,最新计算出的分量可能比旧的分量要好些.因此，对这些最新计算出来的第次近似的分量加以利用,就得到所谓解方程组的高斯塞德（Gauss-Seidel）迭代法.把矩阵A分解成 (6) 其中,分别为的主对角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程组(1)便可以写成 即其中 (7)以为迭代矩阵构成的迭代法(公式

3、) (8)称为高斯塞德尔迭代法(公式),用 量表示的形式为 (9)由此看出,高斯塞德尔迭代法的一个明显的优点是,在电算时,只需一组存储单元(计算出后不再使用,所以用冲掉,以便存放近似解.4. 程序1) 消去法：function x=gauss(A,b)n=length(b);A=A,b; for k=1:(n-1) A(k+1):n,(k+1):(n+1)=A(k+1):n,(k+1):(n+1). -A(k+1):n,k)/A(k,k)*A(k,(k+1):(n+1); A(k+1):n,k)=zeros(n-k,1); Aend x=zeros(n,1); x(n)=A(n,n+1)/A(

4、n,n);for k=n-1:-1:1 x(k,:)=(A(k,n+1)-A(k,(k+1):n)*x(k+1):n)/A(k,k);end2) 迭代法：function EX() a=input(请输入系数矩阵a：);b=input(请输入矩阵b:); N=input(请输入最大迭代次数N：); esp=input(请输入近似解的误差限：);if any(diag(a)=0 error(系数矩阵错误，迭代终止！) endD=diag(diag(a); X0=zeros(size(b); x1=0; x2=0;x3=0;X1=x1;x2;x3;h=inv(D)*b; B=inv(D)*(D-a

5、);B1=triu(B); B2=tril(B); k=1;fprintf(高斯-赛德尔迭代法 ); fprintf(第0次迭代得：) disp(X1);while k=N x1=h(1,1)+B1(1,:)*X0; X1=x1;x2;x3; x2=h(2,1)+B1(2,:)*X0+B2(2,:)*X1; X1=x1;x2;x3; x3=h(3,1)+B2(3,:)*X1; X1=x1;x2;x3; if norm(X1-X0,inf)esp fprintf(已满足误差限。 ) break ; end X0=X1; fprintf(第%2d次迭代得：,k) disp(X1); k=k+1; end fprintf(满足误差限的高斯-赛德尔迭代近似解为：)disp(X1); fprintf(用高斯-赛德尔迭代法迭代次数为 %d次,k-1)end五.实验结果迭代法：消去法：6. 结果分析与解释Gauss-Seidel 迭代法收敛条件：迭代矩阵的普半径小于1；迭代矩阵的范数小于1；系数矩阵是占优矩阵。G