工程力学(人民交通出版社)第3章第1节汇交力系

1、3-1 3-1 汇交力系汇交力系3-2 3-2 力矩力矩3-3 3-3 力偶系力偶系3-4 3-4 解决基本力系平衡问题的途径解决基本力系平衡问题的途径 第第3 3章章 基本力系基本力系3-1 3-1 汇交力系汇交力系力系平面力系空间力系汇交力系力偶系平行力系一般力系PPPABCDEFGH00000ABC00认识汇交力系：认识汇交力系：PCCGFCEFCDFDPDCFDGFDFFDAFPEECFEBFEHFEGFWCFBFAFBFCF一、一、力在轴上的投影力在轴上的投影x 力在某轴力在某轴x x上的投影等于该上的投影等于该力的大小力的大小乘以乘以力作用线与该轴力作用线与该轴夹夹角角的余弦的余弦

2、。力的投影是代数量，有正、负之分。力尾端投影。力的投影是代数量，有正、负之分。力尾端投影点到头端投影点与投影轴正向一致时投影为正，反之为负。点到头端投影点与投影轴正向一致时投影为正，反之为负。aABFbF 力在任一轴上的投影xcosFFxcosFFxxFxF 反之，已知投影反之，已知投影X X、Y Y，求力，求力F F 的大小和方向：的大小和方向：二、平面力在直角坐标轴上的投影cosFFx cosFFy 22yxFFF FFFFyx coscosy y b b a a a ab bF FO Ox xB BX XY Y写出各轴上的投影计算式，判定正负。写出各轴上的投影计算式，判定正负。sinco

3、sFFFFyx 思考题思考题xyFxyFsincosFFFFyx xyFFFFyx 0yxFsincosFFFFyx yxFsincosFFFFyxxyF0yxFFF三、空间力在直角坐标轴上的投影直接投影法FFycosFFxcoscosFFxcosFFycosFFz cosFFx222zyxFFFF 反之，当投影反之，当投影X X、Y Y、Z Z已知时，可求出力已知时，可求出力F的大小的大小和方向：和方向：S四、力在平面上的投影四、力在平面上的投影FABabFS 设力设力F与平面与平面S间的交角为间的交角为 ，则有，则有 cos FFs 已知：力已知：力F F与某平面与某平面( (如如x-yx

4、-y平面平面) )间的夹角间的夹角，又知，又知F F向向xyxy面上的投影面上的投影F Fxyxy与另一坐标与另一坐标轴（例轴（例X X轴）的夹角轴）的夹角 ，求，求F F在直角在直角坐标轴坐标轴XYZXYZ上的投影：上的投影：sinFFzsincoscoscosFFFFyx五、空间力在直角坐标轴上的投影五、空间力在直角坐标轴上的投影间接投影法间接投影法yxzFFxyXYZ反之，已知三投影反之，已知三投影XYZ时求力时求力F：2z2y2FFinxzFFs22xxxyFF cosyxFFF222zyxFFFF 1、力的投影是、力的投影是代数量代数量，力的分量则是，力的分量则是矢量矢量。 2、在直

5、角坐标系中，两者大小相等。、在直角坐标系中，两者大小相等。 在非直角坐标系中，两者大小不相等。在非直角坐标系中，两者大小不相等。 3、力在任一轴上的投影大小都小于力的大小。、力在任一轴上的投影大小都小于力的大小。 而力的分力的大小却有时还会大于合力。而力的分力的大小却有时还会大于合力。 4、力在任一轴上的投影可求、力在任一轴上的投影可求,大小一定，力沿一轴上的分量大小一定，力沿一轴上的分量 不可定，必须有确定方位的两轴才可定。不可定，必须有确定方位的两轴才可定。xyOFabXY六、力的投影与力的分解六、力的投影与力的分解FyFxxyOFabXYFxFyFxyXYFxFycosFXFx)cos(

6、FXXFxcosFYFy)cos(FYYFy 设力设力 沿沿x、y、z直角坐标轴直角坐标轴的单位矢量为：的单位矢量为：那么：那么： 七、力的矢量表达式七、力的矢量表达式力的投影力的投影X、Y、Z；力的分量：；力的分量：FFOyzxFyFzFx ikjkji、。、zyxFFFzyxFFFFkkFFjjFFiiFFkZjYiXkFjFiFFzyx),cos(),cos(),cos( 矢量运算法测（例加减乘除）完矢量运算法测（例加减乘除）完全不同于标量的运算。全不同于标量的运算。注意：注意： 用几何法求汇交力系合力时，应注意分力首尾相接，合力用几何法求汇交力系合力时，应注意分力首尾相接，合力是从第一

7、力的箭尾指向最后一力的箭头。是从第一力的箭尾指向最后一力的箭头。力多边形合成力多边形合成法则法则Oa) 平行四边形法则F2F1b) 力三角形F2d) 力多边形F1OF5Oc) 汇交力系F4F2F1F3OF1F2F4F3F5八、汇交力系的合力八、汇交力系的合力几何法几何法 作力多边形时各力的次序可以不同，作出来的力多边形也不作力多边形时各力的次序可以不同，作出来的力多边形也不相同。合力的结果却是相同的。相同。合力的结果却是相同的。AF4F3F2F1AF4F3F2F1FRAF3F2F1F4FR 1 1、平面汇交力系的力多边形是、平面汇交力系的力多边形是平面平面折线，折线， 空间共点力系的力多边形是

8、空间共点力系的力多边形是空间空间折线。折线。2 2、力多边形中诸力应、力多边形中诸力应首尾相连首尾相连。合力的方向则是从。合力的方向则是从第一个力的起点指向最后一个力的终点。第一个力的起点指向最后一个力的终点。力多边形的封闭边力多边形的封闭边各力的汇交点各力的汇交点八、汇交力系的合力八、汇交力系的合力几何法几何法合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分 力在该轴上之投影的代数和。力在该轴上之投影的代数和。53421xxxxxxFFFFFF OF1F2F4F3F5xy对有对有n n个力组成的平面汇交力系：个力组成的平面汇交力系：xyxyyxyxFFFF

9、FFFFFRRRRR tan)()(2222合力：合力：九、汇交力系的合力九、汇交力系的合力解析法解析法yyyyRxxxxRFFFFFFFFFFnynx212153421yyyyyyFFFFFF 对有对有n n个力组成的空间力系：个力组成的空间力系：九、汇交力系的合力九、汇交力系的合力解析法解析法222222)()()(zyxzRyRxRRFFFFFFFRzRyRRRFFRFFFxcoscoscoszRyRxRFFFFFFzyx,十、汇交力系的平衡十、汇交力系的平衡1、物体的平衡状态是：相对于地球静止或作匀速直线运动。、物体的平衡状态是：相对于地球静止或作匀速直线运动。2、力系或力系的合力对物

10、体的作用效果是一样的。、力系或力系的合力对物体的作用效果是一样的。3、作用于物体上的力不为零时，将改变物体的运动状态。作用、作用于物体上的力不为零时，将改变物体的运动状态。作用于物体上的力系的合力为零时不改变物体的运动状态。于物体上的力系的合力为零时不改变物体的运动状态。4、平衡状态的物体作用合力为零的力系物体仍处于平衡状态。、平衡状态的物体作用合力为零的力系物体仍处于平衡状态。那么必有：那么必有：1、合力为零的力系可以称作为平衡力系、合力为零的力系可以称作为平衡力系2 2、汇交力系平衡的充要条件是力系的合力为零：、汇交力系平衡的充要条件是力系的合力为零：FR=0空间汇交力系空间汇交力系平衡方

11、程平衡方程可解可解三三个未知力。个未知力。平面汇交力系平面汇交力系平衡方程平衡方程可解可解二二个未知力。个未知力。十、汇交力系的平衡十、汇交力系的平衡1、几何法、几何法平衡力系的充要条件是：平衡力系的充要条件是：力多变形是自行封闭的力多变形是自行封闭的。2、解析法、解析法平衡力系的充要条件是：平衡力系的充要条件是： 0222222 zyxRzRyRxRFFFFFFF0 FFR000 zyxFFF00 yxFF 图示为作用于图示为作用于A A点的四个力，其中点的四个力，其中F F1 1=3kN=3kN，F F2 2=1kN=1kN， F F3 3=1=1 5kN5kN，F F4 4=2kN=2k

12、N，各力方向如图所示。试用几何法求此力系的，各力方向如图所示。试用几何法求此力系的合力。合力。解：解：确定比例尺：确定比例尺：1kN/cmxyA6045F1F2F3F4FRF4cF3dF2e = 703 3cm = 70FR例题例题 10 1 2kN0 1 2cmbAF1kNcmcmkNFR33331./ 用解析法求图示作用在用解析法求图示作用在O点之共点力系的合力。点之共点力系的合力。解：取坐标如图。解：取坐标如图。 合力在坐标轴上的投影为：合力在坐标轴上的投影为：35445F3=500NF4=200NyxOF2=250NF1=400N =arctg(203.2/383.2)=27.9 在第

13、三象限，如图所示。在第三象限，如图所示。yxOF2F3F4F1 例题例题 2N.).().(FFFyRxRR7433220323832222 比较几比较几何作图何作图NFFxRx23835420045250400./cos NFFyRy22035320050045250./sin 2 2、选择恰当的、选择恰当的。按比例画力多变形。按比例画力多变形。3 3、先画已知大小方向的力；再画出已知角度力的方位，各力首、先画已知大小方向的力；再画出已知角度力的方位，各力首尾尾 相接就可构成力多变形。相接就可构成力多变形。十一、几何法求解问题的方法十一、几何法求解问题的方法P4m8mADBCP4m8mADB

14、C0 1 20mm0 10 20kN比例尺：比例尺：图示刚架，力图示刚架，力P=20kNP=20kNP由图量取：由图量取：FRB=10 KN F RA=22.4 kN例题例题 3BRFBRFARFARF60 图示一构架由图示一构架由AB与与AC组成，组成，A、B、C三点都是铰接，三点都是铰接，A点悬挂一重为点悬挂一重为 W的重物的重物D。各杆重量不计试求。各杆重量不计试求AB、AC二杆所受之二杆所受之力。力。3060ABC解：解：先画铰先画铰A A受力图。受力图。再用几何法求解，再用几何法求解，比例尺比例尺G/4cmG/4cmW（4cm）F=WFAB60 AFAC30 ab30c 3.5cm

15、2cm 例题例题 4可用正弦定理解之可用正弦定理解之WcmWcmFWcmWcmFABAC50428660453././. 903060sinsinsinWFFABACWWFAB5030.sin WWFAC866060.sin 1、选取研究对象、选取研究对象（尽量物体简单、已知力较多），（尽量物体简单、已知力较多），画受力图。画受力图。2、建立坐标系，列出平衡方程。、建立坐标系，列出平衡方程。 坐标轴方向宜取在易求力的投影的方向。例：与较多已知力平行或垂直坐标轴方向宜取在易求力的投影的方向。例：与较多已知力平行或垂直或夹角已知等。或夹角已知等。3、解方程，求出未知量。、解方程，求出未知量。先解只

16、含一个未知力的方程先解只含一个未知力的方程。十二、解析法求解问题的方法十二、解析法求解问题的方法P4m8mADBCP4m8mADBC用解析法求解例题用解析法求解例题1 1，力，力P=20kN例题例题 5画画ABCD受力图受力图列平衡方程：列平衡方程：8.94m0 xFkNFFPAARR35.22094. 880yFkNFFFBBARRR10094. 84BRFARF 井架起重装置如图，重物通过卷扬机井架起重装置如图，重物通过卷扬机D D提升，提升绳索绕过提升，提升绳索绕过滑轮滑轮B B。起重杆。起重杆ABAB的的A A端为固定铰支座，端为固定铰支座，B B端用钢索端用钢索BCBC支承。设重支承

17、。设重物物E E重重G=20kNG=20kN，起重臂、滑轮、钢索的重量均不计，滑轮的大，起重臂、滑轮、钢索的重量均不计，滑轮的大小不计。试求当重物小不计。试求当重物E E匀速上升时，匀速上升时，ABAB和和BCBC所受的力。所受的力。156030ACWBDE解：解：取滑轮取滑轮B受力分析，受力分析，画受力图画受力图。 建立图示坐标系，建立图示坐标系， FBC 与x轴重合轴重合xy3030BWFBDFBCFAB151530将将 代入方程，可解得：代入方程，可解得：根据作用与反作用力定律知根据作用与反作用力定律知:起重臂受压力起重臂受压力45.0kN，钢索，钢索BC受拉力受拉力9. 65kN。例题

18、例题6列出平衡方程：列出平衡方程：0 xF0306015 sinsincosWFFFABBDBC0 yF0307560 coscoscosWFFBDABkNWFFBDAB045603075.cos/)coscos( kNWFFFABBDBC659306015.sinsincos kNWFBD20 图示三根相同的水泥管图示三根相同的水泥管A、B、C，叠放在水平地面上，叠放在水平地面上，管子两侧都用两根铅垂立柱挡着。每管重管子两侧都用两根铅垂立柱挡着。每管重P=2kN，求管子对每根，求管子对每根立柱的压力。立柱的压力。ABCxyA3030PFN1FN2解：解：画画A管的受力图管的受力图。建立坐标系

19、，列平衡方程：建立坐标系，列平衡方程：xyBP60FN3FN4FN1画画B管的受力图管的受力图。建立坐标系，列平衡方程：建立坐标系，列平衡方程：解得：解得：每根立柱受力为：每根立柱受力为：例题例题 70 xF0303021 sinsinNNFF0 yF0303021 PFFNNcoscos解得：解得：kNPFFNN1513321. 0 xF06014 PFFNNcos0 yF03013 PFFNNcoskNPFFNN577033216014.cos kNPFN3513 .kNFFNN289024./ 1、选取研究对象、选取研究对象（尽量物体简单、已知力较多），（尽量物体简单、已知力较多），画受力图。画受力图。2、建立坐标系，列出平衡方程。、建立坐标系，列出平衡方程。 坐标轴方向宜取在易求力的投影的方向。例：与较多已知力平行或垂直坐标轴方向宜取在易求力的投影的方向。例：与较多已知力平行或垂直或夹角已知等。或夹角已知等。3、解方程，求出未知量。、解方程，求出未知量。先解只含一个未知力的方程先解只含一个未知力的方程。复习：解析法求解问题的方法复习：解析法求解问题的方法小 结 本章的要点是运用几何法和解析法研究平面汇交力系的本章的要点是