20182019数学北师大版选修11 12 椭圆的简单性质二 作业2

1、A.基础达标1直线yx1被椭圆1所截得的线段的中点坐标是()A.B.C. D.解析：选C.设截得线段两端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，中点为(x0，y0)，由代入消元整理得3x24x20，424×6>0，x1x2，所以x0，y0x01.2已知直线l过点(3，1)，椭圆C的方程为1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A1 B1或2C2 D0解析：选C.把点(3，1)代入1得<1，所以点(3，1)在椭圆内部，故直线l与椭圆有两个公共点3已知直线l：xym0与椭圆C：y21交于不同的两点A，B，且线段AB的中点不在圆x2y2内，则m的取值范围为()A(，11，)B，

2、11，C1，1D(，11，)解析：选D.联立得：3x24mx2m220，由>0得m(，)，y1y2x1mx2m，故AB中点坐标为(，)，因为AB中点不在圆x2y2内，所以()2()2，即m21，故m(，11，)4直线yx与椭圆C：1(a>b>0)交于A、B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为()A. B.1C. D42解析：选B.设A在y轴左侧，其坐标设为A(x0，x0)，则B(x0，x0)，设F1，F2为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，则c|AB|2|x0|，所以F2(2x0，0)，F1(2x0，0)，|AF2|2|x0|，|AF1|2|x0|

3、，因为|AF1|AF2|2a，所以a(1)|x0|，所以e1.5椭圆1上的点到直线x2y0的最大距离为()A3 B.C. D2解析：选C.易判断直线x2y0与椭圆1相交，令与直线x2y0平行的直线方程为x2yC0代入1，化简整理得8y24CyC2160，则16C232(C216)0，C±4.由图(图略)可知C4.切线x2y40与直线x2y0间的距离为.6椭圆1的一个焦点为F1，点P在椭圆上如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是_解析：设M的纵坐标为y0，F1为其左焦点，则F1(3，0)，可得P(3，2y0)，故1，解得y0±.答案：±7椭圆1(a>

4、;b>0)的离心率为，若直线ykx与其一个交点的横坐标为b，则k的值为_解析：由题意知，交点坐标为(b，kb)，代入1(a>b>0)得1，所以k21，所以k±e±.答案：±8已知椭圆1(a>b>0)的离心率为，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2_解析：设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(x1，y1)，则y2b2，yb2，所以k1·k2·1e21，即k1·k2的值为.答案：9椭圆ax2by21与直线xy10相交于A

5、，B两点，C是AB的中点，若|AB|2，OC的斜率为，求椭圆的方程解：法一：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差得，a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.而1，kOC，代入上式可得ba.再由|AB|·|x2x1|x2x1|2，其中x1、x2是方程(ab)x22bxb10的两根，故4·4，将ba代入得a，所以b，所以所求椭圆的方程是1.法二：由得(ab)x22bxb10.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|·.因为|AB|2，所以1.设C(x，y)，则x，y1x，因为OC的斜率为，所以.代入，得a，b.所以所求椭圆的

6、方程为y21.10已知离心率为的椭圆C：1(a>b>0)过点M(，1)(1)求椭圆的方程；(2)已知与圆x2y2相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，O为坐标原点，求·的值解：(1)因为e，又椭圆C过点M(，1)，所以解得所以椭圆方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线l的斜率不存在时，l：x±，则x1x2±，y1y2，所以·xy0.当直线l的斜率存在时，设l：ykxm，由于l与圆相切得：，所以3m28k280.将l的方程代入椭圆方程得：(12k2)x24kmx2m280，所以x1x2，x1x2，所以·x1x

7、2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m20，综上，·0.B.能力提升1已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围是()A42，42 B4，4C42，42 D4，4解析：选A.该椭圆的标准方程为1，故x，故m，所以2m442，422以F1(1，0)、F2(1，0)为焦点且与直线xy30有公共点的椭圆中，离心率最大的椭圆方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选C.设椭圆方程为1(a>1)，由得(2a21)x26a2x(10a2a4)0，由0，得a，e，此时a，故椭圆方程为1.3已知椭圆C：y21的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<y

8、<1，则|PF1|PF2|的取值范围为_解析：因为0<y<1，所以P(x0，y0)在椭圆内部所以|F1F2|PF1|PF2|<2a，即2|PF1|PF2|<2.答案：2，2)4.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为_解析：设F(c，0)，则c2a2b2.由题意，得直线A1B2的方程为1，直线B1F的方程为1.将两个方程联立，解得T(，)，则M(，)又点M在椭圆1(a>b>0)上

9、，所以1，整理，得c210ac3a20，即e210e30，解得e25或e25(舍去)答案：255已知ABC的周长为12，顶点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，0)，C为动点(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)过原点作两条关于y轴对称的直线(不与坐标轴重合)，使它们分别与曲线E交于两点，求四点所对应的四边形的面积的最大值解：(1)由题意知|CA|CB|1248>|AB|，所以动点C的轨迹是椭圆的一部分因为a4，c2，所以b212，所以曲线E的方程为1(x±4)(2)设两直线的方程为ykx与ykx(k>0)，记ykx与曲线E在第一象限的交点为(x0，y0)，ykx与1联立得

10、x，所以S4kx，因为k>0，所以S16，当且仅当4k，即k时，等号成立所以k时四边形面积的最大值为16.6(选做题)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e.直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设e，求|BC|与|AD|的比值；(2)当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由解：(1)由于C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：1，C2：1(a>b>0)设直线l：xt(|t|<a)，分别与C1，C2的方程联立，求得A(t，)，B(t，)当e时，ba，分别用yA，yB表示A、B的纵坐标，可知|BC|A