《数学分析》第六章 微分中值定理及其应用

1、第六章 微分中值定理及其应用（计划课时： 8时 ） § 1中值定理 （ 3时 ）一 思路: 在建立了导数的概念并讨论了其计算后，应考虑导数在研究函数方面的一些作用。基于这一目的，需要建立导数与函数之间的某种联系。还是从导数的定义出发：=.若能去掉导数定义中的极限符号,即,则目的就可达到.这样从几何上说就是要考虑曲线的割线与切线之间的平行关系. 一方面要考虑给定割线, 找平行于该割线的切线; 另一方面要考虑给定切线, 找平行于该切线的割线. (1)若给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出，则分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle定理

2、、Lagrange定理、Cauchy定理. 这三个微分中值定理用一句话概括：对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线. (2)若给定切线, 找平行于该切线的割线, 则不一定能实现. 二 微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性.2. Lagrange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 .用分析方法引进辅助函数, 证明定理. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置.系1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证)系2 函数和在区间I上可导且系3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导.

3、若存在 , 则右导数也存在, 且有(证)但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数 虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).Th3 (导数极限定理) 设函数在点的某邻域 内连续, 在内可导. 若极限存在, 则也存在, 且 ( 证 )由该定理可见, 若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时, 导函数在区间I上不可能有第二类间断点. 3. Cauchy中值定理:Th 4 设函数和在闭区间上连续, 在开区间内可导, 和在内不同时为零, 又 则在内至少存在一点 使得 .证 分析引出辅助函数 . 验证在上满足Rol

4、le定理的条件, 必有, 因为否则就有.这与条件“和在内不同时为零”矛盾. Cauchy中值定理的几何意义. Ex 1P163 14； 三 中值定理的简单应用: ( 讲1时 ) 1. 证明中值点的存在性: 例1 设函数在区间上连续, 在内可导, 则, 使得 .证 在Cauchy中值定理中取.例2 设函数在区间上连续, 在内可导, 且有.试证明: .2. 证明恒等式: 原理.例3 证明: 对, 有 .例4 设函数和可导且又 则 .(证明 . )例5 设对,有 ,其中是正常数.则函数是常值函数. (证明 ).3. 证明不等式: 原理. 例6 证明不等式: 时, .例7 证明不等式: 对，有. 4.

5、 证明方程根的存在性: 例8 证明方程 在内有实根.例9 证明方程 在内有实根.四 单调函数 （结合几何直观建立）1 可导函数单调的充要条件Th 5设函数在区间内可导. 则在内(或) 在内 ( 或 ).例10 设.试讨论函数的单调区间.解:确定定义域. 函数的定义域为.求导数并分解因式.确定导数为0的点和不存在的点.令,得将导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域,列表讨论各个区间上的单调性.列表(-1,1)02 可导函数严格单调的充要条件Th6设函数在区间内可导. 则在内( 或) > 对 有 ( 或; > 在内任子区间上3 可导函数严格单调的充分条件推论 见P124例11

6、 证明不等式 Ex 1P124125 17. §2 不定式的极限 ( 2时 ) 一. 型:Th 1 (Hospital法则 ) ( 证 ) 应用技巧.例1 例2 .例3 . ( 作代换 或利用等价无穷小代换直接计算. )例4 . ( Hospital法则失效的例 )二 型:Th 2 (Hospital法则 ) ( 证略 )例5 .例6 .注: 关于当时的阶.例7 . ( Hospital法则失效的例 )三. 其他待定型: .前四个是幂指型的.例8例9.例10.例11.例12.例13.例14设 且 求解 . Ex 1P132133 15. §3 Taylor公式 ( 3时 )

7、 一. 问题和任务: 用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度. 二. Taylor( 16851731 )多项式:分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式定义 (Taylor 多项式 及Maclaurin多项式)例1 求函数在点的Taylor 多项式. 三. Taylor公式和误差估计:称 为余项. 称给出的定量或定性描述的式为函数的Taylor公式. 1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) Taylor中值定理:Th 1 设函数满足条件: > 在闭区间上有直到阶连续导数; > 在开区间内有阶导数.则对 使 .证 1P138139.称这种形

8、式的余项为Lagrange型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式. Lagrange型余项还可写为 .时, 称上述Taylor公式为Maclaurin公式, 此时余项常写为 .2. 误差的定性描述( 局部性质 ) Peano型余项:Th 2 若函数在点的某邻域内具有阶导数, 且存在, 则 , . 证 设, . 应用Hospital法则次,并注意到存在, 就有 = .称为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为. 并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式( 或M

9、aclaurin公式 ). 四. 函数的Taylor公式( 或Maclaurin公式 )展开: 1. 直接展开:例2 求 的Maclaurin公式.解 .例3 求 的Maclaurin公式.解 , .例4 求函数的具Peano型余项的Maclaurin公式 .解 . .例5 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式. 2. 间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式.例6 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .解 ,.例7 把函数展开成含项的具Peano型余项的Maclaurin公式 .解 , 注意, .例8 先把函数展

10、开成具Peano型余项的Maclaurin公式.利用得到的展开式, 把函数在点展开成具Peano型余项的Taylor公式.解 . =+例9 把函数展开成具Peano型余项的Maclaurin公式 ，并与的相应展开式进行比较.解 ; .而 . 五. Taylor公式应用举例: 1. 证明是无理数:例10 证明是无理数.证 把展开成具Lagrange型余项的Maclaurin公式, 有 .反设是有理数, 即和为整数), 就有 整数 + .对也是整数. 于是, 整数 = 整数整数 = 整数.但由 因而当 时，不可能是整数. 矛盾.2. 计算函数的近似值:例11 求精确到的近似值.解 .注意到 有 .

11、 为使,只要取. 现取, 即得数的精确到的近似值为 .3. 利用Taylor公式求极限: 原理:例12 求极限 .解 , ; .4 证明不等式： 原理.例13 证明: 时, 有不等式 . Ex 1P141 13. §4 函数的极值与最大（小）值（ 4时 ） 一 可微函数极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值, 极值是多少.1. 可微极值点的必要条件: Th1 Fermat定理(取极值的必要条件).函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.2. 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极（结合几何直观建立极值点的判别法）Th 2 (

12、充分条件) 设函数在点连续, 在邻域和内可导. 则 > 在内 在内时, 为的一个极小值点; > 在内 在内时, 为的一个极大值点; > 若在上述两个区间内同号, 则不是极值点.或列表为不存在极小值点不存在极大值点不存在非极值点不存在非极值点Th 3 (充分条件“雨水法则”)设点为函数的驻点且存在.则 > 当时, 为的一个极大值点; > 当时, 为的一个极小值点.证法一 当时, 在点的某空心邻域内与异号,证法二 用Taylor公式展开到二阶, 带Peano型余项.Th 4 (充分条件 ) 设,而.则 > 为奇数时, 不是极值点; > 为偶数时, 是极值点

13、. 且对应极小; 对应极大.例1 求函数的极值. 例2 求函数的极值. 例3 求函数的极值.注 Th 2、 Th 3、 Th 4只是极值点判别的充分条件.如函数它在处取极小值,但因.所以无法用Th 4对它作出判别.二 函数的最大值与最小值:设函数在闭区间上连续且仅有有限个可疑点. 则 =; .函数最值的几个特例:> 单调函数的最值:> 如果函数在区间上可导且仅有一个驻点, 则当为极大值点时, 亦为最大值点; 当为极小值点时, 亦为最小值点.> 若函数在内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点.> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或

14、小)值点.例4 求函数在闭区间上的最大值与最小值.B最值应用问题:例5 、两村距输电线(直线A1.5km)分别为 和（如图），1km长. 现两村合用一台变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长最小.DEC解 设如图，并设输电线总长为.则有 , , 解得 和 ( 舍去 ). 答： 三 利用导数证明不等式:我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用导数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅3P112142 ). 本段仅介绍利用单调性或极值证明不等式的简单原理.1. 利用单调性证明不等式: 原理: 若, 则对, 有不等式.例5证明: 对任意实数和, 成立

15、不等式 证 取在内.于是, 由 , 就有 , 即 . 2. 不等式原理: 设函数在区间上连续,在区间内可导,且; 又 则 时, (不等式原理的其他形式.)例6 证明: 时, .例7 证明: 时, .3. 利用极值证明不等式:例8 证明: 时, . Ex 1P146147 19. §5 函数的凸性与拐点（ 2时 ）一 凸性的定义及判定：1 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义 见书P146凸性的几何意义: 曲线的弯曲方向;曲线与弦的位置关系;曲线与切线的位置关系. 引理(弦与弦斜率之间的关系)2 利用一阶导数判断曲线的凸向Th1 (凸的等价描述) 见书P14

16、6例1 (开区间内凸函数的左、右可导性,从而开区间内凸函数是连续的)3 利用二阶导数判断曲线的凸向:Th2 设函数在区间内存在二阶导数, 则在内 在内严格上凸; 在内严格下凸.证法一 ( 用Taylor公式 ) 对 设, 把在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有 .其中和在与之间. 注意到 , 就有 , 于是 若有 上式中, 即严格上凸. 若有 上式中, 即严格下凸.证法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 则有, 不妨设,并设 ,分别在区间和上应用Lagrange中值定理, 有,.有 又由 ， <, ， 即 ， 严格下凸.可类证的情况.例2 讨论函数的凸性

17、区间.例3 若函数为定义在开区间内的可导函数,则为的极值点的充要条件是为的稳定点，即4 凸区间的分离: 的正、负值区间分别对应函数的下凸和上凸区间.二. 曲线的拐点: 拐点的定义.Th3 (拐点的必要条件)Th4 (拐点的充分条件)不存在拐点不存在拐点不存在非拐点不存在非拐点注:函数的凹凸性、拐点归结为其一阶导函数的增减性、极值点.例4 讨论曲线的拐点.极大值拐点 三 Jensen不等式及其应用:Jensen不等式: 设在区间上恒有( 或, 则对上的任意个点 , 有Jensen不等式: ( 或,且等号当且仅当时成立.证 令, 把表为点处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿前述定理

18、的证明，注意 即得所证.对具体的函数套用Jensen不等式的结果,可以证明一些较复杂的不等式.这种证明不等式的方法称为Jensen不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还用到所选函数的严格单调性.例2 证明: 对 有不等式 .例3 证明均值不等式: 对, 有均值不等式 .证 先证不等式. 取. 在内严格上凸, 由Jensen不等式, 有 .由 . 对用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.例4 证明: 对, 有不等式 . ( 平方根平均值 )例5设，证明 .解 取, 应用Jensen不等式.例6 在中, 求证 .解 考虑函数在区间内凹, 由Jensen不等式, 有.例7 已知. 求证 .解 考虑函数, 在内严格上凸. 由Jensen不等式, 有 . . 例8 已知 求证 . ( 留为作业