勾股定理的应用

1、教案示例勾股定理湖北荆州  黄远生教材分析勾股定理选自九年义务教育三年制初级中学教科书几何（人教版）第二册。“勾股定理”是几何中极重要的一个定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，将形与数密切联系起来，在理论上占有重要位置，而且它可以解决许多直角三角形的计算问题，在生产、生活中用途很大。本课时主要学习“勾股定理”的证明及简单的应用。关于“勾股定理”的证明方法有很多种，在教学中选择了“面积法”这种不常用却直观的证明方法。这种方法侧重学生自己动手，很能调动学生的学习积极性。但在教学中应注意两个问题：第一是图形的拼接方法；第二是应用面积相等的关系列等式。这两个问题在教学时应多加引导。对

2、于“勾股定理”的应用应注意强调：一定要在直角三角形中；一定是已知其中两边求第三边，并要注意求直角边与求斜边公式的不同。本课时内容与前面所学知识联系不大，不受基础的限制，但要求学生多动口、动手、动脑，以学生自主探索为主。教师对于教学中出现的突发问题应及时解答，给予学生帮助。设计理念数学课程标准指出：“本学段（79年级）的教学应结合具体的数学内容采用问题情境建立模型解释、应用与拓展的模式展开，让学生经历知识的形成与应用的过程”本课时教学强调让学生经历数学知识的形成与应用过程，鼓励学生自主探索与合作交流，以学生自主探索为主，并强调同桌之间的合作与交流，强化应用意识，培养学生多方面能力。让学生通过动手

3、、动脑、动口自主探索，感受到“无处不在的数学”与数学的美，以提高学习兴趣，进一步体会数学的地位和作用。教学目标1学习掌握勾股定理的证明及内容，并能进行简单应用。2培养动口、动手、动脑的综合能力，并感受从具体到抽象的认知规律。教学重点：勾股定理的证明及应用。教学难点：勾股定理在生活中的应用。教学过程教具准备：“L”形纸片若干，红和绿纸片各一张，剪刀，直尺，相关课件。一、趣题引入，导入新课。师：如图1，这是由两个过长不同的正方形连在一起的“L”形纸片，现在请你剪两刀，再将所得图形拼成一个正方形。图1（学生动手操作，几分钟后学生剪纸失败，停了下来，期待老师帮助。）师：要解决这些问题，我们可以从剪一些

4、简单的图形开始。【以趣题引入，激发学生兴趣。】二、动手动脑，推导定理。师：现在，请同学们按老师的要求来做。同桌之间任意确定两条线段长，并以这两条线段长为直角边，用红纸、绿纸各剪四个全等的直角三角形。（学生动手，很快完成。）师：同桌之间，一位同学用红纸剪两个正方形，边长分别为直角三角形的两条直角边长；另一位同学用绿纸剪一个正方形，边长等于直角三角形的斜边长。师：请大家用六个红色图形或五个绿色图形拼成一个大的正方形。学生完成拼图，如图2、图3，并投影演示拼图。学生若有困难，可仿照投影图拼图。图2图3师：请同学们将红色正方形、绿色正方形放在一起比较，看看有什么发现，可得到什么结论？生：两个正方形一样

5、大。正方形的边长都为ab，所以两个正方形的面积相等。（投影演示）师：将两个正方形中全等的图形拿掉，还剩下什么？生：拿掉后可发现还剩两个红色正方形、一个绿色正方形。（投影演示）师：这三个正方形的面积有什么关系？为什么？生：两个小正方形的面积和等于大正方形的面积。因为大正方形的面积相等，拿掉部分的面积相等，所以剩下部分的面积相等。师：由此可得出什么结论？（若学生回答有困难，可作提示：正方形面积怎么计算？三个正方形边长各是多少？引导学生由“形”向“数”转化。）生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。师：这就是我们今天要学习的勾股定理（板书课题）。若用a、b表示直角三角形的两直角边，c表示斜边，

6、可得到关系式：a2b2c2。师：下面来看看我国对勾股定理的研究。（播放录像片，介绍勾股定理的历史，激发学生的爱国热情。）【让学生主动参与；自主探究，调动学生积极性。】三、举例验证定理。师：刚才我们通过剪纸，得到一个定理勾股定理。勾股定理的内容为：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。现在，我们来验证一下。请大家任意画一个直角三角形，量出三边长a、b、c，并计算一下，看看是否满足勾股定理。（学生动手。）生：a3cm，b4cm，c5cm，满足324252生：a4cm，b5cm，c6.4cm，满足42526.42。师：我们再回顾一下，勾股定理是怎样得到的？生：通过剪纸，比较正方形的面积得到的。师

7、：这是数学证题中常用的方法：面积法、比较法。（生阅读课本中对勾股定理的证明的内容。）【通过具体例子验证定理的正确性，加深学生印象。】四、应用举例，巩固定理。师：我们刚才学习了勾股定理。勾股定理有什么用呢？怎样用？生：知道直角三角形两边可以求第三边。生：知道两直角进可求斜边，应用公式。生：知道斜边和一直角边，可求另一直角进，应用公式。师：请同学们每人任作两直角三角形，量出其中一个直角三角形两直角边，求出其斜边；量出另一直角三角形一直角边和斜边，求另一直角边。运算完之后，再量出所求线段的长，看看计算是否正确，图是否画准了。（师小结勾股定理应用，略。）阅读课本第97页例1和第98页例2。练习：略。师

8、：我们掌握了勾股定理，并会应用了。再回头看看上课时提到的问题，该怎么解？（若有困难，可提示：可考虑今天所学的勾股定理及面积法，剪拼过程中，什么没发生改变？要得到的是正方形，应该先求出什么？可以怎样求出？）生：可以这样剪。（一学生边剪边示范，如图4）在大正方形各边上找一点H，使BHEF，再沿直线AH、HE剪开即可。再将AH、HE边拼成正方形。（如图5，投影演示过程。）图4图5师：为什么可以这样剪？你是怎样想到的？生：因所剪图形前后面积没发生变化。设大小两个正方形边长分别为a、b，则面积和为a2b2，所以所剪正方形边长应为 ，要得到以a、b为直角边构造直角三角形即可。【通过例子，牢固掌握定理及应用

9、方法。】五、课堂小结。1勾股定理内容及应用。2两种数学证题方法：比较法和面积法。【梳理本节课重要方法及知识点，加深对本章知识的理解。六、作业。1阅读有关勾股定理的证明材料。2课本习题（略）。3将下图剪两刀，拼成一个正方形。【通过作业的完成，巩固勾股定理及应用，并通过阅读拓宽学生视野。】课后思考教学在一种轻松、愉快的环境中完成，而且取得了很好的教学效果。首先从剪纸拼正方形开始，一下子调动了学生的学习积极性。随着“意料之中”的失败，很自然引入了新课，又开始引导学生对新知识“勾股定理”的探索。“勾股定理”是在学生的动手、动口、动脑中产生的，有一种“水到渠成”的效果。在这里，学生成了学习的主体，教师只是引路者。体现学生学习的主体性、主动性原则。在学生推导出“勾股定理”后，又让学生通过动手作图，检验其正确性，使学生感到自己“发现”的定理是正确的。在对“勾股定理”的应用中，首先分析了其中的数量关系，了解应用“勾股定理”的条件和方法，然后用例题、习题加以巩固，使学生牢固掌握。待这一切完成后，又回到引例提出的问题中，达到了“首尾呼应”的效果，并且对“勾股定理”的应用有了加深。课后小结是对本节课知识点的回顾与总结。作业分三部分：第一部分让学生加强课外阅读，拓展知识面；第二部