10立体几何线面位置关系的判定与证明

1、第10讲立体几何线面位置关系的判定与证明一、考点要点线面的平行与垂直的判定和性质：平行垂直直线a 与直线b（1）同平行于直线c的两直线平行（2）ab = b，aa，aÌb Þ ab （3）ab = b，aa，ab Þ ab（4）aa，ba Þ ab（5）两平行平面都和第三个平面相交，则交线平行（1）ab，bc Þ ac（2）aa，bÌa Þ ab（3）三垂线定理、逆定理（4）aa，ba Þ ab直线a（b）与平面a（b、）（1）aËa，bÌa，ab Þ aa（2）ab，aÌb

2、 Þ aa（3）aËa，ab，ab Þ aa（1）m、nÌa，mn=B，am，an Þ aa（2）ab，ba Þ aa（3）ab，ab Þ aa（4）ab，ab = b，ab，ab Þ aa （5）ab，b，bg = a Þ aa平面a与平面b（1）若a 内的两条相交直线a、b都平行于b，则ab（2）aa，ba Þ ab（3）平行于同一平面的两平面平行（1）lb，lÌa Þ ab（2）ab，ag Þ bg根据上述线面的平行与垂直的判定和性质，可知：“线线平行 线面平

3、行 面面平行”，“线线垂直 线面垂直 面面垂直”是立几中所表现出的线面的平行与垂直关系互相转化的基本思路，掌握了这种转化思路，也就掌握了用传统方法解答立体几何问题的钥匙若是单纯的判断题，通常是结合图形（或另作，或想象）将三种语言（文字、符号、图形）互译互助，利用判定定理或性质定理解决；若是线面平行、垂直关系的证明问题，基本思路是：由“已知”用性质推“可知”，看“欲证”想“要证”用判断，并借助图形直观，添加必要的辅助线（面）；若是角、距离的计算问题，首先是在原有图形上千方百计地找到（或作出）符合相关定义的角、距离，然后加以论证，最后是计算角或距离的大小二、典型例题例1 （1）（2013·

4、;广东）设m，n是两条不同的直线，a，b 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）D （用长方体模型思考判断）A若ab，mÌa，nÌb，则mn B若ab，mÌa，nÌb，则mnC若mn，mÌa，nÌb，则ab D若ma，mn，nb，则ab（2）（2013·新课标）已知m，n为异面直线，m平面a，n平面b直线l满足lm，ln，lËa，lËb，则（） DAab，且la Bab，且lbCa 与b 相交，且交线垂直于l Da 与b 相交，且交线平行于lEBADCECDBA例2 （2008·重庆）如图，在

5、ABC中，B = 90°，AC = 7.5，D、E两点分别在AB、AC上，使AD:DB = AE:EC = 2，DE = 3现将ABC沿DE折成直二角角，求：（1）异面直线AD与BC的距离；（2）二面角AECB的大小（用反三角函数表示）分析 （1）因为与AD、BC既垂直又相交的直线是异面直线AD与BC的公垂线，两交点间的线段长是其距离，所以图文结合，仔细领会题意，不难发现BD就是异面直线AD与BC的距离（2）在折叠后的图中，由于AD底面DBCE，所以利用三垂线定理或逆定理作出二面角AECB的平面角，然后加以论证和计算解 （1） AD:DB = AE:EC， BEBC又因B = 90&

6、#176;， ADDEBADCEF因ADEB是直二面角，ADDE，故AD底面DBCE，从而ADDB注意到DBBC，所以DB为异面直线AD与BC的公垂线如图，由AD:DB = AE:EC = 2，得 DE:BC = AD:AB = 2:3又DE = 3， BC = 4.5，AB2 = AC2BC2 = 36进而 BD = 2，即异面直线AD与BC的距离为2（2）如图，过D作DFCE，交CE的延长线于F，连结AF由（1）知，AD底面DBCE，由三垂线定理知AFFC，故AFD为二面角AECB的平面角在底面DBCE中，DEF =BCE，BD = 2，CE = 2.5，得，从而在RtDFE中，DE =

7、3，DF = DE·sinDEF = DE·sinBCE = 2.4在RtAFD中，AD = 4，因此所求二面角AECB的大小为说明：1现行教材及考纲中对异面直线的距离要求较低，在图中往往有现成的距离（不需要另作），只要根据题意加以说明（证明）它满足异面直线的距离所要求的两个条件：既垂直又相交即可2作二面角的平面角时，通常需要确定出（或找到）一个半平面的一条垂线，借助于三垂线定理或逆定理去作角（先作出），后证明3要善于熟练应用直角三角形的边角关系例3 （2008·安徽）如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，ABC = 45°，OA底面

8、ABCD，OA = 2，M为OA的中点，N为BC的中点（1）证明：直线MN平面OCD；（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；（3）求点B到平面OCD的距离分析 （1）要证直线MN平面OCD，只需在平面OCD内找到（若无现成的则需另作）一条直线，证明它与MN平行（这条思路本题不太容易）；或者证明直线MN所在的某个平面（常常需要另作）平面OCD，注意到题设中有两个中点，于是再取AD或OB的中点（如下图），则问题立即解决MACNBDOMACNBDOEFMACNBDOMACNBDO（2）异面直线所成的角需要转化成两条相交直线所成的锐角或直角所以平行移动AB或MD，使它们相交，结合图形，发现ABCD，

9、而CDMD = D，所以MDC就是异面直线AB与MD所成的角（或其补角）连结CM，在CDM中，不难得出DM =，CM2 = 3，而CD = 1，AC2 = 2，进而由余弦定理，得，得MDC = 60°所以AB与MD所成的角为60°（3）由于ABCD，CD Ì 平面OCD，AB Ë 平面OCD，所以AB平面OCD，点A和点B到平面OCD的距离相等，设为h则 OD2 = OA2 + AD2 = 5，AC2 = 1 + 12×1×1×cos45° = 2，OC2 = 4 + 2= 6，于是 在OCD中，有， 由 VAOC

10、D = VOACD 得，所以说明：1充分利用“线线、线面、面面平行（垂直）的转化关系”进行分析，是顺利解答高考立体几何试题的重要思路2第（3）小题，若注意到OA底面ABCD这一已知，则有以下求解方法： AB平面OCD， 点A和点B到平面OCD的距离相等连结OP，过点A作AQOP于点Q APCD，OACD， CD平面OAP， AQCDA1B1BACC1又 AQOP， AQ平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 ，AP = PD，所以，即点B到平面OCD的距离为例4 （2008·湖北）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面A1ABB1（1）求证：ABBC；（2

11、）若直线AC与平面A1BC所成的角为q，二面角A1BCA的大小为j，试判断q 与j 的大小关系，并予以证明分析 （1）图文结合、理解题意要证ABBC，通常是证AB垂于BC所在的某个平面或BC垂于AB所在的某个平面，于是转化为只需证明BC垂直于这个平面内的两条相交直线为了转化并利用已知条件“平面A1BC侧面A1ABB1”，所以过点A在平面A1ABB1内作ADA1B于D，得到AD平面A1BC，进而ADBCA1B1BACDC1根据ABCA1B1C1是直三棱柱，得侧棱AA1底面ABC，有AA1BC，而ADAA1 = A，所以BC平面AA1D，故BCAB（2）连结CD，则由（1）知ACD是直线AC与平面

12、A1BC所成的角，ABA1是二面角A1BCA的平面角，即ACD =q，ABA1=j于是在RtADC中，；在RtADB中，由ABC是直角三角形，AC是斜边知ABAC，得 sinqsinj，又 0q，j90°， qj说明：1熟练理解并掌握线线、线面、面面的判定与性质，是迅速打开并探寻立体几何题解题思路的桥梁由于判定与性质较多，故要善于选择简捷的途径2对于线面角或面面角，找到（或作出）平面的一条垂线是关键3变式：在上述条件下，若增加一个条件AA1 = AC，则有结论q +j = 90°成立例5 如图，平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，

13、且CD = a，AB = b，CDAB（1）求证：EFGH是矩形；（2）求当点E在什么位置时，EFGH的面积最大DHABFCEG解 （1） CD面EFGH，而面EFGH面BCD = EF， CDEF同理 HGCD， EFHG同理 HEGF 四边形EFGH为平行四边形由CDEF，HEAB， HEF为CD和AB所成的角或其补角又 CDAB， HEEF， 四边形EFGH为矩形（2）由（1）可知在BCD中，EFCD，其中DE = m，EB = n， ，得 由 HEAB， ，有又 四边形EFGH为矩形， S矩形EFGH = HE · EF =·b·a =ab m + n2，（m + n）24mn，当且仅当m = n时取等号，即E为BD的中点时，S矩形EFGH =abab， 矩形EFGH的面积最大为ab点评：求最值时经常转化为函数求最值、不等式求最值、导数求最值、线性规划求最值等PCDAB例6 如图所示，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，又ADBC，ADDC，且PD = BC = 3 AD = 3（1）在网格中画出四棱锥PABCD的正视图；（2）求证：平面PAD平面PCD；（3）在棱PB上是否存在一点E，使得AE平面PCD，若存在，求的值；若不存在，请说明理由解：（1）四棱锥PABCD的正视图如图所示（2）因为PD平面ABCD，AD Ì