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文档简介

1、习题1-2 1. 观察一般项xn如下的数列xn的变化趋势, 写出它们的极限: (1); 解 当n®¥时, ®0, . (2); 解 当n®¥时, ®0, . (3); 解 当n®¥时, ®2, . (4); 解 当n®¥时, ®0, . (5) xn=n(-1)n. 解 当n®¥时, xn=n(-1)n没有极限. 2. 设数列xn的一般项. 问=? 求出N, 使当n>N时, xn与其极限之差的绝对值小于正数e , 当e =0.001时, 求出数N.

2、解 . . "e >0, 要使|x n-0|<e , 只要, 也就是. 取, 则"n>N, 有|xn-0|<e . 当e =0.001时, =1000. 3. 根据数列极限的定义证明: (1); 分析 要使, 只须, 即. 证明 因为"e>0, $, 当n>N时, 有, 所以. (2); 分析 要使, 只须, 即. 证明 因为"e>0, $, 当n>N时, 有, 所以. (3); 分析 要使, 只须. 证明 因为"e>0, $, 当"n>N时, 有, 所以. (4). 分析

3、要使|0.99 × × × 9-1|, 只须<e , 即. 证明 因为"e>0, $, 当"n>N时, 有|0.99 × × × 9-1|<e , 所以. 4. , 证明. 并举例说明: 如果数列|xn|有极限, 但数列xn未必有极限. 证明 因为, 所以"e>0, $NÎN, 当n>N时, 有, 从而|un|-|a|£|un-a|<e . 这就证明了. 数列|xn|有极限, 但数列xn未必有极限. 例如, 但不存在. 5. 设数列xn有界,

4、又, 证明: . 证明 因为数列xn有界, 所以存在M, 使"nÎZ, 有|xn|£M. 又, 所以"e>0, $NÎN, 当n>N时, 有. 从而当n>N时, 有 , 所以. 6. 对于数列xn, 若x2k-1®a(k®¥), x2k ®a(k ®¥), 证明: xn®a(n®¥). 证明 因为x2k-1®a(k®¥), x2k ®a(k ®¥), 所以"e>0, $K1, 当2k-1>2K1-1时, 有| x2k-1-a|<e ; $K2, 当2k>2K2时, 有|x2k-a|<e . 取N=ma

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