理论力学课件第一篇静力学第五章 静力学应用专题x

1、理论力学电子教程理论力学电子教程理论力学电子教程理论力学电子教程第五章第五章 静力学应用专题静力学应用专题 第五章第五章 静力学应用专题静力学应用专题 第一节 桁 架第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题理论力学电子教程理论力学电子教程第一节第一节 桁桁 架架 第一节 桁 架 理论力学电子教程理论力学电子教程一、概述一、概述桁架桁架是由许多直杆按适当方式分别在两端是由许多直杆按适当方式分别在两端连接而成的几何形状不变的结构。连接而成的几何形状不变的结构。 特点特点：杆件截面受力均匀杆件截面受力均匀，因而可节省材，因而可节省材料，减少自重，所以在工程上应用很广。料，减少自重，所以在工程上应用很广。第一节

2、第一节 桁桁 架架 房屋和桥梁上常采用桁架结构；水利工程上的房屋和桥梁上常采用桁架结构；水利工程上的闸门以及起重机、高压输电线塔等采用桁架结构的闸门以及起重机、高压输电线塔等采用桁架结构的也很多。也很多。理论力学电子教程理论力学电子教程图图5-1 房屋结构房屋结构第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程图图5-2 桥梁结构桥梁结构第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程第一节第一节 桁桁 架架 铁铁 塔塔理论力学电子教程理论力学电子教程桁架中杆件与杆件的连接点，称为桁架中杆件与杆件的连接点，称为结点结点或或节点节点。所有杆件的轴线都在同一平面内的桁。所有杆件

3、的轴线都在同一平面内的桁架称为架称为平面桁架平面桁架；杆件轴线不在同一平面内；杆件轴线不在同一平面内的桁架则称为的桁架则称为空间桁架空间桁架。设计桁架时，必须首先根据作用于桁架设计桁架时，必须首先根据作用于桁架的荷载，确定各杆件所受的力的荷载，确定各杆件所受的力内力内力。杆件。杆件内力可用静力学平衡方程求得的桁架，称为内力可用静力学平衡方程求得的桁架，称为架静定桁架静定桁。第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程实际桁架的构造和受力情况较复杂，作实际桁架的构造和受力情况较复杂，作为初步分析，为了简化计算，通常采用如下为初步分析，为了简化计算，通常采用如下基本假设基本假设：杆端

4、用光滑铰连接，铰的中心就是节点杆端用光滑铰连接，铰的中心就是节点 的的位置；各杆的轴线都通过节点。位置；各杆的轴线都通过节点。所有外力（包括荷载和支座反力）都集中作所有外力（包括荷载和支座反力）都集中作用于节点。对于平面桁架，还假设所有荷载用于节点。对于平面桁架，还假设所有荷载都在各杆轴线所在的中央平面内。都在各杆轴线所在的中央平面内。第一节第一节 桁桁 架架 12理论力学电子教程理论力学电子教程 假设所有外力都作用于节点，而且各杆是光铰链连接，假设所有外力都作用于节点，而且各杆是光铰链连接，所以每一杆件只在两端受力，是所以每一杆件只在两端受力，是二力杆二力杆。 作用于杆件两端的两个力必定沿着

5、杆件的轴线作用，作用于杆件两端的两个力必定沿着杆件的轴线作用，这种力称为这种力称为轴向力轴向力。它们只在杆件内引起它们只在杆件内引起拉力拉力或或压力压力。第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程考察桁架中的任一杆件考察桁架中的任一杆件AB 。该杆两端。该杆两端A、B各受力各受力F1 1及及F2 2；由杆由杆AB的平衡可的平衡可知，知，F1 1及及F2 2必须大小相等，必须大小相等，方向相反，并沿轴线方向相反，并沿轴线AB作作用。用。 现在假想在任一处现在假想在任一处M M将将杆截断，则由左边部分杆截断，则由左边部分AMAM的的平衡可知，横截面平衡可知，横截面M上必受上必受到右

6、边部分的作用力到右边部分的作用力FN，而且而且FN= = - F1 ，力，力FN就是就是杆杆AB的内力。的内力。第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程杆件的内力是沿着杆件轴线作用的杆件的内力是沿着杆件轴线作用的拉力或压力，拉力或压力，而且，而且，对于同一杆件来说，各横截面上的内力是相同的对于同一杆件来说，各横截面上的内力是相同的。进行计算。进行计算时，总是假想在任一处将杆件截断，求出它的内力。时，总是假想在任一处将杆件截断，求出它的内力。注意：注意：上述结论是根据两个假设，通过简化得到的，上述结论是根据两个假设，通过简化得到的，与实际情况并不完全相符。与实际情况并不完全相符

7、。首先，杆件的连接方法多半不是铰接，而是榫接（木首先，杆件的连接方法多半不是铰接，而是榫接（木材）或铆接、焊接（钢材）或刚性连接（钢筋混凝土）；材）或铆接、焊接（钢材）或刚性连接（钢筋混凝土）；即使采用铰接，铰与杆件之间也总有些摩擦等。即使采用铰接，铰与杆件之间也总有些摩擦等。其次，假设外力集中于节点也并不完全可能，杆件本其次，假设外力集中于节点也并不完全可能，杆件本身的重量就无法使其集中于两端。身的重量就无法使其集中于两端。再次，使杆件的轴线准确地通过节点，在施工上也有再次，使杆件的轴线准确地通过节点，在施工上也有困难。困难。第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程在以上的

8、讨论中，在以上的讨论中，都没有考虑杆件的变形。都没有考虑杆件的变形。事实事实上，杆件并非刚体，受力后必将发生变形。实践证明，上，杆件并非刚体，受力后必将发生变形。实践证明，对于一般的结构物用的桁架不考虑杆件变形，并根据对于一般的结构物用的桁架不考虑杆件变形，并根据上述假设进行分析计算，所得结果已能满足设计要求。上述假设进行分析计算，所得结果已能满足设计要求。一般来说，一般来说，实际结构中的杆件受力情况比较复杂实际结构中的杆件受力情况比较复杂，除了杆端不是光滑铰连接外，所受外力沿杆轴线的变除了杆端不是光滑铰连接外，所受外力沿杆轴线的变化也各不相同。化也各不相同。计算杆件横截面上的内力，常采用计算

9、杆件横截面上的内力，常采用截面法截面法：即用：即用一假想截面在需求内力的截面处将杆件切断，考虑其一假想截面在需求内力的截面处将杆件切断，考虑其中任一部分的平衡，求该截面上的内力。中任一部分的平衡，求该截面上的内力。第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程设向截面形心设向截面形心O点简化，得到主矢点简化，得到主矢FR和主矩和主矩MO。根据工程上的需要，也为了便于计算，常将主矢根据工程上的需要，也为了便于计算，常将主矢FR和和MO主矩沿直角坐标轴分解得到各个内力分量。主矩沿直角坐标轴分解得到各个内力分量。 若考察杆件左边部分（如图），右边部分将对其有若考察杆件左边部分（如图），右

10、边部分将对其有作用力，无论杆件横截面上内力分布如何复杂，根据力作用力，无论杆件横截面上内力分布如何复杂，根据力系简化理论，总可以系简化理论，总可以向该截面内某一点简化向该截面内某一点简化，得到一主，得到一主矢量和一主矩，分别称为矢量和一主矩，分别称为内力主矢内力主矢和和内力主矩内力主矩。第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程图图5-5 内力分量内力分量 过点过点作直角坐标系作直角坐标系Oxyz，使横截面位于使横截面位于yz平面平面内，内，x轴沿杆轴线，其正向与截面的外法线一致，可轴沿杆轴线，其正向与截面的外法线一致，可得得FR的三个分量为的三个分量为Fx、Fy、Fz，MO的

11、三个分量为的三个分量为Mx、My、Mz，如图如图5-5所示。所示。第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程 力力Fx 垂直于截面，称为垂直于截面，称为轴力轴力； 力力Fy、Fz 平行于截面，称为平行于截面，称为剪力剪力； 力偶力偶 Mx 有使截面绕杆轴线转动的趋势，称为有使截面绕杆轴线转动的趋势，称为扭矩扭矩； 力偶力偶 My、Mz 分别有使截面绕分别有使截面绕 y 轴和轴和 z 轴转动（使杆轴转动（使杆 发生弯曲）的趋势，称为发生弯曲）的趋势，称为弯矩弯矩。第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程二、桁架内力分析的节点法二、桁架内力分析的节点法 桁架受到外

12、力作用时，整个桁架保持平衡，如桁架受到外力作用时，整个桁架保持平衡，如截取桁架的任一部分来考察，该部分也必然处于平截取桁架的任一部分来考察，该部分也必然处于平衡状态。衡状态。 节点法节点法就是假想将某一节点周围的杆件截断，取就是假想将某一节点周围的杆件截断，取该节点作为考察的对象，则节点在外力和被截断的该节点作为考察的对象，则节点在外力和被截断的那些杆件的内力作用下保持平衡。那些杆件的内力作用下保持平衡。作用于节点的外力和杆件的内力组成一作用于节点的外力和杆件的内力组成一平衡的平衡的汇交力系汇交力系,由平衡条件可以求出未知的杆件内力。由平衡条件可以求出未知的杆件内力。 第一节第一节 桁桁 架架

13、 理论力学电子教程理论力学电子教程对于对于平面桁架平面桁架，因为平面汇交力系只有两个独立因为平面汇交力系只有两个独立的平衡方程，所以，在选取节点时应使汇交于该节点的平衡方程，所以，在选取节点时应使汇交于该节点的未知力不超过两个。对于的未知力不超过两个。对于空间桁架空间桁架，则一般不应超，则一般不应超过三个。过三个。计算内力时，总是假设每一杆件都受拉力；如果计算内力时，总是假设每一杆件都受拉力；如果某一杆件的内力计算结果是负值，就表示杆件的内力某一杆件的内力计算结果是负值，就表示杆件的内力是压力。是压力。由于杆件承受拉力的能力与承受压力的能力不同，由于杆件承受拉力的能力与承受压力的能力不同，设计

14、时对受压杆件的考虑与对受拉杆件的考虑大不一设计时对受压杆件的考虑与对受拉杆件的考虑大不一样，必须十分重视。样，必须十分重视。第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程试求图试求图5-6 (a)所示桁架中各杆的内力。所示桁架中各杆的内力。 图图5-6 例例5-1附图附图解：解： 首先考虑整个首先考虑整个桁架的平衡，求支座反桁架的平衡，求支座反力。力。0HiM例例5-1234402PPPPRAFaFaFaFaFa2RAPFF第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程0iyF 40RARHPFFF解得：解得： 2RHPFF 由于由于桁架结构及所受外力桁架结构及所受外力

15、(包括荷载和约束反力包括荷载和约束反力)都对称于中线都对称于中线DE，所以桁架中对称杆件的内力必定相，所以桁架中对称杆件的内力必定相同。同。 因此，只需计算其右半部分因此，只需计算其右半部分(或左半部分或左半部分)各杆的各杆的内力。现列表计算如下：内力。现列表计算如下：例例5-1第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程表表5-1 杆件内力计算杆件内力计算例例5-1第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程注意：注意：计算时构件内力均设为拉力，如果算得计算时构件内力均设为拉力，如果算得某杆件内力为负值，即为压力。某杆件内力为负值，即为压力。 桁架各杆的内力常用桁

16、架各杆的内力常用图图5-6b的形式表示出来。的形式表示出来。 例例5-1 通常，无需计算，根据观察即可判定哪些杆件是零杆。通常，无需计算，根据观察即可判定哪些杆件是零杆。 本例中有两根杆件本例中有两根杆件BC及及FG的内力是零，在结构上的内力是零，在结构上常将内力为零的杆件称为常将内力为零的杆件称为零杆零杆。第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程判断平面桁架零杆的准则判断平面桁架零杆的准则： 如果某一结点有三根杆件相交，其中两根在一直如果某一结点有三根杆件相交，其中两根在一直线上，且该节点不受外力作用，则第三根杆件（不线上，且该节点不受外力作用，则第三根杆件（不必一定与另两

17、根杆件垂直）必为零杆。必一定与另两根杆件垂直）必为零杆。 如果一结点只有两根不共线的杆件，又别无外如果一结点只有两根不共线的杆件，又别无外力，该两杆件必然都是零杆。力，该两杆件必然都是零杆。 例例5-1第一节第一节 桁桁 架架 12(a)123(b)F12(c)F2= 0F3= 0F1= F2= 0理论力学电子教程理论力学电子教程指出桁架中零杆 。9875641231211101413P2.5 静定平面桁架第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程 空间桁架如图空间桁架如图5-7a所示。已知所示。已知ABC与与DEF为全等等边三角为全等等边三角形，形，AD、BE、CF三杆三杆等

18、长并垂直于水平面，等长并垂直于水平面，杆杆1 、2、3与铅直线的与铅直线的夹角均等于夹角均等于30。求杆。求杆1、2、3、4、5、6的内力。的内力。图图5-7a 例例5-2附图附图例例5-2第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程解：解：首先考虑节点首先考虑节点G 的平衡，如图的平衡，如图5-7b。由对称条件可知由对称条件可知FN1=FN2=FN3又由又由: : 0,iZF 123300PNNNFFFF ()cos12323303 3PPNNNFFFFF cos图图5-7 b 例例5-2附图附图例例5-2第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程图图5-7c

19、例例5-2附图附图c0izF,16sin 600NNFF 0iyF,15cos 60 cos 60cos 300NNFF 0ixF ,154cos60 cos30cos600NNNFFF例例5-2再考虑节点再考虑节点D的平衡，取直角坐标系的平衡，取直角坐标系Dxyz如图。如图。 列出平衡方程列出平衡方程:第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程解得解得 :63PNFF ,59PNFF ,49PNFF 汇交于一节点的各杆中，除某一杆外其余各杆都汇交于一节点的各杆中，除某一杆外其余各杆都在同一平面内，且该节点不受外力，或者外力也与在同一平面内，且该节点不受外力，或者外力也与其余各

20、杆共面，则不共面的那一直杆必为零杆。其余各杆共面，则不共面的那一直杆必为零杆。 如果一节点只有不共面的三根杆件，又别无外力，如果一节点只有不共面的三根杆件，又别无外力，该三杆都是零杆。该三杆都是零杆。空间桁架有时也会出现零杆。空间桁架有时也会出现零杆。判断空间桁架零杆的准则判断空间桁架零杆的准则： 例例5-2将将 112(3 3)PNNFFF 代入代入 第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程三、平面桁架内力分析的截面法三、平面桁架内力分析的截面法 截面法截面法是用适宜的截面，假想将桁架的某些杆件截是用适宜的截面，假想将桁架的某些杆件截断，取出桁架的一部分考察，该部分在外力和

21、被截断，取出桁架的一部分考察，该部分在外力和被截断的杆件的内力作用下保持平衡。这些力组成一断的杆件的内力作用下保持平衡。这些力组成一平平衡的任意力系衡的任意力系，故可利用平面任意力系的平衡方程，故可利用平面任意力系的平衡方程，求解被截断的杆件中的未知内力。求解被截断的杆件中的未知内力。因为平面任意力系只有三个独立的平衡方程，所因为平面任意力系只有三个独立的平衡方程，所以以被截断的杆件的未知内力一般不超过三个被截断的杆件的未知内力一般不超过三个。但在特。但在特殊情况下可以多于三个。殊情况下可以多于三个。第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程 应用截面法时，必须注意截面的选取，

22、对应用截面法时，必须注意截面的选取，对截面形状并无任何限制，可以是平面，也可截面形状并无任何限制，可以是平面，也可以是曲面。以是曲面。 对某些较复杂的桁架，对某些较复杂的桁架，有时需要联合应用截面法与有时需要联合应用截面法与结点法，才能较方便地求出结点法，才能较方便地求出各杆内力。各杆内力。截面法适用于截面法适用于只需求出某几只需求出某几根杆件的内力根杆件的内力的情况。的情况。第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程 试求图试求图(5-8a)所示桁架中、所示桁架中、杆的内力。杆的内力。 图图5-8 例例5-3附图附图解：解：首先考虑整个首先考虑整个桁架的平衡，求出支桁架的平衡

23、，求出支座反力座反力FA=0.8FP，FK=0.2FP。 然后用截面然后用截面m-m将桁架分截成两部分，将桁架分截成两部分，取右边部分考察其平取右边部分考察其平衡。衡。例例5-3第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程以铅直轴为以铅直轴为y轴，由轴，由 0iyF 得：得： 2220( )2RKNhFFah222410PNFhaFh 例例5-3由由 0EiM130RKNFaF h第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程得到得到 ：133PNRKFaaFFhhh 由由 0FiM3502RKNFaF h求得求得 ：3522PNRKaFaFFhh 例例5-3第一节第

24、一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程 试求图试求图(5-9a)所示的悬臂桁架中杆所示的悬臂桁架中杆的内力。的内力。 图图5-9 例例5-4附图附图解：解： 对于悬臂对于悬臂式桁架，不必先求式桁架，不必先求反力。反力。 用截面用截面n-n将杆将杆及及、截断，取右边截断，取右边部分考察。部分考察。 例例5-4第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程图图5-9（b） 例例5-4附图附图以以点为矩心，由点为矩心，由 0HiM可直接求得可直接求得 NGDF于是有：于是有： 460NGDPFF解得解得 :1 5NGDPFF .例例5-4第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子

25、教程理论力学电子教程 求上例中悬臂桁架的求上例中悬臂桁架的及及两杆的内力。两杆的内力。 解解: : 如用结点法，从结点如用结点法，从结点L开始，依开始，依LKJI 的次序考虑各结点的平衡，的次序考虑各结点的平衡，必能求得必能求得DF及及EF的内力，但的内力，但计算太多，过于麻烦。计算太多，过于麻烦。 例例5-5 如用截面将如用截面将DF、EF两杆截断，则同时被截断的杆件两杆截断，则同时被截断的杆件将在根以上，不能直接求得。将在根以上，不能直接求得。联合应用结点法与截面联合应用结点法与截面法法。第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程由由 0ixF即即 3301313NFDNF

26、EFF解得：解得： NFDNFEFF 然后再用截面将然后再用截面将DG、DF、EF、EH各杆截断，各杆截断，取右边为考察对象，如取右边为考察对象，如图图5-10 b。 例例5-5先考虑结点先考虑结点F：第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程取取轴铅直，由轴铅直，由 0iyF 得得 2201313NFDNFEPFFF 将将 FNFDFNFE 代入，代入，解得解得:134NFDNFEPFFF 例例5-5第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程CBAaFaaaa12求图示桁架1，2杆内力。已知a，F。整体受力如图得由,MA0FFB1.5AxFAyFBF2.5 静

27、定平面桁架理论力学电子教程理论力学电子教程将FB代入得 12FF 22FF巧作截面，使多个未知力共线，方程中不出现。得由,Fx0FFF12作1-1截面，研究右半部，受力如图，得由,MC0133BFaF aFa2F4F5F11CBAaFaaaa12AxFAyFBF3F1F2.5 静定平面桁架理论力学电子教程理论力学电子教程 第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题 第一节第一节 桁桁 架架 理论力学电子教程理论力学电子教程第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 一、概述一、概述前面讨论物体平衡时，两物体间的接触面都假设前面讨论物体平衡时，两物体间的接触面都假设是完全光滑的。由经验可知，

28、这种完全光滑的接触是是完全光滑的。由经验可知，这种完全光滑的接触是不存在的，不存在的，两物体的接触面之间一般都有摩擦两物体的接触面之间一般都有摩擦。只是在有些问题中，摩擦力可能很小，对所研究只是在有些问题中，摩擦力可能很小，对所研究的问题属于次要因素，可以忽略不计，因而也就可以的问题属于次要因素，可以忽略不计，因而也就可以把接触面看作是光滑的。但是，对于另外一些实际问把接触面看作是光滑的。但是，对于另外一些实际问题，题，摩擦却是重要的甚至是决定性的因素，必须加以摩擦却是重要的甚至是决定性的因素，必须加以考虑考虑。例如重力坝与挡土墙的滑动稳定问题，带轮和。例如重力坝与挡土墙的滑动稳定问题，带轮和

29、摩擦轮的转动等等，摩擦轮的转动等等，理论力学电子教程理论力学电子教程 当两物体接触处有相对滑动或有相对滑动趋势时，当两物体接触处有相对滑动或有相对滑动趋势时，在接触处的公切面内所受到的阻碍称为在接触处的公切面内所受到的阻碍称为滑动摩擦滑动摩擦。 按照接触物体之间相对运动的情况分类，摩擦可按照接触物体之间相对运动的情况分类，摩擦可分为分为滑动摩擦滑动摩擦与与滚动摩擦滚动摩擦两类。两类。 如活塞在汽缸中滑动，轴在滑动轴承中转动等。如活塞在汽缸中滑动，轴在滑动轴承中转动等。 当两物体有相对滚动或有相对滚动趋势时，物体当两物体有相对滚动或有相对滚动趋势时，物体间产生的对滚动的阻碍称为间产生的对滚动的阻

30、碍称为滚动摩擦。滚动摩擦。 如车轮在地面上滚动，滚动轴承中的滚珠在轴承如车轮在地面上滚动，滚动轴承中的滚珠在轴承中滚动等。中滚动等。 第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程 当两物体接触处沿着接触点的公切面有相对滑动或当两物体接触处沿着接触点的公切面有相对滑动或有相对滑动趋势时，彼此作用着阻碍相对滑动的力，称有相对滑动趋势时，彼此作用着阻碍相对滑动的力，称为为滑动摩擦力滑动摩擦力，简称，简称摩擦力摩擦力。 二、滑动摩擦二、滑动摩擦 1 滑动摩擦与摩擦定律滑动摩擦与摩擦定律 由于摩擦力阻碍两物体相对滑动，所以它的方向由于摩擦力阻碍两物体相对滑

31、动，所以它的方向必必与物体相对滑动的方向或相对滑动趋势的方向相反与物体相对滑动的方向或相对滑动趋势的方向相反。 摩擦力的大小，则将随不同的情况而各异。摩擦力的大小，则将随不同的情况而各异。第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程设将重设将重F 的物体放在水平面上，并施加一水平的物体放在水平面上，并施加一水平力力FT 。当。当FT 的大小不超过某一数值时，物体仍可保的大小不超过某一数值时，物体仍可保持静止。水平面对物体除了有法向反力持静止。水平面对物体除了有法向反力FN 外，还有一外，还有一摩擦力摩擦力F。这时的摩擦力这时的摩擦力F 称为称为静

32、摩擦力静摩擦力。 根据物体的平衡条件，根据物体的平衡条件， 有：有： FFT 当当FT 增大到一定数值时，增大到一定数值时，物体就将开始滑动。这说明物体就将开始滑动。这说明摩擦力不能无限增大而有一摩擦力不能无限增大而有一极限值极限值。 当静摩擦力达到极限值时，物体处于滑动临界状态，当静摩擦力达到极限值时，物体处于滑动临界状态，这时的摩擦力称为这时的摩擦力称为极限摩擦力极限摩擦力或或最大静摩擦力最大静摩擦力。第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程可见，静摩擦力的大小，由平衡条件决定，但必可见，静摩擦力的大小，由平衡条件决定，但必介于零与极限摩

33、擦力的大小之间。介于零与极限摩擦力的大小之间。 如以如以FL表示极限摩擦力表示极限摩擦力 ，则静摩擦力，则静摩擦力F 的变化范的变化范围为围为 FLLsNFf F（5-1） 这一关系称为这一关系称为库伦摩擦定律库伦摩擦定律。 式中比例常数式中比例常数 fs 称为称为静摩擦因数静摩擦因数，它的大小与，它的大小与接触体的材料以及接触面状况（粗糙度、湿度、温接触体的材料以及接触面状况（粗糙度、湿度、温度等）有关。度等）有关。 实验结果表明：实验结果表明：极限摩擦力的大小与接触面之间极限摩擦力的大小与接触面之间的正压力（即法向反力）的正压力（即法向反力）FN 成正比成正比，即：，即：第二节第二节 摩擦

34、及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程物体间有相对滑动时的摩擦力称为物体间有相对滑动时的摩擦力称为动摩擦力动摩擦力。 动摩擦力与法向反力也有与式（动摩擦力与法向反力也有与式（5-1）相）相同的近似关系：同的近似关系：动摩擦力的大小与接触面之间动摩擦力的大小与接触面之间的正压力（法向反力）成正比的正压力（法向反力）成正比。如以。如以 F 代表代表动摩擦力动摩擦力 F 的大小，则有的大小，则有:NFf F（5-2） 式中式中 f 也是一个无量纲的比例常数，称为也是一个无量纲的比例常数，称为动动摩擦因数摩擦因数。动摩擦因数。动摩擦因数 f 随两物体相对滑动的速随两

35、物体相对滑动的速度而变化。度而变化。 动摩擦因数一般比静摩擦因数略小动摩擦因数一般比静摩擦因数略小第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程当存在摩擦时，支承当存在摩擦时，支承面对物体的约束力包括法面对物体的约束力包括法向反力向反力FN与摩擦力与摩擦力F，这两这两个力的合力个力的合力FR 就是支承面就是支承面对物体作用的对物体作用的全约束反力全约束反力。 当摩擦力达到极限摩擦当摩擦力达到极限摩擦力力FL时，时， FR与与FN所成的角所成的角达到最大值达到最大值m ， m称为称为静静摩擦角摩擦角，简称，简称摩擦角摩擦角。 摩擦角与自锁现象摩擦角与

36、自锁现象2第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程由上图可见由上图可见 LNmFFtan与式（与式（5-1）比较得：）比较得：msftan即：即：摩擦角的正切等于静摩擦因数摩擦角的正切等于静摩擦因数。 如通过接触点在不同的方向如通过接触点在不同的方向画出在极限摩擦情况下的画出在极限摩擦情况下的全约束全约束反力的作用线反力的作用线，则这些直线将形，则这些直线将形成一个锥面，称为成一个锥面，称为摩擦锥摩擦锥。 如沿接触面的各个方向的摩如沿接触面的各个方向的摩擦因数都相同，则摩擦锥是一个擦因数都相同，则摩擦锥是一个顶角为顶角为2m的圆锥的圆锥(图图

37、5-13)。 图图5-13 摩擦锥摩擦锥 第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程全约束反力全约束反力FR的作用线的作用线不可能超出摩擦锥，所以物不可能超出摩擦锥，所以物体所受的体所受的主动力的合力主动力的合力FQ的的作用线必须在摩擦锥内，物作用线必须在摩擦锥内，物体才不致滑动体才不致滑动。而且，只要而且，只要 FQ 的作用的作用线在摩擦锥内，不论线在摩擦锥内，不论 FQ 多多么大，物体总能保持静止，么大，物体总能保持静止，这种现象称为这种现象称为“自锁自锁”。图图5-13 摩擦锥摩擦锥 第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡

38、问题 理论力学电子教程理论力学电子教程 3 有摩擦的平衡问题有摩擦的平衡问题 有摩擦的平衡问题与无摩擦的平衡问题求解过有摩擦的平衡问题与无摩擦的平衡问题求解过程相同，只是由于静摩擦力的大小可在程相同，只是由于静摩擦力的大小可在F Fmax范围变化，因而物体平衡位置或所受的力也有一个范围变化，因而物体平衡位置或所受的力也有一个变化范围。变化范围。 通常可以取物体的通常可以取物体的临界状态临界状态进行分析，来确定进行分析，来确定平衡位置或受力大小的边界值。这个过程，可称之平衡位置或受力大小的边界值。这个过程，可称之为为临界状态分析法临界状态分析法。 这时极限摩擦力的方向不能任意假设，必须根这时极限

39、摩擦力的方向不能任意假设，必须根据相对滑的动趋势确定据相对滑的动趋势确定。第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程 3 有摩擦的平衡问题有摩擦的平衡问题 另一种情况是另一种情况是：需要确定物体在某一位置或：需要确定物体在某一位置或在一定力作用下能否保持平衡。在一定力作用下能否保持平衡。 此时，可以把摩擦力看成是约束力，假设物此时，可以把摩擦力看成是约束力，假设物体是平衡的，通过平衡方程求出摩擦力体是平衡的，通过平衡方程求出摩擦力F F 和法向和法向约束力约束力F FN N ，然后将，然后将F F与极限摩擦力与极限摩擦力F Fmaxmax 进行

40、比较，进行比较，如如| |F F|F Fmaxmax，则物体能保持平衡；否则物体不能则物体能保持平衡；否则物体不能保持平衡。这个过程可称之为保持平衡。这个过程可称之为假设状态分析法假设状态分析法。第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程有害：给机械带来多余阻力，使机械发热，引起零件磨 损，消耗能量，降低效率和使用寿命。有利：用于传动，制动，调速等，没有摩擦，人不能走 路，车不能行驶 。 本章主要讲述滑动摩擦问题，滚动摩擦只介绍一个概念。为什么要研究呢为什么要研究呢? 摩擦在生产和生活中起着十分重要的作用，既表现为有害的一面，也表现为有利的一面

41、。第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程 重重FP 的物块放在倾角的物块放在倾角大于摩擦角大于摩擦角m的斜面的斜面上上(图图5-14a)，另加一水平力，另加一水平力FT 使物块保持静止。使物块保持静止。求的求的 FT 最小值与最大值。设摩擦因数为最小值与最大值。设摩擦因数为 fs 。图图5-14a解解: : 因因m，如，如FT 太小，则物块将下滑；太小，则物块将下滑；如如 FT 过大，又将使物过大，又将使物块上滑，所以需要分两块上滑，所以需要分两种情形加以讨论。种情形加以讨论。 先求恰能维持物先求恰能维持物块不下滑所需力的最块不下滑所需力的

42、最小值小值FTmin。 例例5-6第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程图图5-14 b 这时物块有下滑的趋势，所以摩擦力向上，这时物块有下滑的趋势，所以摩擦力向上，如图如图5-14b。写出平衡方程：。写出平衡方程：10TLPFFFmincossin10NTPFFFminsincos( )a( )b由式（）得：由式（）得：1NTPFFFminsincos( )c将将11LsNFf F及（及（）式）式例例5-6第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程代入（代入（）式，得）式，得 ：sTPsf

43、FFfminsincoscossin将将smftan带入上式，得：带入上式，得：mTPPmmFFFminsintancostan()costansin（d） 其次，求不使物其次，求不使物块向上滑动的最大值块向上滑动的最大值FTmax。这时摩擦力指。这时摩擦力指向下（如图）。向下（如图）。 例例5-6第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程由式（）、（由式（）、（）及）及 222tanLsNmNFf FF 可见，要使物块在斜面上保持静止，力可见，要使物块在斜面上保持静止，力 FT 必须满足以必须满足以下条件：下条件：()()PmTPmF tan

44、FF tan 例例5-6写出平衡方程：写出平衡方程：max22maxcossin0sincos0TLPNTPFFFFFF（e）sTPPmsfFFFfmaxsincostan()cossin（f）得得: 第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程 本题若用摩擦角求解，则更简单。本题若用摩擦角求解，则更简单。 当当FT 有最小值时，物体受力如图有最小值时，物体受力如图5-15a所所示，示， 其中其中FR 是斜面对物块的全约束反力。这时是斜面对物块的全约束反力。这时FP、FTmin 及及FR 三力成平衡，力三角形应闭合三力成平衡，力三角形应闭合(图图

45、5-15b)。于是得到。于是得到: 例例5-6TPmFFmintan()第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程图图5-15TPmFFmaxtan() 如果如果=m，则，则FTmin，无须施加力，无须施加力FT 物块已能平物块已能平衡。这时，只要衡。这时，只要略为增加，物块即将下滑。略为增加，物块即将下滑。 在临界状态下的角在临界状态下的角称为称为休止角休止角，它可用来测定摩擦因数。，它可用来测定摩擦因数。例例5-6 当当FT有最大值时，物块受力如图有最大值时，物块受力如图5-15c所示，所示，力三角形如图力三角形如图5-15d，于是有，于是

46、有: 第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程 梯子梯子AB长长l，一端支于地，一端支于地板，另一端靠在墙上，梯与板，另一端靠在墙上，梯与地板成角地板成角 (图图5-16)。若梯。若梯与地板及墙壁之间的静摩擦与地板及墙壁之间的静摩擦角都等于角都等于m，不计梯重，求，不计梯重，求重为重为FP的人沿梯上行而梯不的人沿梯上行而梯不滑倒的距离。设墙壁与地板滑倒的距离。设墙壁与地板垂直。垂直。图图5-16 例例5-7附图附图例例5-7第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程 解解: : 当人上行的距离

47、达到极限值当人上行的距离达到极限值xmax，梯子，梯子即将开始滑动时，即将开始滑动时，、两点的全反力都与接触两点的全反力都与接触面的法线成角面的法线成角m (图图5-16)。 由直角三角形由直角三角形ABC及及BCD中的几何关系可知中的几何关系可知:cos()cosmmBClBDBCcos()cosmml例例5-7 延长延长FRA及及FRB的作的作用线交于点用线交于点C，重力，重力FP必必须通过点须通过点C，三力才能平衡。，三力才能平衡。这时，人所在位置就是极这时，人所在位置就是极限位置。因墙壁与地板垂限位置。因墙壁与地板垂直，所以直，所以ACBC。第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有

48、摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程maxsecxlBElBD1cos()cossecmml 因此，要使梯不滑因此，要使梯不滑倒，人上行的距离应为倒，人上行的距离应为xmax，即，即: 1 cos()cossecmmxl 故当故当有一定值时，人有一定值时，人上行的最大距离决定于摩擦上行的最大距离决定于摩擦角，而与人重角，而与人重FP无关。无关。 例例5-7第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程 一皮带传动装置采用摩擦制动器制动，各部分一皮带传动装置采用摩擦制动器制动，各部分尺寸如图示，已知尺寸如图示，已知l =1m， a0.4m

49、，R=0.3m，r=0.15m，r1=0.2m，b=0.02m。皮带轮皮带轮与摩擦轮与摩擦轮固结在一起并套在同一轴上。若已知作用在轮固结在一起并套在同一轴上。若已知作用在轮上上的转动力矩的转动力矩M=60kN，闸块与摩擦轮，闸块与摩擦轮之间的摩之间的摩擦因数擦因数 fs0.8，制动力，制动力FP332kN。图图5-17a例例5-8试问此时试问此时能否制动能否制动?第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程解解: : 分别取轮分别取轮、轮、轮、轮、轮及杆及杆AB来考虑，各部分受力如图来考虑，各部分受力如图 所示。首先所示。首先假假设系统能保持平衡

50、设系统能保持平衡 (即能制动）即能制动）例例5-8第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程由图由图(5-17b)列平衡方程列平衡方程 :00iM1 1220MF rF r解得解得:121MFFr再由图再由图(5-17c)列列平衡方程平衡方程: 0O iM120F RF RFr例例5-8第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程又因又因F1 =F1，F2 = F2 ，于是由式，于是由式，可得可得:由图由图(5-17d)列平衡方程列平衡方程: 0AiM0PNF lF aF b1600 36000

51、150 2MRFkNrr.又因又因F1 =F1，F2 = F2 ，故求得：故求得：例例5-812FrFFR解得解得:33216000 028000 41kN =(.).1NPFF l - Fba()第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程 此时闸块处所能产生的极限摩擦力此时闸块处所能产生的极限摩擦力大小大小FL=fsFN=0.8800=640kN， 假设能制动情况下，摩擦力假设能制动情况下，摩擦力F=600kNFL，所以在制动力，所以在制动力FP=332kN作用下，作用下，系统能制动系统能制动。 例例5-8第二节第二节 摩擦及有摩擦的平衡问题

52、摩擦及有摩擦的平衡问题 理论力学电子教程理论力学电子教程 重为P =100 N的匀质滚轮夹在无重杆AB和水平面之间，在杆端B作用一垂直于AB的力FB ，其大小为FB = 50 N。A为光滑铰链，轮与杆间的摩擦因数为 fs1=0.4。轮半径为r，杆长为 l，当 q = 60 时，AC = CB = 0.5l ，如图所示。如要维持系统平衡，（1） 若D处静摩擦因数 fs2 = 0.3，求此时作用于轮心O处水平推力 F 的最小值;（2）若fs2=0.15 ,此时F 的最小值又为多少？ABCDOrqPFFB理论力学电子教程理论力学电子教程解： 此题在C，D两处都有摩擦，两个摩擦力之中只要有一个达到最大

53、值，系统即处于临界状态。假设C处的摩擦先达到最大值，轮有水平向右滚动的趋势。ABCFAxFAyFCFNCFBq1.以杆AB为研究对象，受力分析如图。N 40,N 100NCCFF解得 02, 0NlFlFMBCAF列平衡方程 N1smaxCCCFfFF补充方程理论力学电子教程理论力学电子教程2.以轮为研究对象，列平衡方程。 0 , 0 060 sin60 cos , 0 060 cos60 sin , 0NNNrFrFMFFPFFFFFFFDCODCCyDCCxFDOCFNDFDPFCFCFNqN 39.55N2smaxDDFfF当 fs2= 0.3时，D处最大摩擦力为 ,maxDDFF 由于

54、故D处无滑动所以维持系统平衡的最小水平推力为F =26.6 N。代入上面各式解得 F =26.6 N，FND=184.6 NN 40 ,N 100NNCCCCFFFF将N 40DF理论力学电子教程理论力学电子教程解方程得DDCFfFFN2sN 86.2560 sin160 cos2sN2sfGFfFFCCD最小水平推力为N 81.4760 cos160 sinNDCFFFDDDFfFFN2smax受力图不变，补充方程应改为N 40N1smaxCCFfF此时C处最大摩擦力为因此当 fs2= 0.15 时，维持系统平衡的最小水平推力改为N 81.47F所以C处无滑动。, maxCCFF由于 说明前面假定不成立，D处应先达到临界状态。maxDDFF3. 当 fs2= 0.15时,N 7 .27Ns2maxDDFfF理论力学电子教程理论力学电子教程4 滚动摩擦滚动摩擦 将一半径为将一半径为r、重为重为FQ 的轮子放在水平面上，的轮子放在水平面上，在轮心在轮心加一水平力加一水平力FT 如如图所示，并假定接触处有图所示，并假定接触处有足够的摩擦阻止轮子滑动。足够的摩擦阻止轮子滑动。 假如轮子与地面都是假如轮子与地面都是刚体，则两者接触于刚体，则两者接触于I点，点，法向反力法向反力FN 和摩擦力和摩擦