测量误差理论

1、测量误差理论测量误差测量误差系统误差系统误差：在相同观测条件下，对某一未知量进行一系列的观测，若误差的大小和符号保持不变，或按照一定的规律变化。偶然误差偶然误差：在相同观测条件下，对某一未知量进行一系列的观测，从单个误差看其大小和符号的出现，没有明显的规律，但从一系列误差总体看，则有一定的统计规律。偶然误差的特性 真误差的定义：真值观测值，:XLXL 误差的区间 为正值 为负值个数频率个数频率00.2210.1300.650210.1300.6500.20.4190.1170.585190.1170.5850.40.6150.0930.465120.0740.3700.60.890.0560.

2、280110.0680.3400.81.090.0560.28080.0490.2451.01.250.0310.15560.0370.1851.21.410.0060.03030.0180.0901.41.610.0060.03020.0120.0601.6以上000000800.495820.505vivinvinvidnvidnvi偶然误差的特性 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，即超过一定限值的误差，其出现的概率为零 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； 绝对值相等的正误差和负误差出现的概率相同； 偶然误差的数学期望为零，即0lim, 0)(nEn评定

3、精度的标准 方差的定义： 中误差的定义： 中误差的估值： 例:nEDnlim)()(22nEDnlim)()(2nm真误差甲组+5+2-2-10-3乙组+6-7-1-4+5+213456276 . 486 . 2 mm乙甲中误差的几何意义 可以证明中误差是正态分布曲线上两个拐点的横坐标值。 故得由010) 1(21)(2222222ef容许误差mm23 或容相对误差个关系式平方后再中将NT1关测值误差的绝对值相对误差误差传播定律（1）).().(),.,(),.,(221122112121xxxxxxxxxxxxnnnnnnxfxfxfZxfxfxffZZfZ故按台劳级数展开设独立观测值的函数

4、为2.22.131321222222212211121nnnnxxxfxxxfxxxfZNnnxfxfxfxxfxxfxxf得个关系式平方后再总和将误差传播定律（2）mxfmxfmxfmxfmxfmxfxxfxxfxxfxnxxZxnxxZnnnnmmNNZN22222212222222122222222122.212121或时当得两边除以时当求任意函数中误差得步骤 列函数式 全微分 求出中误差关系式常用函数的中误差公式22222221212211222121. 3. 2. 1xnnxxZnnxxZxZmmmkmxkxkxkZmmmxxZkmmkxZkk线性函数和差函数倍数函数例1-21.量得

5、某圆形建筑物得直径D=34.50m,其中误差 ,求建筑物得园周长及其中误差。解：圆周长)(03. 038.10803. 0)01. 0(1416. 338.10850.341416. 3mPmmmDPDP结果可写成中误差mmD01. 0差及其中误差。两点间的高求中误差得高差到从中误差得高差进行到水准测量从CAmmCBmmmhmhhBCBChABAB,009. 0,747. 5,012. 0,476.15 B,A 2.)(015. 0223.21015. 0223.21747. 5476.15009. 0012. 02222mmmhmmmhhhAChBChABhACBCABAC解：例33.用长3

6、0m得钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差为5mm，求全长D及其中误差。)(016.030016105.30010301021mDmmnmmDmDlDlll但解：全长例4mmDmsDmsDsDsDDmmmsssDsm048.020626503)9410.12(05.09659.09410.1215sin50sin9659.015coscoscos,0300001505.0,00.50.422222222 解：及其中误差。求相应水平距离，其中误差并测得倾斜角其中误差丈量倾斜距离算术平均值XxnnXnLxXnLnXXXnnLLLlim0lim111111算术平均值算术平均值的中误差nmMnmnm

7、nMnnnnLxLLLn故22222111.11观测次数算术平均值的中误差20.7140.5060.41100.32200.22500.14按最或然误差求观测值的中误差（1）012,:)2()1()2()1(2LnLnLxnvvvvnnvXxXxvXLLxvxxixixiiiiii）得由（和得个如上式子两边平方求则令最或然误差按最或然误差求观测值的中误差（2）)1(1)2.2(2)2.22.(1)(.)()(22222213121213121222212221nnvvnmMnvvmvvmmnvvmnnnnnnnXLXLXLXnLXxmnnnnnxnx算术平均值的中误差为（白赛尔公式）故例6 对

8、某段距离用同等精度丈量了6次，结果列于下表，求这段距离的最或然值，观测值的中误差及最或然值的中误差。解：LixLixiixLxLLLiiLLLxvLxnnLnLnLxLL)()(000000又则令例6（续）次序观测值(m)v(mm)vv(mm2)1346.53515+4162346.54828-9813346.5200+193614346.54626-7495346.55030-111216346.53717+24v=-2vv=632mxmmnmMmLxnvvmnxLx005.0539.3466 .462 .11539.346019.0520.3461663211961160)(116 mmL

9、520.3460L取116L按双观测值之差求观测值的中误差 对某一量进行同精度的双次观测，其较差为nddmmmmnddnmdLLddd22 ，则设单次观测中误差为故为真误差因例6 水准测量在水准点16各点之间往返各测了一次，各水准点间的距离均为1km,各段往返测所得的高差见下表。求每公里单程水准测量高差的中误差和每公里往返测平均高差的中误差。测段高差观测值(m)dd12-0.185+0.188+3923+1.626-1.629-3934+1.435-1.430+52545+0.505-0.509-41656-0.007+0.005-24mmmmmmnddm8 . 125 . 225 . 252

10、632中的中误差为每公里往返测平均高差hhd h往测h 返测按三角形的闭合差求测角中误差菲列罗公式）为故每个角的测角中误差差为三角形的内角和的中误(3333211321nmmmmmmmmmnnm权和中误差222221122221212:nnnnmpmpmpmmmpppmp或权的定义：4, 9,366394, 1, 4491,41, 11,3,2,1,231221211223122121122312212112121321 mpmpmpmpmpmpmpmpmpmmmLLL时，当时，当时，当则他们的权为其中误差分别为例：已知观测值单位权和单位权中误差 单位权：权为1时的权 单位权中误差：与单位权对

11、应的观测值的中误差。常用 来表示以任意选定的。即单位权中误差也是可时得，当由222,1mpmp确定权的方法例6-8在相同的观测条件下，对某一未知量分别用不同的次数n1n2n3进行观测，得相应的算术平均值为L1L2L3, 求L1L2L3的权。iiiiiiiinpcncpmcnnmmpnmnmnmmmmmmmmm则若取则令相应的权为：则为。若观测一次的中误差差分别为解：设各观测值的中误, 1,2222332211321例6-9 用同样观测方法，经由长度为L1,L2,L3的三条不同路线，测量两点间的高差，分别得出高差为h1,h2,h3。已知每公里的高差中误差为mkm,求三个高差的权。高差的权为单位权

12、即则若取高差的权为单位权即则取则令解：kmLpckmLpcLcpmcLmmpLmmLmmLmmiiiiiikmikmiikmkmkm2,2, 21,1, 1,222332211不同精度观测的最或然值 设对某角进行了两组观测，第一组测n1个测回，其平均值为L1,第二组测n1个测回，其平均值为L1称为加权平均值）值，有对于多个不等精度观测即最或然值(,2122112122112122112221111212121121nnnnnLLLLLLpppLpLpLpxppLpLpxnnLnLnxLnLLLLnLLLnnxnn 加权平均值得中误差2222222221222122222222222212212

13、2211pMppppppppppMpmmppmppmppMLppLppLppppLxnniinnnn得根据单位权中误差的计算npnpphpnmpmmpppLLnniLiiLiiiiiiii)()()(11222221122222222其真误差为：的等权虚拟观测值构建如下一组权为用最或然误差计算单位权中误差（1）022)(22pvppLxpLxppvLpxpvpppvpvvppvpvvppvxXvLXLxviiiiixxxixiiiiiiiixiiiiiii用最或然误差计算单位权中误差（1）) 1(1222222nppvvpMnpvvpvvnnppvvppppvvMppvvp故故例6-10如图，

14、从已知水准点阿A,B,C,D经四条水准路线，测得E点的高程及水准路线长见下表。求E点的最或然值及其中误差，及每公里高差的中误差。,1, 1000ppLpppLxLLLLLspcscpLiLiLiiiiii故即引入近似值则取解：权ABDCE1243表6-7不同精度观测的数据处理水准路线E点的观测高程路线长(km)(mm)v(mm)pvpvv123456789158.7591.520.66+1+0.66+8+5.342.4258.7841.430.70+26+18.20-17-11.9202.3358.7581.510.6600+9+5.953.1458.7671.620.62+9+5.58000

15、 p=2.64 pv=-0.7 pvv=297.844.24Lpiisp1权LLiipmxmmpMmLxnpvvmmppxLx006. 0767.582 . 664. 210767.58009. 0758.5838 .2971964. 244.240故误差理论的应用LmmkmLLmlmLlmlLmmlLnnlLlnmmmhhhhhhhhn2,1,21中站站站站站的中误差为每公里往返测高差中数中误差。是每公里水准测量高差即时，当则令则即全长设每站距离均为，则均为设每一站高差的中误差一、水准测量的精度铁路线路水准的限差mmLmFmmLmmLmmLLmmLmmmmmfhhLfhkmLkm302152

16、)(25 . 725 . 7.5 . 7容许高差闭合差为的中误差即闭合差公里往返高差之差中误差为公里单程水准测量高差则平均值的中误差不大于要求每公里往返测高差铁路线路水准测量中，单单单单两半测回角值之差的限差034327122122122626,6 故铁路线路测量规定为误差，则有若取两倍中误差为容许误差为：两半测回角值之差的中故半测回角的中误差为一测回角的中误差为一测回方向中误差为对于半半方方mmmmmmmmJ两测回角值之差的限差03,422:21226266 为两测回角值之差的限差对于定差，故铁路线路测量规考虑到还有一些其他误误差，则容许误差若取两倍中误差为容许差为：两测回角值之差的中误一测回角的中误差为DJmmm钢尺量距的精度差是单位长度的偶然中误，则令DmlmDlmlDmnmmnlDDD光电测距的精度222222222020222222222202020202000022222222202020164212)212)2(2)2(2)2(21)2(2KfgngcDKfnggcDgggggggKfnggcDgmmfmnmcmDmmmmfDmnDm