人教版数学选修2-1圆锥曲线知识总结

1、数学选修 2-1 圆锥曲线知识归纳一、复习总结：名称椭圆双曲线yy图 象OxOx平面内到两定点F1 , F2 的距离的和为常数大于 F1F2的动点的轨迹叫椭圆即 MF1MF2 2a定 义c 时，轨迹是椭圆当 2 a 2当 2 a =2 c 时 ，轨迹是一条线段F1 F2当 2 a 2c 时，轨迹不存在平面内到两定点F1 , F2 的距离的差的绝对值为常数小于F1F2 的动点的轨迹叫双曲线即MF1MF22a当 2 a 2 c 时，轨迹是双曲线当 2 a =2 c 时，轨迹是两条射线当 2 a 2 c 时，轨迹不存在x 2y 2焦 点 在x轴 上时 ：焦点在 x 轴上时：12y 2a 2b 2x1

2、a 2b2y2x2标 准1y焦点在 y 轴上时：焦 点 在轴上时：方 程a2b2y2x 2注：是根据分母的大小来判断焦点1a2b2在哪一坐标轴上常数a, b, c 的a 2c2b2c2a 2b2 ，关 系焦点在 x 轴上时：xy0ab渐 近 线焦点在 y 轴上时：yx0ab1抛物线：yyyylO图形OFxFOxlllxFFOx方22 px( p 0)y22 px( p 0)x 22 py ( p 0)x22 py( p 0)y程焦( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p)点2222准pppypxxy2线222二、知识点：椭圆、双曲线、 抛物线分别是满足某些条件的点的轨迹，由这些条件可以

3、求出它们的标准方程，并通过分析标准方程研究这三种曲线的几何性质1椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长定长大于两定点间的距离的动点的轨迹2椭圆的标准方程：x2y 21， y 2x 21 a b0 a2b2a 2b 23椭圆的性质： 由椭圆方程 x 2y 21( ab0 )a 2b 2(1)范围 :a xa ,b yb ，椭圆落在 xa, yb 组成的矩形中(2)对称性 : 图象关于y 轴对称图象关于x 轴对称图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心x 轴、 y 轴叫椭圆的对称轴从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距 3顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点椭圆共有四个顶点：

4、A(,0),A2( ,0)，B (0, b), B2 (0,b)加两焦 F1 (c,0), F2 (c,0) 共aa有六个特殊点A1 A2 叫椭圆的长轴， B1 B2 叫椭圆的短轴 长分别为 2a,2b . a, b 分别为椭圆的长半轴长和短半轴长，椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点2(4) 离心率 : 椭圆焦距与长轴长之比ece1(b ) 2 0e1aa椭圆形状与e 的关系： e0, c0 ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在 e0 时的特例e1, ca, 椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1 F2 ，此时也可认为圆为椭圆在e1时的特例识记方法以下 4-7 点要求不高，或者不要

5、求 .4. 椭圆的第二定义: 一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个(0,1) 内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率5椭圆的准线方程对于 x 2y21，左准线 l1: xa 2；右准线 l 2 : xa 2a 2b2cc对于 y 2x21，下准线 l1: ya 2；上准线 l 2 : ya2a 2b2cc6. 椭圆的焦半径公式：椭圆 x2y21(ab 0) 焦半径公式 :a2b2PF1e(xa2 ) a ex ， PF2e( a2x) a excc其中 e 是离心率其中 F1, F2 分别是椭圆左右焦点焦点在 y 轴上的椭圆的焦半

6、径公式：PF1aey0PF2aey0其中 e 是离心率其中 F1 , F2 分别是椭圆的下上焦点焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关可以记为：左加右减，上减下加xa cos7 椭圆的参数方程( 为参数 )yb sin3以下为椭圆重要结论：要求记忆 1、2、 3 条，了解 4、 51. 准线到中心的距离为a2，焦点到对应准线的距离( 焦准距 ) pa 2ca 2c2b2cccc2过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：2gb.a2. 椭圆 x2y21(a b 0) 两焦半径与焦距构成三角形的面积 :a2b2S FPFc | yP | b2 tanF1PF1223 椭圆

7、的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点 .例：今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B 是它的两个焦点，长轴长为2a，焦距为2c，当静放在点A 的小球 (小球的半径不计)，从点 A 沿直线 l 击出，经椭圆壁反弹后再回到A ，假设 l 与椭圆长轴的夹角为锐角，那么小球经过的路程是(D )A.4bB.2(a-c)C.2(a+c)D.4a4. 椭圆的的内外部:x2y21(ab0)1点 P( x0 , y0 ) 在椭圆b2a2x2y2b0) 2点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2b2 1(aa5. 椭圆的切线方程:的内部x02y021 .a2b2的外

8、部x02y021 .a2b2(1) 椭圆 x2y21(ab0)上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是x0 xy0 y1.a2b2a2b2 2过椭圆x2y21外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是x0 xy0 y1.a2b2a2b2 3椭圆 x2y21(ab0)与直线 Ax By C 0 相切的条件是a2b2A2a2B2b2c2 .8双曲线的定义：平面内到两定点F1, F2 的距离的差的绝对值为常数小于F1 F2 的动点4的轨迹叫双曲线即 MF1 MF22a 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距在同样的差下， 两定点间距离较长，那么所画出的双曲线的开

9、口较开阔两条平行线两定点间距离较短大于定差，那么所画出的双曲线的开口较狭窄两条射线 双曲线的形状与两定点间距离、定差有关9双曲线的标准方程及特点： 1双曲线的标准方程有焦点在x 轴上和焦点y 轴上两种：焦点在 x 轴上时双曲线的标准方程为：x 2y20 , b0 ) ；a 2b1 ( a2焦点在 y 轴上时双曲线的标准方程为：y 2x2( a0 , b0 )ab122(2) a, b,c 有关系式 c 2a2b2 成立，且 a0,b0, c0其中 a 与 b 的大小关系 : 可以为 a b, ab, ab10焦点的位置 : 从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x 2 、 y

10、2 项的分母的大小来确定， 分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x 2 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上； y 2 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上11双曲线的几何性质： 1范围、对称性由标准方程 x2y 21 ，从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图象，从纵的方向来a2b 2看，随着x 的增大， y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心. 2顶点顶点： A1(a,0), A2a,0 ，特殊点：B1( 0, b), B2 0, b实轴： A1 A

11、2 长为 2a ,a 叫做半实轴长 虚轴： B1B2 长为 2b ， b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆那么有四个顶点，这是两者的又一差异5 3渐近线过双曲线 x2y 2 1的渐近线 yb x xy0 a2b2aab 4离心率双曲线的焦距与实轴长的比e2cc ，叫做双曲线的离心率范围： e 12aa双曲线形状与 e 的关系： kbc2a 2c 21e21 ，e 越大，即渐近线的斜aaa2率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔12等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质： 1

12、渐近线方程为： yx ； 2渐近线互相垂直； 3离心率 e213共渐近线的双曲线系如果双曲线与 x2y21有公共渐近线，可设为x 2y 2a2b2a 2b2以下 14-17 点要求不高，或者不要求 .14双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数 ec (c a 0)的点的轨迹是双曲线a其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数 e 是双曲线的离心率15双曲线的准线方程：222对于 x 2y21来说， 相对于左焦点F1 ( c,0) 对应着左准线 l1 : xa，相对于右焦点abcF2 (c,0)对应着右准线 l2 : xa2；c对于 y 2x 21 来说，相

13、对于上焦点F1 (0, c) 对应着上准线 l1 : ya 2；相对于下焦点a2b 2c6a 2F2 (0,c) 对应着下准线l 2 : y16. 双曲线的焦半径了解c定义：双曲线上任意一点M与双曲线焦点F1 , F2 的连线段，叫做双曲线的焦半径焦点在 x 轴上的双曲线的焦半径公式：MF1aex0 F1, F2 分别是左、 右焦点MF 2aex0焦点在 y 轴上的双曲线的焦半径公式：MF1aey0 F1, F2 分别是下、 上焦点MF2aey017双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦焦点弦公式：当双曲线焦点在 x 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：AB2(x2)ae x1过

14、右焦点与右支交于两点时：AB2(x2)ae x1当双曲线焦点在y 轴上时，过左焦点与左支交于两点时：过右焦点与右支交于两点时：AB2ae( y1y2 )AB2ae( y1y2 )18双曲线的重要结论：( 识记 1 - 4点，了解5点 )b2 1双曲线焦点到对应准线的距离( 焦准距 ) pc 2过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：2gb2.a 3两焦半径与焦距构成三角形的面积S F1PF2b2 cotF1PF2 . 4焦点到渐近线的距离总是 b . 5双曲线的切线方程 :7(1)x2y21(a0,b 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是x0 xy0 y1 .双曲线b2a2b

15、2a2(2)过 双 曲 线 x2y21 外 一 点 P(x0 , y0 )所引两条切线的切点弦方程是a2b2x0 xy0 y1.a2b2 3双曲线 x2y2与直线 Ax By C2a22b2c20 相切的条件是 AB.a2b2119 抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线20抛物线的准线方程：(1)y 22px( p0) ,焦点 : ( p ,0) ，准线 l ： xp22(2)x22py( p0) ,焦点 : (0, p ) ，准线 l ： yp22(3)y 22 px( p0) ,焦点: (p ,

16、0) ，准线 l ： xp22(4)x22 py( p0) ,焦点 : (0,p ) ，准线 l ： yp22一样点： (1)抛物线都过原点；(2) 对称轴为坐标轴； (3) 准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的1 ，即42pp42不同点： (1)图形关于 X 轴对称时， X 为一次项， Y为二次项，方程右端为2 px 、左端为 y2 ；图形关于Y 轴对称时， X 为二次项， Y 为一次项， 方程右端为2 py ，左端为 x2 2开口方向在X 轴或 Y 轴正向时，焦点在X 轴或 Y 轴的正半轴上，方程右端取正号；开口在 X 轴或 Y 轴负

17、向时，焦点在X 轴或 Y 轴负半轴时，方程右端取负号21抛物线的几何性质 1范围因为 p0，由方程y 22 px p0 可知，这条抛物线上的点M的坐标 (x，y)满足不等8式 x0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 2对称性以 y 代 y，方程 y22 px p0 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程 y 22 px p0 中，当 y=0 时，x=0 ，因此抛物线y 22 px p0 的顶点就是坐标原点 4离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准

18、线的距离的比，叫做抛物线的离心率， 用 e 表示由抛物线的定义可知，e=1 22 抛物线的焦半径公式：画图即可抛物线 y 22px( p0)，PFx0ppx022抛物线 y 22 px ( p0)， PFx0ppx022抛物线 x 22py ( p0)， PFy0ppy022抛物线 x 22 py ( p0)，PFy0ppy02223直线与抛物线： 1位置关系：相交两个公共点或一个公共点；相离无公共点 ；相切一个公共点将 l : ykx b 代入 C : Ax2Cy 2Dx Ey F 0 ，消去 y，得到关于 x的二次方程 ax 2bx c0 * 假设0 ，相交；0 ，相切；0 ，相离综上，得：9联立ykx b ，得关于 x 的方程 ax 2bx c 0y22 px当 a 0 二次项系数为零 ，唯一一个公共点交点当 a 0 ，那么若 0 ，两个公共点交点0 ，一个公共点切点0 ，无公共点相离 2相交弦长：弦长公式： d1 k 2 ，a 3焦点