河南省郑州市2020届高中毕业年级高三第一次质量预测理科数学试题卷

1、2021届郑州市高中毕业年级第一次质量预测理科数学试题卷一、选择题本大题共12 小题，每题5 分，共 60 分。1.设集合 AxN | x | 2 ， B y y 1x2 ，那么 A B 的子集个数为A.2B .4C.8D.162.复数 z1i在复平面内对应的点位于A. 第一象限iB.第二象限C.第三象限D.第四象限3.郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游效劳质量，收集并整理了2021年1月至 2021年 12月期间月接待游客量单位：万人的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，以下结论错误的选项是A .月接待游客逐月增加B.年接持游客量逐年增加C.各年的月接待游客量顶峰期大致在

2、7，8月D.各年 1月至 6月的月接待游客量相对于7月至 12月，波动性更小，变化比拟平稳11114.定义在 R上的函数 f ( x)()| xm|2 为偶函數，a f (log) ， b f () 3 ) ， c f (m) ，那么32 22A. c a bB. a c bC. a b cD. b a c5.“纹样 是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹 是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样如图阴影局部所示的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有 800个点落在阴影部分，据此可估计阴影局部的面积是1618C.10D.32A.B .5556.向量 a

3、与 b 夹角为，且 | a |1， | 2a b |3 ，那么 | b |3A. 3B.2C. 1D.327.宋元时期数学名著?算学启蒙?中有关于“松竹并生 " 的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，假设输人的a ， b 分别为3，1，那么输出的 n 等于 .5B.4C.3D.28.函数 f ( x)=2x1cos x 的图象大致是2x1答案： C9.第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某工程比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，那么不同的安排方式共有多少种A.60B.90

4、C.120D.15010.抛物线y22x的焦点为F，准线为l， P是 l 上一点，直线PF与抛物线交于M，N 两点，假设PF3MF ，那么 |MN |=A. 16B. 8C. 2D.8 333311.三棱锥 PABC 内接于球 O， PA平面 ABC，ABC 为等边三角形，且边长为3 ，球 O 的外表积为16 ，那么直线 PC与平面 PAB所成的角的正弦值为15151515A.B.C.D .75210| 2x1|, x 15x315x2m 2，假设 yf ( g( x) m 有 9个零点，那么 m 的取值范围是12. f ( x), g ( x)log 2 ( x 1), x144A . (0

5、,1)B. (0,3)C. (1,5)D. (5,3)33二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共 20分 .13.曲线 y xex2x21在点 (0,1) 处的切线方程为 _. 答案： x y 1 0;14.假设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，假设 a10， a 23a1 ，那么 S10_S515.双曲线x2y2的右顶点为 A，以 A 为圆心， 6 为半径做圆，圆A 与双曲线 C 的一条C : a2b21(a0, b0)渐近线相交于M， N两点，假设 OM3 ON O 为坐标原点，那么双曲线 C的离心率为 _.答案：30 ;2516.数列 a n 满足：对任意 nN * 均有 an

6、1pan2 p2 p为常数， p 0 且 p1 ，假设a2 , a3 , a4 , a518, 6, 2,6,11,30 ，那么 a1 的所有可能取值的集合是_.答案： 0, 2,66 .三、解答题：共70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 12分 ABC外接圆半径为 R，其内角 A， B， C的对边长分别为 a， b， c，设 2R(sin 2 Asin 2 B)(a c) sin C . 1求角 B；假设 b=12， c=8 ，求 sinA的值17.【解析】 (I) 2R(sin2 Asin2 B)(a c)sin C. 2R 2R(sin 2 Asin2 B) (ac)s

7、in C2R,即： a2c2b2ac. 3 分 cos Ba2c2b21 .2ac2因为 0B, 所以B6分3(II) 假设 b12,c8，由正弦定理，bc, sin C3sin C,sin B3由 b c ，故C 为锐角， cosC6.9分3sin Asin( BC )sin(C )361332323236. 12分318. 12分2三棱锥 M-ABC 中， MA =MB =MC=AC= 2 2 ， AB=BC=2， O 为 AC 的中点，点 N 在棱 BC 上，且 BNBC .3（ 1证明： BO 平面 AMC ；（ 2求二面角 N-AM-C 的正弦值 .MAOCNB18.【解析】 I如下

8、图：连接 OM ，在ABC 中： ABBC 2,AC2 2 ，那么 ABC 90 ,BO2，OBAC.2分在MAC 中： MAMCAC22，O为 AC的中点，那么 OMAC ，且 OM6. 4分在MOB 中： BO2,OM6,MB2 2，满足： BO2OM 2MB 2根据勾股定理逆定理得到 OBOMAC,OM 相交于 O ，故 OB平面 AMC .6 分因为 OB, OC , OM 两两垂直，建立空间直角坐标系如下图因为 MAMBMCAC2 2,AB BC2那么 A(0,2,0), B( 2,0,0), C(0, 2,0), M (0,0,6)8分由 BN2BC 所以， N( 2,22 ,0)

9、333设平面 MAN 的法向量为 m(x, y, z) ，那么ANn252( x, y, z)252(,3,0)xy 0,333AMn(0,2,6) (x, y, z)2 y6z0令 y3 ，得 m(5 3,3,1) 10 分因为 BO平面 AMC ，所以 OB(2,0,0)为平面 AMC 的法向量，所以 m(5 3,3,1)与 OB(2,0,0) 所成角的余弦为 cosm,OB5 65379279所以二面角的正弦值为| sinm, OB | 1( 53 ) 222 79. 12分797979MAOCNB19. 12分椭圆 E : y2x21( a b0) 的离心率为2 ，且过点 C(1,0)

10、 .a 2b221求椭圆 E 的方程；2假设过点 ( 1,0) 的任意直线与椭圆E 相交于 A ，B 两点，线段AB 的中点为 M ，求证，恒有 | AB | 2| CM |.19.【解析】 I由题意知 b1，c2 .1a2分又因为 a 2b 2c 2 解得， a2 . 3分所以椭圆方程为y2x21 .4分2 设过点 (1 ,0)直线为 xty1，设 A x , y， B x , y3311221xty322由得y2918ty12ty160 ，且.x212那么12ty1 y2,918t26分16y1 y22,918t又因为 CAx11, y1， CBx21,y2，C A C B ( 1 x 1

11、 ) (2 x 1 ) 1 y 2 y44241 6y1t y2t y1 y2 y 1t 1 2y y1ty 233391 t2164t912t160 ，10 分918t 2318t 29所以 CACB .因为线段 AB 的中点为 M ，所以 | AB| 2|CM|. 12 分20. 12水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学开展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A系统处理，处理后的污水A级水到达环保标准简称达标的概率为p0<p<1 .经化验检测，假设确认达标便可直接排放；假设不达标那么必须进展B系统处理后直接排放.某厂现有 4个标准水

12、量的 A级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将假设干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，那么混合样本的化验结果必不达标，假设混合样本不达标，那么该组中各个样本必须再逐个化验；假设混合样本达标，那么原水池的污水直接排放现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验；方案四：四个样本混在一起化验 .化验次数的期望值越小，那么方案越"优 ". 1假设 p22 ，求 2个A级水样本混合化验结果不达标的概率；3 2假设 p2 2 ，现有 4个 A级水样本需要化验，请问：方案一、

13、二、四中哪个最“优" ？3假设 “方案三 比 “方案四 " 更 “优 ，求 p的取值范围 .20.【解析】 (I) 该混合样本达标的概率是(2 2)28，2分39所以根据对立事件原理，不达标的概率为811. 4分99(II) i 方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二： 由(1) 知，每组两个样本检测时，假设达标那么检测次数为1，概率为8 ；假设不达标那么检测次数为3，概率为 1.故方案二的检测次数记为， 的可能取值为 2,4,6.9922其分布列如下，2246p64161818181E(2) 26416119822可求得方案二的期望为81468198181方案四：混在一起

14、检测，记检测次数为， 可取 1,5.44其分布列如下，415p64178181E( 4)6417149可求得方案四的期望为15.818181比拟可得 E( 4 ) E(2 )4 ，应选择方案四最“优 9 分(ii) 方案三：设化验次数为3 ，3 可取 2,5.325pp1p3E( 3 ) 2 p35(1 p3 )53 p3；方案四：设化验次数为4 ，4 可取 1,5415pp1p4E( 4 )p45(1p4 )54 p4 ；由题意得 E( 3 )E (4 )53 p354 p4p3.34故当 0时，方案三比方案四更“优 12 分p421. 12 分函数 f ( x)xexln x. 1求 f

15、( x) 的最大值；x 2假设 f ( x)( x1xbx1 恒成立，求实数b 的取值范围 .x) eex21.【解析】 (I)f ( x)xln x，定义域 (0,) ，xf ( x )1 ex ( x 1)( x 1)( x ex )1x2x2，x由 exx1x ， f ( x) 在 (0,1 增，在 (1,) 减， f ( x) maxf (1)1 e 4 分(II) f ( x )( x1 )e xbx1ln xxexxexexbx 1ln x x xexbx 1 0xxxxexln x1xb(xexln x1xxx)min b, 6 分xexln x 1 x( x)令 (x)，令 h(x) x2exxln x， h(x) 在 (0,h(x) 在