定积分与二重积分

1、第六章 定积分与二重积分 曲线积分与曲面积分第一节 定积分的概念与性质 一、两个实例 1. 曲边梯形的面积 曲边梯形：由连续曲线y=f(x)和三条直线x=a , x=b和y=0（即x轴）所围成的图形。y=f(x)Oxyab底：a ,b；高：y=f(x)（变化的）曲边：y=f(x)（曲线） 由封闭曲线所围成的图形的面积往往可化为曲边梯形面积之差（如右图）。OM1(a ,0)N1(b ,0)xyACBD 由此可见，求任意封闭曲线围成的图形的面积，必须先解决曲边梯形的面积问题。下面计算曲边梯形的面积A： （1）分割（化整为零）：将区间a ,b分成n个小区间a=x0 x1x2 xi-1xi xn-1x

2、n=b.x0,x1,x1,x2, ,xi-1,xi, ,xn-1,xn.a=x01x12x2xi-1xiixn-1xn=bnxyy=f(x)O 第i个小区间的长度（即xi-1,xi的长度）记为1iiixxx 第i个小曲边梯形的面积记为iA （2）近似（不变代变）：iiixfA)(（即以 为底、 为高的矩形面积）ix)(if（3）求和（积零为整）：iniiniixfAA11)( （4）取极限（再取极限）：iniixfA10)(lim( 为最大小区间的长度) 2. 变速直线运动的路程 设一物体沿直线运动，已知速度v=v(t)是时间区间a ,b上的连续函数，且 。求物体在这段时间内所走过的路程s0)

3、(tv （1）分割：将区间a ,b分成n个小区间a=t0t1 ti-1ti tn-1tn=b.t0,t1,t1,t2, ,ti-1,ti, ,tn-1,tn.1iiittt（第i个小区间的长度）is（第i段时间上的路程） （2）近似：iiitvs)(（ 为区间ti-1,ti上任意一点）i（3）求和：iniiniitvss11)(（4）取极限：iniitvs10)(lim 由上可知，曲边梯形的面积与变速直线运动的路程均可归结为和式的极限。 二、定积分的定义 定义 设函数f(x)在区间a ,b上有界，任取分点： a=x0 x1x2 xi-1xi xn-1xn=b,.把区间a ,b分成n个小区间：

4、x0,x1, x1,x2, , xi-1,xi, ,xn-1,xn，. 其长度为 = xi-xi-1 ， ix 在每个小区间xi-1,xi上,任取一点 。)(1iiiixx如果不论对区间a ,b采取何种分法及 如何选 i0ixiniixf10)(lim取，当最大的小区间的长度 时，和式的极限存在，则称函数f(x)在区间a ,b上可积，而称此极限值为函数f(x)在区间a ,b上的定积分，记作badxxf)(iniixf10)(lim 在 中，iniibaxfdxxf10)(lim)( 称 为积分号，称f(x)为被积函数，称f(x)dx为被积表达式，称x为积分变量，a与b分别称为积分下限与上限，称

5、a ,b为积分区间。 简单地讲，定积分就是和式的极限。回顾： （1）曲边梯形的面积：iniibaxfdxxfA10)(lim)(（2）变速直线运动的路程：iniibatvdttvs10)(lim)( 注意： （1）当 存在时， 仅与a , b及f(x)有关，而与积分变量无关，即badxxf)(badxxf)(babaduufdxxf)()( （2）当定积分存在时， 与a ,b的分法及 的取法无关badxxf)(i （3）函数f(x)在区间a ,b上可积的充分条件常用的有以下两种： （i）函数f(x)在区间a ,b上连续 （ii） 函数f(x)在区间a ,b上只有有限多个间断点，且间断点全为第一类间断点 （4）补充规定：abbadxxfdxxf)()(aadxxf0)( 三、定积分的几何意义与物理意义 1. 定积分的几何意义（曲边梯形面积的代数和） 可分三种情形讨论：在区间a ,b上 （1）0)(xfAy=f(x)yxOabbaAdxxf)( （2）0)(xfOyxaby=f(x)AbaAdxxf)( （3）f(x)可正可负A1A2A3xyOy=f(x)abbadxxf)(321AAA 2. 定积分的物理意义 定积分的物理意义多种多样，如，变速直线运动的路程等。 例1 由定积分的几何意义，指出下列积分的值： （1）102xdx