数学的魅力-例子

1、LOGO1主讲人：王爱齐主讲人：王爱齐E-MAIL:E-MAIL:数学史与数学文化数学史与数学文化LOGO2第一章第一章 概概 述述 第二节第二节 数学的魅力数学的魅力LOGO数学的魅力数学的魅力你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然的美；能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐一样和谐那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层次上，揭示，像图画一样美丽，而且它在更深的层次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的自然界和

2、人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。定理和公式描述世界的本质。 数学，有无穷的魅力！数学，有无穷的魅力！ 3LOGO用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网，无论你织一片多大的网，它的结点数，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)(V)，网眼，网眼数数(F)(F)，边数，边数(E)(E)都必定适合下面的公式：都必定适合下面的公式： V + F V + F E = 1 E = 14一、渔网的几何规律一、渔网的几何规律 LOGO多面体的欧拉公式多面体的欧拉公式 V + F V + F E = 2 E = 25数学就有这样的本

3、领，能够把看起来复杂的事物变数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出规律。得简明，把看起来混乱的事物理出规律。 LOGO“存在性命题存在性命题” ” ：大连市一定：大连市一定存在存在两个头发根数一两个头发根数一样多的人。样多的人。 对于存在性命题，通常有对于存在性命题，通常有两类两类证明方法：证明方法：一类是一类是构造性的证明构造性的证明方法，即把需要证明存在的事方法，即把需要证明存在的事物构造出来，便完成了证明；物构造出来，便完成了证明；一类是一类是纯存在性证明纯存在性证明，并不具体给出存在的事物，并不具体给出存在的事物，而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存

4、在。而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。 6二、二、大连至少有两个人头发根数一样多大连至少有两个人头发根数一样多LOGO例如例如“任意两个正整数都存在最大公约数任意两个正整数都存在最大公约数” ” 这个存这个存在性命题，我们可以用在性命题，我们可以用“辗转相除法辗转相除法”给出构造性给出构造性的证明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了的证明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了求最大公约数的方法。求最大公约数的方法。( (例例：（：（210210，19501950）= 30 = 30 ) )再例如再例如“连续函数如果在两个端点反号，则中间一连续函数如果在两个端点反号，则中间一定存在零点定

5、存在零点” ” 这个存在性命题，我们在教材中看到这个存在性命题，我们在教材中看到的和在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明的和在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明了零点的存在，但并不给出找到零点的方法。了零点的存在，但并不给出找到零点的方法。7LOGO构造性证明构造性证明 ： 一个一个地去数天津市南开区中所有人的头发一个一个地去数天津市南开区中所有人的头发根数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张根数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张三和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明三和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明。 8大连至少有两个人头发根数一样多大连至少有两个人头发根数

6、一样多LOGO纯存在性证明纯存在性证明 ：“抽屉原理抽屉原理” ” 证明证明“367367个人中至少有两个人的生日是相同的个人中至少有两个人的生日是相同的” ” 证明证明“大连市一定存在两个头发根数一样多的人大连市一定存在两个头发根数一样多的人” ” 9大连至少有两个人头发根数一样多大连至少有两个人头发根数一样多LOGO车轮，是历史上最伟大的发明之一车轮，是历史上最伟大的发明之一圆，是平面图形中对称性最强的图形圆，是平面图形中对称性最强的图形周长与直径之比是一个常数周长与直径之比是一个常数这个常数是无理数、超越数这个常数是无理数、超越数面积相等的图形中圆的周长最短面积相等的图形中圆的周长最短规

7、尺作图化圆为方不可做规尺作图化圆为方不可做10三、圆的魅力三、圆的魅力 LOGO这句话是这句话是19781978年数学大师陈省身先生在北京大学的年数学大师陈省身先生在北京大学的一次演讲中说的，后来又多次说过。一次演讲中说的，后来又多次说过。所以，这不是随便说的一句话。所以，这不是随便说的一句话。陈先生并没有说陈先生并没有说“三角形三内角之和等于三角形三内角之和等于180180度，这度，这个命题不对个命题不对”，而是说，而是说“这个命题不好这个命题不好”。 11四、四、“三角形三内角之和等于三角形三内角之和等于180180度，度，这个命题不好这个命题不好” LOGO三角形三内角之和三角形三内角之

8、和 = 180 = 180 度度 n n 边形边形 n n 内角之和内角之和 = = ？n n 边形边形 n n 内角之和内角之和 = 180 = 180 度度 ( n ( n 2 ) 2 )12LOGOn n 边形边形 n n 外角之和外角之和 = 360 = 360 度度不变量不变量 （向量组的秩；矩阵的秩）（向量组的秩；矩阵的秩）13LOGO四色问题也称四色问题也称“四色猜想四色猜想”或或“四色定理四色定理”，它于，它于18521852年首先由一位英国大学生年首先由一位英国大学生F F古色利提出。古色利提出。他在为一张英国地图着色时发现他在为一张英国地图着色时发现, ,为了使任意两个具为

9、了使任意两个具有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色就够了。就够了。14五、四色问题五、四色问题 LOGO但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师, ,杰杰出的英国数学家德出的英国数学家德摩根，希望帮助给出证明。摩根，希望帮助给出证明。德德摩根很容易地证明了三种颜色是不够的摩根很容易地证明了三种颜色是不够的, ,至少要至少要四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。15LOGO但德

10、但德摩根未能解决这个问题摩根未能解决这个问题, ,就又把这个问题转给就又把这个问题转给了其他数学家了其他数学家, ,其中包括著名数学家哈密顿。其中包括著名数学家哈密顿。但这个问题当时没有引起数学家的重视。但这个问题当时没有引起数学家的重视。直到直到18781878年年, ,英国数学家凯莱对该问题进行了一番英国数学家凯莱对该问题进行了一番思考后，认为这不是一个可以轻易解决的问题，并思考后，认为这不是一个可以轻易解决的问题，并于当年在于当年在伦敦数学会文集伦敦数学会文集上发表了一篇上发表了一篇论地论地图着色图着色的文章的文章, ,才引起了更大的注意。才引起了更大的注意。 16LOGO1879187

11、9年，一位英国律师肯泊在年，一位英国律师肯泊在美国数学杂志美国数学杂志上上发表论文，宣布证明了发表论文，宣布证明了“四色猜想四色猜想”。但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的证明中有严重错误。证明中有严重错误。 一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。题的魅力。17LOGO实际上，对于地图着色来说实际上，对于地图着色来说, ,各个地区的形状和大小各个地区的形状和大小并不重要并不重要, ,重要的是它们的

12、相互位置。重要的是它们的相互位置。下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看数学上看, ,问题的实质在于地图的问题的实质在于地图的“拓扑结构拓扑结构”。 18LOGO19合理的退让合理的退让不得已而求其次不得已而求其次加强命题的条件加强命题的条件或者减弱命题的结论或者减弱命题的结论希伍德证明了希伍德证明了“五色定理五色定理”LOGO一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研究究, ,获得了一系列成果。获得了一系列成果。19201920年弗兰克林证明了年弗兰克林证明了, ,对于不超过对于不超过25

13、25个国家的地个国家的地图图, ,四色猜想是正确的。四色猜想是正确的。19261926年雷诺兹将国家的数目提高到年雷诺兹将国家的数目提高到2727个。个。19361936年弗兰克林将国家的数目提高到年弗兰克林将国家的数目提高到3131个。个。20LOGO19681968年挪威数学家奥雷证明了年挪威数学家奥雷证明了, ,不超过不超过4040个国家的个国家的地图可以用四种颜色着色。地图可以用四种颜色着色。但是，他们都没有最终证明但是，他们都没有最终证明“四色猜想四色猜想”。 直到直到19721972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前人给出算法的基础上，开始用计

14、算机进行证明。人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。到到19761976年年6 6月月, ,他们终于获得成功。他们使用了他们终于获得成功。他们使用了3 3台台IBM360IBM360型超高速电子计算机型超高速电子计算机, ,耗时耗时12001200小时小时, ,终于证终于证明了四色猜想。明了四色猜想。 21LOGO这是一个惊人之举。当这项成果在这是一个惊人之举。当这项成果在19771977年发表时年发表时, ,当地邮局特地制作了纪念邮戳当地邮局特地制作了纪念邮戳 四色足够四色足够(FOUR (FOUR COLORS SUFFICE)COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。，加盖

15、在当时的信件上。 由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从根本上拓展了人们对根本上拓展了人们对“证明证明”的理解，引发了数学的理解，引发了数学家从数学及哲学方面对家从数学及哲学方面对“证明证明”的思考。的思考。22拓展了人们对拓展了人们对“证明证明”的理解的理解LOGO自然数是整个数学最重要的元素。自然数是整个数学最重要的元素。自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素素数数”。素数是大于素数是大于1 1的自然数中

16、，只能被自己和的自然数中，只能被自己和1 1整除的数；整除的数；大于大于1 1的自然数中不是素数的都称为的自然数中不是素数的都称为“合数合数”；1 1则既不是素数也不是合数。则既不是素数也不是合数。 23六、素数的奥秘六、素数的奥秘LOGO由于在大于由于在大于1 1的自然数中，素数的因子最少，所以素的自然数中，素数的因子最少，所以素数是特别简单的数。数是特别简单的数。又由于一切大于又由于一切大于1 1的自然数都能够从素数通过乘法得的自然数都能够从素数通过乘法得到，所以素数又是特别基本的数。到，所以素数又是特别基本的数。素数很早就被古希腊的数学家所研究。素数很早就被古希腊的数学家所研究。2300

17、2300多年前欧几里得的几何多年前欧几里得的几何原本原本第第9 9卷的定理卷的定理2020，就给出了，就给出了“素数有无穷多个素数有无穷多个”的漂亮证明。的漂亮证明。 24LOGO但是，素数的有些规律，虽然表述出来很容易听懂但是，素数的有些规律，虽然表述出来很容易听懂，研究起来却出人意料地困难。，研究起来却出人意料地困难。（当然，素数的有些（当然，素数的有些规律表述出来也是相当复杂的。）规律表述出来也是相当复杂的。）关于素数的规律，人类有许多的关于素数的规律，人类有许多的“猜想猜想”。至今还。至今还有不少关于素数的重要猜想，既没有被证明，也没有不少关于素数的重要猜想，既没有被证明，也没有被否定

18、。有被否定。25LOGO有的猜想的解决，现在看来可能会十分遥远。有人有的猜想的解决，现在看来可能会十分遥远。有人甚至预言，甚至预言，“人类探寻素数规律的历史，将等同于人类探寻素数规律的历史，将等同于人类的整个文明史人类的整个文明史”。 26三个关于素数规律的问题三个关于素数规律的问题 从加法的角度研究素数从加法的角度研究素数从乘法的角度研究素数从乘法的角度研究素数找一个公式来表示素数找一个公式来表示素数 LOGO两个猜想：两个猜想： 每个足够大的偶数都是两个素数的和；每个足够大的偶数都是两个素数的和； 每个足够大的奇数都是三个素数的和。每个足够大的奇数都是三个素数的和。后一个猜想后一个猜想19

19、371937年已被证明；前一个猜想至今却既年已被证明；前一个猜想至今却既没有人举出反例，也没有人给出证明。没有人举出反例，也没有人给出证明。前者现在也简称为前者现在也简称为“哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想”。27从加法的角度研究素数从加法的角度研究素数LOGO算术基本定理：任一个大于算术基本定理：任一个大于1 1的自然数，都可以被表的自然数，都可以被表示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不示为有限个素数（可以重复）的乘积，并且如果不计次序的话，表法是唯一的。计次序的话，表法是唯一的。算术基本定理早已被证明，但不是采用算术基本定理早已被证明，但不是采用“构造性构造性”的证明的证明 。28从乘法的

20、角度研究素数从乘法的角度研究素数LOGO未解之谜：这个问题是：对任一个大于未解之谜：这个问题是：对任一个大于1 1的自然数，的自然数，试给出一个一般的方法，以便较快地找到有限个素试给出一个一般的方法，以便较快地找到有限个素数（可以重复），使它们的乘积等于那个预先写出数（可以重复），使它们的乘积等于那个预先写出的大于的大于1 1的自然数。的自然数。 29下面用下面用“构造性构造性”证明的思路，来试图找到解决的办证明的思路，来试图找到解决的办法，同时也体会它的困难所在。法，同时也体会它的困难所在。 LOGO30a a是否素数是否素数a = b a = b c cb b是否素数是否素数LOGO不严格

21、的地方，或者说不严格的地方，或者说“跳步跳步”的地方，就在最前的地方，就在最前面的两步。即，如何较快地判断面的两步。即，如何较快地判断“a a是否素数是否素数”；及；及当判断出当判断出a a不是素数后如何较快地找到不是素数后如何较快地找到b b，得到，得到a = a = b b c c 。31解决问题的困难解决问题的困难LOGOa = b a = b c c（ b b 、c c是两个很大的素数是两个很大的素数，比如都是，比如都是100100位的大素数位的大素数 ）在造密码时，你可以把在造密码时，你可以把a a 公开，但公开，但b b 、c c对外保密对外保密，只有，只有“我方我方”了解。了解。

22、 必须知道必须知道b b 、c c才能破译密码。才能破译密码。 32这样的困难，反倒给密码通讯提供了思路这样的困难，反倒给密码通讯提供了思路 LOGO费马素数费马素数 (1640(1640年年) ) F Fn n = 2 = 2 2 2n n + 1 + 1 关于费马素数关于费马素数 ，n = 5 n = 5 时，时，F Fn n = 4294967297 = 641 = 4294967297 = 641 6700417 6700417 33找一个公式来表示素数找一个公式来表示素数LOGO梅森素数梅森素数 (1644(1644年年) )M Mn n = 2 = 2 n n 1 1 (n = 2(n