《工程力学》第 3 章 力矩与平面力偶系

1、工程力学电子教案工程力学电子教案1力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系3-1 力矩的概念和计算力矩的概念和计算3-2 力偶的概念力偶的概念3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡第第 3 章章 力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系工程力学电子教案工程力学电子教案2力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。力力对物体作用时可以产生移动和转动两种效应。力的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转的移动效应取决于力的大小和方向，为了度量力的转动效应，需引入力矩的概念。动效应，需引入力矩的概念。主要研究内容：主要研究内容： (1) 力矩和力偶的概念；力矩和力偶

2、的概念； (2) 力偶的性质；力偶的性质； (3) 平面力偶系的合成与平衡。平面力偶系的合成与平衡。工程力学电子教案工程力学电子教案3力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系谁曾经想过用杠杆来移动地球？谁曾经想过用杠杆来移动地球？ 古希腊科学家阿基米德曾说过古希腊科学家阿基米德曾说过“如果给我一个支点，我就能如果给我一个支点，我就能撬起地球撬起地球”。这句名言从理论上讲是完全正确的，。这句名言从理论上讲是完全正确的，因为杠杆能使力变大，只要杠杆足够长，就因为杠杆能使力变大，只要杠杆足够长，就能产生足够大的力来能产生足够大的力来“搬动搬动”地球。地球。 动力臂越长，施力的一方经过的距离越动力臂越长，施力

3、的一方经过的距离越长，力省了，可增加了距离。如果真有一个支长，力省了，可增加了距离。如果真有一个支点，要撬动地球，恐怕撬棍的动力臂长得你点，要撬动地球，恐怕撬棍的动力臂长得你无法想象，比阻力臂要长无法想象，比阻力臂要长1000万万亿倍，要万万亿倍，要把地球撬起把地球撬起1厘米，如果按每秒移动厘米，如果按每秒移动1米计算，米计算，要花要花3万亿年的时间，这比地球的历史还要长。万亿年的时间，这比地球的历史还要长。来自中国科普网来自中国科普网工程力学电子教案工程力学电子教案4力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系3-1 力矩的概念和计算力矩的概念和计算1. 力对点之矩力对点之矩(1) 用扳手拧螺母；用扳手

4、拧螺母；(2) 开门，关门。开门，关门。由上图知，力由上图知，力F 使物体绕使物体绕O点转动的效应，不仅与点转动的效应，不仅与力的大小，力的大小，而且与而且与O点到力的作用线的垂直距离点到力的作用线的垂直距离d有关，故用乘积有关，故用乘积Fd 来度量力的转动效应。该乘来度量力的转动效应。该乘积积OFAld图图3-1工程力学电子教案工程力学电子教案5力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系根据转动效应的转向取适当的正负号称为力根据转动效应的转向取适当的正负号称为力F对点对点O之矩，简称力矩，以符号之矩，简称力矩，以符号M O (F)表示。表示。即即O点称为力矩的中心，简称矩心；点称为力矩的中心，简称矩心

5、；O点到力点到力F 作用线作用线的垂直距离的垂直距离d，称为力臂。称为力臂。 力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为力矩的正负号：力使物体绕逆时针方向转动为正，反之为负。正，反之为负。dFFMO )(工程力学电子教案工程力学电子教案6力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系力矩的单位：力矩的单位： 国际制国际制 Nm，kNm 工程制工程制 公斤力米（公斤力米（kgfm）应注意：应注意： 在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的在平面问题中，力对点之矩只取决于力矩的大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一大小及其旋转方向（力矩的正负），因此它是一个个代数量代数量。力矩的性质：力矩的性质：(1) 力对任

6、一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动力对任一已知点之矩，不会因该力沿作用线移动而改变；而改变；OFd图图 3-2 (a) 工程力学电子教案工程力学电子教案7力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 (2) 力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，力的作用线如通过矩心，则力矩为零；反之，如果一如果一 个力其大小不为零，而它对某点之矩为个力其大小不为零，而它对某点之矩为零，则此力的作用线必通过该点；零，则此力的作用线必通过该点；Fo图图 3-2 (b) (3) 互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。互成平衡的二力对同一点之矩的代数和为零。OF1F2图图 3-2 (c) 工程力学电子教案工程力学电子教案8

7、力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系2. 合力矩定理合力矩定理表达式：表达式：证明：证明：由图得由图得而而OxydxyFFxFyAaqa-qr图图 3-3)()(RFMFMOO a aq qq qa aa aq qq qa aq qa acossincossin)cossincos(sin)sin()( - - - - - - rFrFrFrFdFFMOcos,sincos,sinxyAAFFFFrxryaaqq工程力学电子教案工程力学电子教案9力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系则则若作用在若作用在 A点上的是一个汇交力系（点上的是一个汇交力系（F1 、F2 、 Fn）则可将每个力对则可将每个力对O

8、点之矩相加，有点之矩相加，有该汇交力系的合力该汇交力系的合力FR=F，由式由式(a)，它对它对O点点的矩的矩为：为：比较比较(b)、(c)两式有两式有( )( )OAyAxMxFyFa-F( )( )OAyAxMxFyFb-FRRR( )( )OAyAxAyAxMx Fy FxFyFc-F)()(RFMFMOO 证毕。证毕。工程力学电子教案工程力学电子教案10力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系3-2 力偶的概念力偶的概念1. 力偶和力偶矩力偶和力偶矩(1) 力偶的概念力偶的概念 把大小相等、方向相反、作用线平行的把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做两个力叫做力偶力偶。并记作（。并记作（F

9、，F）。）。可用可用图图3-4表示表示, 例如：方向盘等例如：方向盘等FFd力偶臂力偶作用面图图 3-4F1FFABF1CD图图3-5工程力学电子教案工程力学电子教案11力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系(2) 力偶的性质力偶的性质(a) 力偶在任何坐标轴上的投影等于零；力偶在任何坐标轴上的投影等于零；(b)力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力，力偶不能合成为一力，或者说力偶没有合力，即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平即它不能与一个力等效，因而也不能被一个力平衡；衡；(c) 力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效力偶对物体不产生移动效应，只产生转动效应，即它可以也只能改变物体的转动状态

10、。应，即它可以也只能改变物体的转动状态。x图图3-6FFd力偶臂力偶作用面工程力学电子教案工程力学电子教案12力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系(3) 力偶矩力偶矩 其转动效应其转动效应力对点之矩，即用力偶中力对点之矩，即用力偶中的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来的两个力对其作用面内任一点之矩的代数和来度量。度量。FFd 图图3-7Ox例如：例如：dFxdFxFFMFMOO - - - - - - - - )()()(dFMdFFFM 或或),(工程力学电子教案工程力学电子教案13力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系(4) 力偶的三要素力偶的三要素(a) 力偶矩的大小；力偶矩的大小；(b) 力

11、偶的转向；力偶的转向；(c) 力偶作用面在空间的方位。力偶作用面在空间的方位。2. 平面力偶等效定理平面力偶等效定理 定理：在同一平面内（或两平行平面）的两定理：在同一平面内（或两平行平面）的两个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向个力偶，如它们的力偶矩的大小相等，而且转向相同，则此两力偶等效。相同，则此两力偶等效。例如：方向盘例如：方向盘F1FFABF1CD图图3-8工程力学电子教案工程力学电子教案14力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 设有一力偶设有一力偶 (F, F ),如图所示如图所示 . 运用加减平运用加减平衡力系的公理并注意到：衡力系的公理并注意到：),(),(),(),(),(

12、11PPFFPPQQFFFF ABCABDABCABDSSSPPMSFFM 2),(,2),(),(),(),(),(),(),(1111PPMFFMPPMPPMPPMFFM 证明：证明：图图3-9PP1P1PFFQQABABbaCD工程力学电子教案工程力学电子教案15力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系两个重要推论：两个重要推论：推论推论1 力偶可以在其作用面内任意移转而不改变力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的转动效应它对物体的转动效应ABM(a)ABMC(b)图图3-10工程力学电子教案工程力学电子教案16力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系推论推论2 在保持力偶矩的大小和转向不变的条

13、件下，在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不可以任意改变力偶中力和力偶臂的大小而不改变力偶对物体的转动效应，其中改变力偶对物体的转动效应，其中F1d=F2D注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。注意：上述结论只适用于刚体，而不适用于变形体。ABdF1F1(a)ABDF2F2(b)图图3-11工程力学电子教案工程力学电子教案17力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系3-3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶平面力偶系：作用在物体上同一平面内的若干力偶的总称。的总称。1. 合成合成(1) 两个力偶的情况两

14、个力偶的情况F1F1d1d2F2F2222111,dFMdFM - - =F11F22F22F11ddFMdFM - - 222111,dFRFR= - - - - 2211R2211R,FFFFFF工程力学电子教案工程力学电子教案18力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系这样得到新的力偶这样得到新的力偶(FR , FR),则则M= FRd= (F11 - F22)d=F11d - F22 d=M1+M2 (2) 任意个力偶的情况任意个力偶的情况M=M1 + M2 + + Mn , 或或 M=MiM1M2Mn图图3-13工程力学电子教案工程力学电子教案19力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系2. 平衡条

15、件平衡条件 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即系中各力偶矩的代数和等于零，即Mi=0利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。利用这个平衡条件，可以求解一个未知量。工程力学电子教案工程力学电子教案20力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 两力偶作用在板上，尺寸如图，已两力偶作用在板上，尺寸如图，已知知 F1 = F2=1.5 kN , F3 =F4 = 1 kN, 求作用在板上求作用在板上的合力偶矩。的合力偶矩。180mmF1F2F3F480mm解：由式解：由式M = M1 + M2 则则M =-F1 0.18 F3 0.08 =

16、 -350 N m负号表明转向为顺时针。负号表明转向为顺时针。图图3-14例例 题题 3- 1工程力学电子教案工程力学电子教案21力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 长为长为 4 m的简支梁的两端的简支梁的两端A、B 处作处作用有二个力偶，用有二个力偶，大小大小各为各为M1 =16 N m，M2 = 4 N m，转向如图。试转向如图。试求求A、B支座的约束力。支座的约束力。 解：作解：作AB梁的受力图，如图梁的受力图，如图(b)所示。所示。AB梁梁上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在上作用有二个力偶组成的平面力偶系，在A、B 处处的约束力也必须组成一个同平面的力偶（的约束力也必须组成一个同平面的

17、力偶（FA ，FB ）才能与之平衡。）才能与之平衡。例例 题题 3- 2FBFAM1M2AB(b)d604mABM1M2(a)图图3-15工程力学电子教案工程力学电子教案22力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系由平衡方程由平衡方程M =0得得-M1+ M2+FB l cos60= 0解得解得故故FB=6 NFA、FB为正值，说明图中所示为正值，说明图中所示FA、FB的指向正确。的指向正确。FA = FB = 6 NFBFAM1M2AB(b)d例例 题题 3- 2工程力学电子教案工程力学电子教案23力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 如图所示的铰接四连杆机构如图所示的铰接四连杆机构OABD，在杆，在杆

18、OA和和BD上分别作用着矩为上分别作用着矩为M1和和M2的力偶，而使机的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知构在图示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r， =30，不计各杆自重，试求，不计各杆自重，试求M1和和M2间的关系。间的关系。BODqM1M2A例例 题题 3- 3工程力学电子教案工程力学电子教案24力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 解：因为杆解：因为杆AB为二力杆，为二力杆，故其反力故其反力FAB和和FBA只能沿只能沿A，B的连线方向。的连线方向。 分别取杆分别取杆OA和和DB为研究对为研究对象。因为力偶只能与力偶平衡，象。因为力偶只能与力偶平衡，所以支座所以支座O和和D的约束力的

19、约束力FO 和和FD 只能分别平行于只能分别平行于FAB 和和FBA ，且，且与其方向相反。与其方向相反。BODqM1M2A例例 题题 3- 3工程力学电子教案工程力学电子教案25力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系BDM2FDFBAOM1FOFABA02021 - - - -a aa a cosrFM cosrFMBAABBAABFF 因为因为122MM 所以求得所以求得写出杆写出杆OA和和DB的平衡方程：的平衡方程： M = 0 工程力学电子教案工程力学电子教案26力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系思考题思考题 3-1 一力偶一力偶(F1,F1)作用在作用在Oxy平面内平面内,另一力偶另一力偶(F2 ，F2)作用在作用在Oyz平面内平面内,它们的力偶矩大小相等它们的力偶矩大小相等(如图如图)。试问此两力偶是否等效，为什么？试问此两力偶是否等效，为什么？xyzF2F2F1F1图图3-16O工程力学电子教案工程力学电子教案27力矩与平面力偶系力矩与平面力偶系 如图所示，在物体上作用有两力偶如图所示，在物体上作用有两力偶(F1,F1)和和 (F2,F2)其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为其力多边形封闭。问该物体是否平衡？为什么？什么？图图3-17F1F2F1F2