一阶线性常系数双曲性方程的有限差分方法的研究2012.5.3

1、 引言 主要讨论双曲性方程及双曲性方程组的差分方法。从简单的一届线性双曲型方程开始，构造差分格式，分析其稳定性及其他性质，然后推广到一届线性双曲性方程组。双曲方程与 椭圆方程，抛物方程的重要区别，是双曲方程具有特征和特征关系，其解对初值有局部依赖性质。 初值的函数性质（如间断，弱间断等）也沿特征传播，因而解一般无光滑性，迄今已发展许多逼近双曲方程的差分格式，这里只介绍常见的九种方法，讨论了各种求解方法，分析了其性质，最后对初边值问题及二维问题进行了讨论。1 一阶线性常系数双曲型方程先考虑线性常系数方程 ,t>0 其中a为给定常数，这是最简单的双曲型方程，一般称其为对流方程。虽然（1.1）

2、式非常简单，但是其差分格式的构造以及差分格式性质的讨论是讨论复杂的双曲型方程和方程组的基础。它的差分格式可以推广到变系数方程，方程组以及拟线性方程和方程组。对于方程（1.1）附以初始条件 u(x,0)=u(x), 在第一章中讨论了初值问题（1.1），（1.2）式的解，其解沿方程（1.1）的特征线 是常数，并可表示为 下面讨论双曲性方程的应风格式，Lax-Friedrichs格式，Lax-wendroff格式，Courant-Friedrichs-Lewy条件利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式，蛙跳格式，数值例子。1.1 迎风格式 迎风格式在实际计算中引起了普遍的重视，从而产生了很多好的方

3、法和技巧。迎风各式的 基本思想是简单的，就是在双曲型方程中关于空间偏导数用在特征线方向一侧的单边差商来代替，（1.1）式的迎风各式是 , a>0 的截断误差和稳定性: , a>0 / (两边乘于）,得 + 所以 截断误差为 迎风格式对一阶精度,对一阶精度.当时,故迎风格式相容. 下面讨论迎风格式（1.4)的稳定性：先把差分格式变化为便于计算的形式 0 其中网格式 令 则 = 4 当 时原差分格式是稳定的。所以迎风格式（1.4）是条件稳定。根据Lax等价定理,迎风格式的收敛性条件为. 迎风格式 的截断误差和稳定性： , 两边除于, 得 (两边乘于）得 + =所以 =截断误差为 迎风格

4、式 的稳定性：将方程改变便于计算的形式： 令 所以 () 2 1222 122 144 当差分格式时（1.5）是稳定的例 讨论差分格式 的截断误差和稳定性解 截断误 因为 所以 + T(x , t) 所以 差分格式 的截断误差为 即差分格式是一阶精度的。 讨论它的稳定性: 先把差分格式 改写为 令 并将其代入时有 由于a<0 所以取=0 差分格式 是绝对不稳定的。 1.2 Lax-Friedrichs格式 讨论逼近对流方程（1.1）的一个中心差分格式 的截断误差和稳定性Lax-Friedrich s格式的截断误差： （两边乘于）得 + 因为 所以 T(x , t) 差分格式（1.8）的截

5、断误差为 . 讨论（1.8）稳定性先把差分格式（1.8）改写为 （）0 （其中） 令 并将其代入则有 1 1 1 （） 所以 差分格式（1.8）是绝对不稳定的。 1.3 Lax -Wendroff 格式 前面讨论的应风格是和Lax-Friedrichs格式是一阶精度的差分格式。1960年Lax-Friedrichs构造出一个二阶精度的二层格式，这个差分格式在实际计算中得到了充分的重视。这个格式的构造与前面格式的推导有不同，采用Taylor级数展开之外，还用到微分方程本身。 设是微分方程（1.1）的光滑解，将在点处做Taylor展开 利用微分方程（1.1）有 ， 把这两式代入前式有 ： 再采用中

6、心差商逼近上式中的导数项，有 因此得到 略去高阶项，可以得到如下的差分格式 （1.14）的截断误差和稳定性截断误差： 从差分格式的构造可以看出（1.14）是二阶精度的差分格式。其节点分布差分格式（1.14）称为Lax-Friedrichs格式。容易求出差分格式（1.14）的增长因子为 1 于是，如果满足条件 那么有所以Lax - wendroff 格式的稳定性条件为（1.15）式 1.4 Courant-Friedrichs-Lewy条件 先分析差分格式的解依赖区域，然后从差分格式解的依赖区域和对流方程初值问题解的依赖区域的关系推导出差分格式收敛的一个必要条件。这个条Courant-Fried

7、richs-Lewy条件或称C,F,L条件，也又称为Courant条件。为确定起见，令微分方程（1.1）中的常数a>0.差分格式采用Lax-wendroff格式作为例子进行分析为了计算，要用到，；而为计算这3个值，又要用到，。如此递推下去，为了计算，就要用到，见图（3.4）这说明计算仅依赖于微分方程（1.1）的初值（1.2）在区间上的网格点，,上的值， ，称区域上所有网格点为差分格式的解在点的依赖区域 差分格式的解收敛到微分方程初值问题的解的必要条件为，即差分格式解的依赖区域端点构成的区间必须包含相应的偏微分方程初值问题的依赖区域。简单地说，差分格式的依赖区域包含偏微分方程初值问题的依赖

8、区域。这个条件成为Courant-Friedrichs-Lriedrichs-Lewy 条件。 1.5 利用偏微分方程的特征线来构造有限差分格式 特征线概念在双曲型方程中有很重要作用。借助于双曲性方程的解在特征线上为常数这一事实，可以构造出（1.1）式,（1.2）式的各种差分格式。为确定起见设在时间层上网格点A，B，C和D上u的值 已给定（已计算出的近似值或初值）。要计算出在时间层上的网格点 上的值，见图（1.5）.假定C，F ，L条件成立。那么过点特征线与BC 交于点Q，由微分方程解的性质知，但当Q不是网格点时，是未知的由于， 和为时间层上网格点上值已给定，因此可用插值方法给出 的近似值利用

9、B，C两点上的值进行线性插值就可以得到 由此可推导出差分格式 其中 ，这就是迎风格式，如果改用B，D两点进行线性插值，则有 由此得到 我们可以把此式改写为 立即可以看出，这是Lax-Friedrichs格式. 1.6蛙跳格式 下面考虑逼近对流方程（1.1）的一个三层格式 此格式的节点分布如图（1.6）。这个差分格式称为蛙条格式。容易看出这是一个二阶精度的格式。可以把（1.18）式写成便于计算的形成 其中 ，在计算时，初值（ ）的离散处，还要用一个二层格式计算出 那一层值 ，由于（1.18）式比Lax-wendroff格式，Beam-warming格式要简单。下面讨论蛙条格式（1.18）的稳定性

10、: (） （） 等式两边除于得： （） （） 等式两边乘上得： （） 因为 T(x ,t) 截断误差为： T(x , t) 证毕. 由于 令 ， 用 Fourier 方法 令 并将其代入上式就可得到增长矩阵 （） （） 所以增长矩阵为 。它的特征值为 如果 ，则有因此，当时，如当,那么 当时，那么 ， 由此得出 .从而知，当时，蛙跳格式不稳定.1.7数值例子 考虑初值问题 其中 取h=0.01，用 Lax-Friedrich s格式，迎风格式，Lax-wendroff格式以及Beam-warming格式，计算至 时，计算结果与初值问题的解析解见图 。对于前两个格式 （Lax-Friedrich s格式和迎风格式）把解抹平了。而后两个格式（Lax-wendroff格式和Beam-warming格式）出现了振荡。这些现象的出现是这些格式的正常现象。在拟线双曲型方程组的间断解计算中为消去此类现象已研究出了很多良好的方法。 总结： 参考文献 陆金甫,关治.偏微分方程数值解法.北京：清华大学出版社，2010,53-58页 李荣华.偏微分方程数值解法，北京：高等教育出版社，2005 致谢 在喀什师范学院的教育下经过五年的学习，使我在做人做事各个方面得到了很大的提高。在